第九讲 方程与不等式的综合应用
考点一 设置求结果的问题考查方程与不等式的有关概念
【例1】(2024·广州期末)已知关于x,y的方程组,满足x+3y≥0,则k的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【思路点拨】观察方程系数特点,用整体的思想求出x+3y的值,再求出不等式的解集,从而得出答案.
考点二 设置具体的情境考查构建方程(不等式)模型的能力
【例2】(2024·威海)《九章算术》是我国古老的数学经典著作,书中提到这样一道题目:以绳测井.若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何 题目大意是:用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份,一份绳长比井深多4尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺 若设绳长x尺,井深y尺,则符合题意的方程组是( )
A. B. C. D.
考点三 考查综合运用方程(组)与不等式(组)解决数学问题的能力
【例3】(2023·怀化)某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位;若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.
(1)求原计划租用A种客车多少辆 这次研学去了多少人
(2)若该校计划租用A,B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案
(3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金为每辆300元,应该怎样租车才最合算
【方法小结】决策型问题在考查学生运用知识解决实际问题能力方面具有较好的效果,因而决策型问题成为近年来较为常见的考查学生运用“方程与不等式”思想和知识解决实际问题能力的题目.解决此种题型,首先利用方程、不等式的相关知识,建立相应的数学模型,求出方程(组)和不等式(组)的解集,确定未知数的具体数值,未知数有几个值,即有几种方案,再根据实际情况进行方案选择.
1.(2023·深圳)某商场在世博会上购置A,B两种玩具,其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元,且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
(1)求A,B玩具的单价;
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍,且购置玩具的总额不高于20 000元,则该商场最多可以购置多少个A玩具
2.(2024·深圳)数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题,进行了实地调研,获得如下信息:
信息1 购物车的尺寸如图1所示.为节省空间,工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列.如图2所示,3辆购物车叠放所形成的购物车列,长度为1.6米.
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见,该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车,直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列.
如果你是项目小组成员,请根据以上信息,完成下列问题:
(1)当n辆购物车按图2的方式叠放时,形成购物车列的长度为L米,则L与n的关系式是________;
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量;
(3)若该超市需转运100辆购物车,使用电梯总次数为5,则有哪几种使用电梯次数的分配方案 请说明理由.第九讲 方程与不等式的综合应用
考点一 设置求结果的问题考查方程与不等式的有关概念
【例1】(2024·广州期末)已知关于x,y的方程组,满足x+3y≥0,则k的最大值是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
【思路点拨】观察方程系数特点,用整体的思想求出x+3y的值,再求出不等式的解集,从而得出答案.
考点二 设置具体的情境考查构建方程(不等式)模型的能力
【例2】(2024·威海)《九章算术》是我国古老的数学经典著作,书中提到这样一道题目:以绳测井.若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何 题目大意是:用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份,一份绳长比井深多4尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺 若设绳长x尺,井深y尺,则符合题意的方程组是(C)
A. B. C. D.
考点三 考查综合运用方程(组)与不等式(组)解决数学问题的能力
【例3】(2023·怀化)某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位;若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.
(1)求原计划租用A种客车多少辆 这次研学去了多少人
(2)若该校计划租用A,B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案
(3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金为每辆300元,应该怎样租车才最合算
【解析】(1)设原计划租用A种客车x辆,则这次研学去了(45x+30)人,
根据题意得45x+30=60(x-6),
解得x=26,
∴45x+30=45×26+30=1 200(人).
答:原计划租用A种客车26辆,这次研学去了1 200人;
(2)设租用B种客车y辆,则租用A种客车(25-y)辆,
根据题意得,
解得5≤y≤7,又∵y为正整数,
∴y可以为5,6,7,∴该学校共有3种租车方案,
方案1:租用5辆B种客车,20辆A种客车;
方案2:租用6辆B种客车,19辆A种客车;
方案3:租用7辆B种客车,18辆A种客车;
(3)选择方案1的总租金为300×5+220×20=5 900(元);
选择方案2的总租金为300×6+220×19=5 980(元);
选择方案3的总租金为300×7+220×18=6 060(元).
∵5 900<5 980<6 060,
∴租用5辆B种客车,20辆A种客车最合算.
【方法小结】决策型问题在考查学生运用知识解决实际问题能力方面具有较好的效果,因而决策型问题成为近年来较为常见的考查学生运用“方程与不等式”思想和知识解决实际问题能力的题目.解决此种题型,首先利用方程、不等式的相关知识,建立相应的数学模型,求出方程(组)和不等式(组)的解集,确定未知数的具体数值,未知数有几个值,即有几种方案,再根据实际情况进行方案选择.
1.(2023·深圳)某商场在世博会上购置A,B两种玩具,其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元,且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
(1)求A,B玩具的单价;
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍,且购置玩具的总额不高于20 000元,则该商场最多可以购置多少个A玩具
【解析】(1)设A玩具的单价为x元,则B玩具的单价为(x+25)元,
根据题意得:2(x+25)+x=200,
解得:x=50,
可得x+25=50+25=75,
则A玩具的单价为50元,B玩具的单价为75元;
(2)设商场可以购置A玩具y个,
根据题意得:50y+75×2y≤20 000,
解得:y≤100,
则最多可以购置100个A玩具.
2.(2024·深圳)数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题,进行了实地调研,获得如下信息:
信息1 购物车的尺寸如图1所示.为节省空间,工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列.如图2所示,3辆购物车叠放所形成的购物车列,长度为1.6米.
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见,该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车,直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列.
如果你是项目小组成员,请根据以上信息,完成下列问题:
(1)当n辆购物车按图2的方式叠放时,形成购物车列的长度为L米,则L与n的关系式是________;
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量;
(3)若该超市需转运100辆购物车,使用电梯总次数为5,则有哪几种使用电梯次数的分配方案 请说明理由.
【解析】(1)根据题意得:L=0.2n+1.
(2)当L=2.6时,0.2n+1=2.6,解得n=8,
2×8=16(辆),
答:直立电梯一次最多能转运16辆购物车;
(3)设用扶手电梯转运m次,直立电梯转运n次,
根据题意得:,
解得m≥,
∵m为正整数,且m≤5,
∴m=3,4,5,
∴共有3种分配方案,
分别为扶手电梯转运3次,直立电梯转运2次;
扶手电梯转运4次,直立电梯转运1次;
扶手电梯转运5次.
