甘肃省白银市靖远县第一中学2024-2025学年上学期高三11月月考数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省靖远县第一中学 2024-2025 学年上学期高三 11 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数 满足(2 ) = 3 ，则 的共轭复数 =( )
3 6 3 6 3 6 6 3
A. B. + C. D. +
5 5 5 5 5 5 5 5
2.已知向量 = (2, 2)， = ( √ 2, )，若 // ，则实数 =( )
A. √ 2 B. 0 C. 0或 √ 2 D. 0或√ 2
3.如果一个三位正整数“ 1 2 3”满足 1 < 2且 3 < 2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，
当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为( )
A. 18 B. 15 C. 16 D. 21
2
4.在△ 中，若 2 = ，且 = ，则 2 =( )
3
√ 2 1 1 √ 5
A. B. C. D.
3 3 3 3
5.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图(图1)、“90后”
从事快递行业岗位分布条形图(图2)，则下列结论中错误的是( )
A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上
B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%
C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多
D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多
6.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)，若抛物线 上的点 ( 4,4)处的切线恰好与圆 ： 2 + ( )2 = 5( < 0)
相切，则 =( )
A. 9 B. 6 C. 3 D. 2
第 1 页，共 9 页
7.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数 ( )是比较

常用的一种，其解析式为 ( ) = .关于函数 ( )，则下列结论正确的是( ) +
A. ( )的值域为 B. ( )是偶函数
C. ( )不是周期函数 D. ( )是单调递减函数
1
8.已知函数 ( ) = sin( + ) + cos( )( > 0)，将 ( )图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 (纵
3 6 2

坐标不变)，从而得到函数 ( )的图象，若 ( )在区间(0, )上恰有一个极值点，则 的取值范围为( )
12
A. (0,4) B. (1,7] C. (2,8) D. (4,10)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = {( , )| 2 + 2 ≤ }，若实数 ， 满足：对任意的( , ) ∈ ，都存在( , ) ∈ ，则称( , )
是集合 的“围栏实数对”.若集合 = {( , )| 2 + 2 ≤ 1}，则下列集合中存在集合 的“围栏实数对”的
是( )
A. {( , )| + = 2} B. {( , )| 2 + 2 = 2}
C. {( , )| 2 + = 1} D. {( , )| 2 2 = 4}
10.已知函数 ( )的定义域为 ， (1) = 1， ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) ( )，则( )
A. (0) = 0 B. ( ) > 1
( )
C. ( ) ( ) ≥ 0 D. = 为奇函数
( )+2
11.如图所示， ， ， 是圆锥底面圆周上的三个点，若△ 是边长为√ 3的
等边三角形， = 2， ， 分别为 ， 的中点， 为线段 的中点，则下
列结论错误的是( )
A. =
B. ⊥平面
C. //平面
1
D. 三棱锥 与三棱锥 公共部分的体积为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

sin( +2 )
12.已知 2
√ 2
= ，则 2 = ______．
sin +cos 4
第 2 页，共 9 页
2 2
13.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过点 1的直线 与 的左支相交于 ，
两点，其中 点位于第二象限，若| |：| 2|：| 2| = 3：4：5，则双曲线 的离心率为______．
14.设 = { | ( ) = 0}， = { | ( ) = 0}，若存在 ∈ ， ∈ ，使得| | < ，则称函数 ( )与 ( )
互为“ 度零点函数”.若 ( ) = 2 2 1，与 ( ) = 2 ( 为自然对数的底数)互为“1度零点函数”，
则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若数列{ 2 }是公比大于1的等比数列，且 3 = 6， 4 2 = 12．
(1)求{ }的通项公式；
2
(2)求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
如图，在四棱台 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， // ， = = 2， = 1 1 = 1 = 1，
∠ = 60°．
(1)记平面 1 1与平面 1 1的交线为 ，证明： ⊥平面 1 1；
(2)求平面 1 1与平面 1 1的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
为圆 ：( + 1)2 + 2 = 8上任意一点，另有一点 (1,0)，线段 的垂直平分线和半径 相交于点 ．
(1)当点 在圆上运动时，求动点 的轨迹方程 ；
(2)直线 与 相交于 ， 两点，若以 为直径的圆过坐标原点 ，求证：点 到直线 的距离为定值．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 2 1．
(1)当 ≥ 1时，证明：函数 ( )在区间(0,+∞)上单调递增．
2 1
(2)证明：当 ≥ 1时， ≤ ．
2
1 2 3 2 +1
(3)证明：(1 + )(1 + )(1 + )…(1 + ) < 4 对正整数 恒成立．

