2024-2025学年湖北省市级示范高中智学联盟高三年级（上）联考数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年湖北省市级示范高中智学联盟高三年级（上）联考数学
试题（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
4
1.设集合 = { ∈ | = lg ( )}， = { 2, 1,0,1,3,4,5}，则 ∩ =( )
+2
A. {0,1,2,3} B. { 1,0,1,3}
C. { 2, 1,0,1,2,3} D. { 2, 1,0,1,3}

2.若复数 1， 2在复平面内对应的点关于 轴对称，且
1
1 = 1 + ，则复数 =( ) 2
A. 1 B. 1 C. D.
3.已知等差数列{ }的公差为 2，若 1 , 3 , 4成等比数列， 是{ }的前 项和，则 9等于( )
A. 8 B. 6 C. 10 D. 0
1 4
4.已知随机变量 (1, 2)，且 ( ≤ 1) = ( ≥ )，则 + (0 < < )的最小值为( )

9 7
A. 9 B. 3 C. D.
2 3
5.已知 的三个角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若3 = 2 ， = 2 ，则sin =( )
1 1 3√ 7 3√ 7
A. B. C. D.
8 8 8 8

6.将函数 ( ) = sin (2 + ) ( > 0)的图象向右平移 个单位长度后与函数 ( ) = cos(2 )的图象重合，
3 6
则 的最小值为( )
9 11 13 15
A. B. C. D.
2 2 2 2
2
7.已知函数 ( ) = { 2, ≥ 0,若 ( ) = ( + 4)，则 ( ) = 3 + 的单调递减区间为( )
+ 4, < 0,
( √ 15) (√ 15 √ 15A. ∞, , 或 , +∞) B. ( ∞, )∪ (
√ 15
, +∞)
15 15 15 15
√ 6
C. ( ∞, ) (
√ 6 ) ( √ 6 √ 6, 或 , +∞ D. ∞, ) ∪ ( ,+∞)
6 6 6 6
8.如图，底面同心的圆锥高为√ 30， ， 在半径为1的底面圆上， ， 在半径为2的底面圆上，且 // ，
5
= ，当四边形 面积最大时，点 到平面 的距离为( )
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√ 6 2√ 6 √ 12 2√ 12
A. B. C. D.
5 5 5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
2 2
A. 函数 = (
1) 在(1,+∞)上单调递增
3
B. 函数 ( )的定义域是[ 2,2]，则函数 ( + 1)的定义域为[ 3,1]
C. 不等式{ | 2 5 + 6 2 < 0}( ∈ )的解集为{ |2 < < 3 }
2
D. 函数 = 关于点( 1,2)中心对称
+1
10.在四棱锥 中，底面 是矩形， = 2√ 2， = = = 2，平面 ⊥平面 ，
点 在线段 上运动(不含端点)，则( )
A. 存在点 使得 ⊥
B. 四棱锥 外接球的表面积为12

C. 直线 与直线 所成角为
6
D. 当动点 到直线 的距离最小时，过点 ， ， 作截面交 于点 ，则四棱锥 的体积是1
1
11.设函数 ( ) = cos2 √ 3sin cos , > 0，则下列结论正确的是( )
2

A. ∈ (0,1), ( )在[ , ]上单调递减
6 4
B. 若 = 1且| ( 1) ( 2)| = 2，则| 1 2|min =
5 4
C. 若| ( )| = 1在[0, ]上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为[ , )
6 3

D. 存在 ∈ ( 1,0)，使得 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
9 ( ) 12.已知函数 = 为偶函数，则 =_________________． 3
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13.若 为一组从小到大排列的数 1，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则(2 + 1) 的展开
式中 2 3的系数为____________________．
6
14.已知 > 0， ∈ ，若关于 的不等式( 2)( 2 + 8) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，则 + 的最小值

为______________________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1 2 3 7
已知数列{ }满足 + + + + = 2
+1 ．
1 2 3 2
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求{ }的前 项和 ．
16.(本小题12分)
+
在 中，内角 , , 的对边长分别为 , , ，2( )sin cos = sin sin ．
2 2
(1)若 = 2，求 面积的最大值；

