2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第三次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列，则“”是“数列是等差数列”的( )
A. 充分不必烈条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上、下底面边长分别为，高为，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则( )
A. 是的一个周期 B. 是图象的一条对称轴
C. 是图象的一个对称中心 D. 在区间内单调递减
8.已知函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有( )
A. B. 若，互为共轭复数，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧点”下列选项中有“巧点”的函数是( )
A. B. C. D.
11.如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，若，则下列结论正确的有( )
A. 直线与所成角的大小为
B. 二面角的大小为
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知函数在区间上有且仅有个零点，则实数的取值范围为______．
14.函数，对任意的时，都有，则 ，函数的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列中，，记，是公差为的等差数列．
求的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
某学校对高三班名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中，，且分别表示这名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为．
求与的样本相关系数；
从概率统计规律来看，本次考试高三班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数
作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共名高三学生中，数学成绩位于区间的人数附：回归方程中，；样本相关系数；；若，则，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求的长．
18.本小题分
设，．
当时，求函数的最小值；
当时证明：；
证明：．
19.本小题分
若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”．
若函数是类周期为的“类周期函数”，证明：是周期函数；
已知是“类周期函数”，求的值及的类周期；
若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个．
参考答案
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15.解：当时，，
所以，
所以，
当时，，
所以，
又符合，
所以，；
由得，
所以，
所以，
得
，
所以．
16.解：因为关于的线性回归方程为，
所以，
即，
又由，可得，
所以；
由，
解得，
所以，
所以，
所以估计该校名高三学生中，数学成绩位于区间的人数约为人．
17.证明：，，为的中点，，
四边形为矩形，
，，
又平面平面，平面平面，
平面，
平面，
平面平面；
解：，为的中点，
，
平面平面，
平面平面，
平面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，
，，，
设，且，
则由 ，且，
得
所以，
又，
设平面法向量为，
则
令，则平面法向量为，
由题意知平面的一个法向量为，
二面角为，
，
即，
解得，
，
．
18.解：由，可知，的定义域为，
且，
所以为偶函数，下取，
当时，，则，
当时，则，此时在内单调递增，
当时，令，则，显然在内单调递增，
因为，所以，使得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
则在内恒成立，所以在内单调递减；
综上，在内单调递减，在内单调递增，
所以在内的最小值为，
又因为为偶函数，所以在内的最小值为．
证明：由可知，为定义在上的偶函数，下取，
由，令，
因为，则，
所以在内单调递增，所以，
即在内恒成立，所以在内单调递增，
所以在内的最小值为，
结合偶函数性质可知，．
证明：由可知，当时，，当且仅当时，等号成立，
即，令，则，
当时，，不等式成立；
当时，，
即，
则，
相加，可得，
因为，所以，所以，
综上，．
19.解：证明：因为是类周期为的“类周期函数”，
所以，
用代换得，
得，所以，
所以，所以是周期为的周期函数．
因为是“类周期函数”，
所以存在非零常数，使得对任意，都有，
即，
整理得，
所以，所以，，
所以，的类周期为．
因为奇函数是类周期为的“类周期函数”，
所以，且，
取，得，所以，
取，得，
所以，
因为，所以负值舍去，
所以，
设，则，
整理得，
所以，取．
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