2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（6）（含答案）

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（6）
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.记为数列的前项和．“任意正整数，均有”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.下列说法错误的是( )
A. 线性相关系数越接近，两个变量的线性相关程度越强
B. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系
C. 在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为和，则模型甲的拟合效果更好
6.设正项等比数列的前项和为，且，若，，则( )
A. 或 B. C. D.
7.已知数列满足：，，，则( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得
到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.复数的共轭复数 ______．
11.若的展开式的二项式系数和为，且的系数为，则实数的值为______．
12.在和之间插入个数，使得这个数成等差数列若这个数中第个为，第个为，则的最小值是______．
13.甲、乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球，个白球，乙箱中有个红球，个白球同学从乙箱子中随机摸出个球，则个球颜色不全相同的概率是______；同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱子中随机摸出个球，如果点数为，，，，则从乙箱子中随机摸出个球，那么同学摸到红球的概率为______．
14.已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为______．
15.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
的内角，，，的对边分别为，，，已知且．
求角的大小；
若的周长为，求的面积；
若，求的值．
17.本小题分
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
求证：平面；
求点到平面的距离；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
求的方程；
设直线不经过点且与相交于，两点若直线与直线的斜率的和为证明：过定点．
19.本小题分
设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，．
求与的通项公式；
设，求数列的前项和；
若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数是自然对数的底数．
讨论函数的单调性；
若有两个零点分别为，．
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
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16.解：因为，所以，
整理可得：，由余弦定理可得：，
所以，，所以可得；
由三角形的周长为，，所以，
由可得，
而，所以可得，可得，
所以，所以的面积为．
因为，，，
由正弦定理可得：，，所以为锐角，
所以，所以，，
所以，
所以．
17.解：由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，
由题意，，
过点作垂直，
所以，
因为与侧棱所在直线成角，
所以，
所以，，
故，，
，
所以，
若平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，显然，而面，
所以面；
由知：，
所以到平面的距离为；
假设在上存在点，且，，
则，
直线与平面所成的角为，故，
所以，即，可得或，
时，，
则，
时，，
则，
综上，长为或．
18.解：由椭圆的对称性可得：所给的四点中，，在椭圆上，
可得，将的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
所以椭圆的方程为：；
证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，设，，
联立，整理可得：，
，可得，且，，
因为，
由题意可得，
整理可得：，当且仅当时，符合，
这时直线的方程为：，直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，则，，且，代入椭圆的方程可得，所以，
设，，
这时为，
由题意可得，
可得，即直线的方程为，
显然这时直线也过，
综上所述：可证得直线恒过定点．
19.解：设数列的公差为，数列的公比为，
由题意知，
解之得，，．
当为奇数时，，
设，
，
两式相减可得
，
，
当为偶数时，，
，
，
．
恒成立，化简得，
设，
，
是单调递增数列，
又，
，，
即实数的取值范围是．
20.解：，
当时，，在上单调递增；
当时，时，，单调递增，
时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
有两个零点，
令，则，在时恒成立，所以在时单调递增，
所以有两个零点，等价于有两个零点．
因为，所以当时，，单调递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，所以，
若，得，此时有一个零点；
若，得，此时恒成立，没有零点；
若，得，因为，，
记，，则，
记，，则，
所以在上单调递增，所以，即，
故在上单调递增，所以，
即，
所以在，上各存在一个零点，符合题意，
综上，，即的取值范围为．
证明：要证，只需证，
即证，即证，
由中知，，所以只需证．
因为，，所以，，
所以，只需证．
设，令，则，所以只需证，即证，
令，，则，，
即当时，成立．所以，即，证毕．
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