(2)若 = ，在 边 的外侧取一点 (点 在 外部)，使得 = 1， = 2，且四边形 的面
3
5
积为 √ 3 + 2，求∠ 的大小．
4
17.(本小题12分)
若 为平面 的一条斜线， 为斜足， 为 在平面 内的射影， 为平面 内的一条直线，其中 为 与
所成的角， 1为 与 所成的角，即线面角， 2为 与 所成的角，那么cos = cos 1cos 2 .简称为
三余弦定理。如图，在三棱柱 1 1 1中，底面 是边长为4的等边三角形， 1 = 6， 1 ⊥ ，
∠ 1 = 60°， 在 1上且满足 ．
(1)求证：平面 1 1 ⊥平面 ；(2)求平面 与平面 1 1夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知函数 (
1 2
) = ln ′(1) 2 +1， ( ) = 2 +2 ( )．
3
(1)求 ( )的单调区间；
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(2)设函数 ( ) = 2 + ，若存在 1 ∈ (0,1]，对任意的 2 ∈ [1,2]，总有 ( 1) > ( 2)成立，求实数 的
取值范围．
19.(本小题12分)
黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进
1 2
行了问卷调查，据统计，其中 的人计划只参观罗田天堂寨，另外 的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡
3 3
赤壁．每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分．假设每
位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取 人( ∈ )，记这 人的合计得分恰为 + 1分的概率为 ，求∑

=1 ；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 分的概率为 ，随着抽取人数的无限增加， 是
否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1
13.【答案】 840
14.【答案】8
1
15.【答案】解：(1)当 = 1 时，得 1 = ， 2
1 2 3 1 7
当 ≥ 2 时， + + + + = 2 ，
1 2 3 1 2

两式相减得： = 2 ，则 = ， 2

检验： 1 = 1 满足上式，故 = ； 2

(2)由(1)知 = ， 2
1 2 1
则 =
21
+
22
+ + 1 + ， 2 2
1 1 2 1
故 = 2 + 3 + +2 2
+ +1 ， 2 2 2
1 1 1 1 1
两式相减可得： = 1 + 2 + 3 + + 2 2 2 2 2 2 +1

(11 1 ) +2
= × 21 +1 = 1 2 1 2 2 +1
，
2
+2
故 = 2 ． 2
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( ) + 16.【答案】(1)解：由 2 sin cos = sin sin
2 2
因为 + = ，可得 ( )sin = sin sin ，
又由正弦定理得 ( ) = 2 2 ，即 2 + 2 2 = ，
2 2 + 2 1
由余弦定理得 cos = = ，
2 2

因为 0 < < ，可得 = ，所以 ∠ = ，
3 3
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 4 = 2 + 2 ≥ 2 = ，当且仅当 = = 2 时取等号，
1 1 √ 3
所以 = sin∠ ≤ × 4 × = √ 3 ， 2 2 2
所以 面积取得最大值 √ 3 ．
1
(2)解：设 ∠ = (0 < < ) ，则 = sin = sin ， 2
在 △ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 5 4cos ，