第 3 页，共 9 页
19.(本小题17分)
在信息理论中， 和 是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为： ( = ) = ， ( = ) = ，
> 0， > 0， = 1，2， ， ，∑
= ∑ = 1.定义随机变量 的信息量 ( ) = ∑ =1 =1 =1 2 ，

和 的“距离” ( || ) = ∑ =1 2 ．
1
(1)若 ～ (2, )，求 ( )；
2
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为 (0 < < 1)，
由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为 ，发出信号1接收台收到信号为1的概率为
(0 < < 1)．
(ⅰ)若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；(用 ， 表示结果)
(ⅱ)记随机变量 和 分别为发出信号和收到信号，证明： ( || ) ≥ 0．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
7
12.【答案】
8
√ 17
13.【答案】
3
1 4
14.【答案】( , ]
2
15.【答案】解：(1)设等比数列{ }的公比为 ( > 1)，
22 1
4 = 1
5
由 3 = 6， 4 2 = 12，得{ 3 ， 1 1 = 12
= 2
解得{ 1 ，则 = 2 ；
= 2
2 1
(2) ∵ 1 = 2 ，∴ = ( ) ， 2
2 1 1 1
则数列{ }的前 项和 = 1 + 2 × ( ) + 3 × ( )
2+. . . + ( ) 1，
2 2 2
1 1 1 1 1
= + 2 × ( )
2 + 3 × ( )3+. . . + ( ) ，
2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1 1 1
两式作差可得 = 1 + + ( )
2+. . . +( ) 1 ( ) = 2 ( ) ，
2 2 2 2 2 11 2
2
1 1 1
∴ = 2 2( )
( ) ，
2 2 2
+2
则 = 4 1 ( ∈
)．
2
16.【答案】解：(1)证明：因为 // ， 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1，
第 5 页，共 9 页
又 平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 1 1 = ，所以 // ．
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
在△ 中 = 1， = 2，∠ = 60°，
由余弦定理可得 = √ 2 + 2 2 ∠
1
= √ 22 + 12 2 × 1 × 2 × = √ 3，
2
所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1．
(2)因为 // ， ⊥平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1，
如图建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0, √ 3, 0)， 1(1,0,1)， = ( 2,√ 3, 0)， 1 = ( 1,0,1)，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
= 2 + √ 3 = 0
则{ ，
1 = + = 0
2
令 = 1，得 = 1， = ，
√ 3
2
所以 = (1, , 1)，
√ 3
又 = (0,√ 3, 0)是平面 1 1的一个法向量，
记平面 1 1与平面 1 1的夹角为 ，
| | 2 √ 10
则 = = =| || | 10 5 ，
√ 3×√
3
所以平面 1 1与平面 1 1的夹角的余弦值为
√ 10．
5
17.【答案】解：(1)因为 为 垂直平分线上的点，
所以| | = | |，
因为| | + | | = 2√ 2，
第 6 页，共 9 页
所以| | + | | = 2√ 2 > | |，
所以 点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，且2 = 2√ 2，
解得 = √ 2， = 1，
则 2 = 1，
2
故动点 的轨迹方程为 + 2 = 1；
2
(2)证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
当直线 斜率不存在时，
由椭圆的对称性可知， 1 = 2， 1 = 2，
因为以 为直径的圆经过坐标原点，
所以 = 0，
此时 1 2 + 1 2 = 0，
即 21
2
1 = 0，
因为点 在曲线 上，
所以
2
1 + 21 = 1， 2
所以 √ 6| 1| = | 1| = ， 3
则点 到直线 距离 √ 6 1 = | 1| = ； 3
当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为 = + ( ≠ 0)，
= +
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(1 + 2
2) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
+ = 1
2
此时 = 8(2 2 2 + 1) > 0，
解得2 2 + 1 > 2，
4 2 2 2
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 2 +1 2 +1
第 7 页，共 9 页
此时 1 2 =
2 1 2 + ( 1 +
2
2) + ，
因为以 为直径的圆过坐标原点 ，
所以 ⊥ ，
所以 = 1 2 + 1 2 = 0，
即(1 + 2) 1 2 + ( 1 +
2
2) + = 0，
4 2 2 2
因为 1 + 2 = 2 ，
2 +1 1
2 = 2 ，
2 +1
整理得3 2 = 2( 2 + 1)，
| | | | √ 6
则点 到直线 的距离为 = = =
2 3 2 3 ． √ +1 √ 2
综上可知，点 到直线 的距离为定值，定值为√ 6．
3
18.【答案】证明：(1)由题意， ′( ) = 2 2(1 + ) = 2( 1)，
1
令 ( ) = 1，则 ′( ) = ，