由(1)知， ∠ = 且 = ，所以 为正三角形，
3 3
√ 3 5
所以 2 = = √ 3 √ 3cos ， 4 4
5 5 5
可得 = sin + √ 3 √ 3cos = 2sin ( ) + √ 3 = √ 3 + 2 ， 4 3 4 4
5
因为 0 < < ，故 sin ( ) = 1 ，所以 = ，可得 = ．
3 3 2 6
17.【答案】解：(1)如图，过点 作 // 交 1 于 ，连接 , ，设 ∩ = ，
连接 , ∵ ⊥ 1, ∴ ⊥ ，
又 = 2 1 ，可得 = 4
∴ 四边形 为正方形， ∴ ⊥ ，
∵ = ,∠ = ∠ , = ，
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∴ , ∴ = ，
∵ 为 的中点， ∴ ⊥
因为 ∩ = ， , 平面 ， ∴ ⊥ 平面 ，
又 ∵ 平面 1 1 ,∴ 平面 1 1 ⊥ 平面 ．
1
(2)在 中， ∵ = = 2√ 2, ∴ = 2√ 2 ，
2
1
又 = 4, = = 2√ 2 ， ∵ 2 + 2 = 2 , ∴ ⊥ ，
2
又 ⊥ , ∩ = , , 平面 1 1 , ∴ ⊥ 平面 1 1 ，
故建立如图空间直角坐标系 ，
则 (2, 2,0) ， (0,0,2√ 2), ( 2, 2,0), 1( 2,4,0), 1(0,6,2√ 2) ，
∴ = 1 1 = (2,2,2√ 2) ， 1 = ( 4,6,0), = (4,0,0) ，
= 4 + 6 = 0
设平面 1 1 的一个法向量为 = ( 1, 1 , 1) ，则 {
1 1 1 1 ，
1 = 2 1 + 2 1 + 2√ 2 1 = 0
令 1 = 6 ，得 = (6,4, 5√ 2) ，
= 4 = 0
设平面 一个法向量为 = ( 2 , 2 , 2) ，则 {
2 ，
= 2 2 +2 2 + 2√ 2 2 = 0
令 2 = √ 2 ，得 = (0,√ 2, 1) ，
| | 9√ 2 3√ 17
|cos , | = = = ，
| | | | √ 102×√ 3 17
3√ 17
故平面 与平面 1 1 夹角的余弦值为 17
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1 1
18.【答案】解：(1) ′( ) = 2 ′(1) ， ( > 0) 令 = 1 ，则 ′(1) = .
3
( √ 6)( √ 6)
1 2 1 2 3 2
2 2 + 2 2
故 ( ) = ln + 1 且 ′( ) = = =
3 3 3 3
√ 6
当 ∈ (0, ) 时， ′( )
√ 6
> 0 ，故 ( ) 在 (0, ) 为增函数；
2 2
√ 6 √ 6
当 ∈ ( , +∞) 时， ′( ) < 0 ，故 ( ) 在 ( ,+∞) 为减函数．
2 2
√ 6 √ 6
故 ( ) 的单调增区间为 (0, ) ，单调减区间为 ( ,+∞) .
2 2
1 2 2
(2) ( ) = 2 +2 ( ) = 2 ln 1
3
( ) 2 1 2
2 +2
′ = 2 +
2
=
2
，
2
因为 2 2
1 15
+2 = 2( ) + > 0 ，故 ′( ) > 0 ，
4 8
所以 ( ) 在 (0,1] 上为增函数，故 ( )max = (1) = 2 2 0 1 = 1
(
1
) = 2 + 图象的对称轴为 = ，
2
故当 ∈ [1,2] 时， ( )max = (2) = 2 + .
因为存在 1 ∈ (0,1] ，对任意的 2 ∈ [1,2] ，总有 ( 1)> ( 2) 成立，
故 ( )max > ( )max ，即 1 > 2 + ，
故 < 3．
19.【答案】(1)解：由题意得，随机变量 的可能取值为 2,3,4 ，
1 1 1 2 4
可得 ( = 2) = ( )2 = ， ( = 3) = 1 × × = ，
3 9 2 3 3 9
2 4
( = 4) = ( )2 = ，
3 9
所以 的分布列如下表所示：
2 3 4
1 4 4

9 9 9
1 4 4 10
所以，数学期望为 ( ) = 2 × + 3 × + 4 × = ；
9 9 9 3
(2)解：由这 人的合计得分为 + 1 分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，
1 2 1 1 2 ∑ 2 2×2 2×3 2 1 2 2×2 2×3 2 所以 = ( ) = ， =1 = + 2 + 3 +. . .+ ，则 × ∑

=1 = 2 + 3 + 4 +. . .+ +1 ， 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
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1
2 2 2 2 2 2 2 1 2
由两式相减，可得 × ∑ 3
3 =1
= + 2 + 3 +. . .+ = × ， 3 3 3 3 3 +1 3 11 3 +1
3
3 1
所以 ∑ =1 = (1 ) 2 3 3
；
(3)解：在随机抽取的若干人的合计得分为 1 分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为 分
或 +1 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 + 1 分”为事件 ， 与 是对立事件，
2 2 3 2 3
因为 ( ) = ， ( ) = 1 ，所以 + 1 = 1( ≥ 2) ，即 = ( 3 3 5 3 1 )( ≥ 2) ， 5
1 3 4 2
因为 1 = ，则数列 { } 是首项为 ，公比为 的等比数列， 3 5 15 3
3 4 2 3 4 2
所以 = ( )
1( ≥ 1) ，所以 = ( )
1( ≥ 1) ，
5 15 3 5 15 3
3
所以随着抽取人数的无限增加， 趋近于常数 ． 5
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