1 1
当0 < < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，

1 1
∴函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，

1 1 1
∴ ( ) ≥ ( ) = × ln 1 = ≥ 0，

∴函数 ( )在区间(0,+∞)上单调递增；
(2)当 = 1时， (1) = 0，由(1)知，当 ∈ [1,+∞)时， ( ) ≥ (1) = 0，
2
即 2
1
2 1 ≥ 0，∴ ≤ ；
2
2
2 1 (1+ ) 1 2+2 1
(3)由(2)知， ≤ ，∴ ln(1 + ) < = = ( + )对于 ∈ (0,+∞)恒成立，
2 2(1+ ) 2(1+ ) 2 1+
1 1
由此，ln(1 + ) < ( + ) ≤ ( + )， = 1，2，3，…， ，
2 + 2 +1
1 2 3 1 2
∴ ln[(1 + )(1 + )(1 + )… (1 + )] = ln(1 + ) + ln(1 + ) + + ln(1 + )

1 1 2 1 2 1 +1 2 +1
< ( + + + + + + + ) = ( + ) = ，
2 +1 +1 +1 2 2 2 4
1 2 3 2 +1
故(1 + )(1 + )(1 + )…(1 + ) < 4 ．

1 1
19.【答案】解：(1)因为 ～ (2, )，所以 ( = ) = 2 ( )
2( = 0,1,2)，
2 2
所以 的分布列为：
第 8 页，共 9 页
0 1 2
111

424
1 1 1 1 1 1 3
所以 ( ) = (
4 2
+
4 2 2
+
2 4 2
) = ；
4 2
(2)(ⅰ)记发出信号0和1分别为事件 ( = 0,1)，收到信号0和1分别为事件 ( = 0,1)，
则 ( 0) = ， ( 1) = 1 ， ( 0| 0) = ( 1| 1) = ， ( 1| 0) = ( 0| 1) = 1 ，
所以 ( 0) = ( 0) ( 0| 0) + ( 1) ( 0| 1)
= + (1 )(1 ) = 1 + 2 ，
( ) ( | )
所以 ( | ) = 0 0 00 0 = ； ( 0) 1 +2
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知 ( 0) = 1 + 2 ，则 ( 1) = 1 ( 0) = + 2 ，
1
则 ( || ) = 2 + (1 ) ， 1 +2 2 + 2
1 1 1 1
设 ( ) = 1 ，则 ′( ) = = ，
2 2
所以当0 < < 1时 ′( ) > 0， ( )单调递增，当 > 1时 ′( ) < 0， ( )单调递减，
1
所以 ( ) ≤ (1) = 0，即 ≥ 1 (当且仅当 = 1时取等号)，

1 1
所以 2 = ≥ (1 )， 2 2
1
所以 ( || ) = 2 + (1 ) 1 +2 2 + 2
1 +2 1 + 2
≥ (1 ) + (1 ) = 0，
2 2 1
1 1
当且仅当 = = 1，即 = ，0 < < 1时等号成立，
1 +2 + 2 2
所以 ( || ) ≥ 0．
第 9 页，共 9 页