第二十六讲 与圆有关的位置关系
知识要点 对点练习
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 __d>r__;点P在圆上 __d=r__;点P在圆内 __d2.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:__相交__、__相切__、__相离__. (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有__唯一__公共点的直线. ②性质:圆的切线__垂直于__过切点的直径. ③判定:经过半径的外端,并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长__相等__,这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角. 2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是__0≤d<2.5__. (2)(教材再开发·人教九上P101T3改编) 如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为__10__cm__.
3.三角形的内切圆 (1)定义:与三角形各边都__相切__的圆. (2)三角形的内心:三角形__内切圆__的圆心,是三角形三条__角平分线__的交点. 3.如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A=__20__°.
【考点一】点、直线和圆的位置关系
【例1】点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则☉O的半径是__6.5__cm或2.5__cm__.
【思路点拨】分点P在☉O外和☉O内两种情况分析;设☉O的半径为x cm,根据圆的性质列一元一次方程并求解,即可得到答案.
【方法小结】考点“点和圆的位置关系”多以填空题、选择题的形式出现.判断点与圆的位置关系:设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外 d>r;点P在圆上 d=r;点P在圆内 d【例2】(2023·衡阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 __.
【方法小结】考点“直线和圆的位置关系”多以填空题、选择题的形式出现.判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系:设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,①直线l和☉O相交 dr.
【考点二】切线的性质
【例3】(2024·临夏州)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.
【思路点拨】(1)连接OD,先根据切线的性质得到OD⊥CE,再证明OD∥AE得到∠ODA=∠EAD,结合OD=OA,进而判断AD平分∠CAE;
(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,利用勾股定理列出方程,然后解方程即可.
【解析】(1)连接OD,如图,
∵直线l与☉O相切于点D,∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EAD,∴AD平分∠CAE.
(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,
在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,
∴r2+32=(r+1)2,
解得r=4,即☉O的半径为4.
【方法小结】考点“切线的性质”,熟练掌握定理及性质是解题的关键.注意:若出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,现垂直.
【考点三】切线的判定
【例4】(2024·甘肃)如图,AB是☉O的直径,=,点E在AD的延长线上,
且∠ADC=∠AEB.
(1)求证:BE是☉O的切线;
(2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值.
【解析】(1)连接BD,OC,OD,
∵=,∴BC=BD.
∵OC=OD,∴点O,B在CD的垂直平分线上,∴OB垂直平分CD,∴∠AFD=90°.
∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=90°,∴AB⊥BE.
∵AB是☉O的直径,∴BE是☉O的切线.
(2)∵☉O的半径为2,∴AB=2×2=4.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵BC=3,∴AC===,
∴tan∠ABC==.
∵=,∴∠ADC=∠ABC.
∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC,
∴tan∠AEB=tan∠ABC=.
【方法小结】考点“切线的判定”,在判定一条直线为圆的切线时,常用切线的判定定理证明,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单地说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.
【考点四】切线长定理
【例5】(2023·泰安)为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出AB=4 cm,则这张光盘的半径是__6.9__cm.(精确到0.1 cm.参考数据:≈1.73)
【思路点拨】设光盘的圆心为O,连接OC,OA,OB,经过圆外一点A的两条直线AC与AB都与圆O相切,根据切线长定理得到AO为两切线的夹角平分线,由∠CAD的度数求出∠OAB的度数为60°,同时由切线的性质得到OB与AB垂直,在Rt△AOB中,由tan 60°等于对边OB与邻边AB之比,将AB及tan 60°的值代入,求出OB的长,即为圆的半径.
【方法小结】考点“切线长定理”多以填空题、选择题的形式出现,切线长定理包含着一些隐含结论:
①垂直关系三处;②全等关系三对;③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.
注意:千万不要理解为切线长就是切线的长度.
广东3年真题
1.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是(C)
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
2.(2024·广东)如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)实践与操作:用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点D为圆心,DC长为半径作☉D.求证:AB与☉D相切.
【解析】(1)如图,AD即为所求.
(2)过点D作DE⊥AB于点E,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,
∴DE=CD,∴DE为☉D的半径,
∴AB与☉D相切.
3.(2024·深圳)如图,A,B,C,D是☉O上的四点,AC是直径,AB=BD,☉O的切线BE交DC的延长线于点E.
(1)求证:BE⊥DE;
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半径.
【解析】(1)连接BO并延长交AD于点H,如图,
∵AB=BD,OA=OD,
∴BO垂直平分AD,
∴∠BHD=90°.
∵BE为☉O的切线,∴OB⊥BE,
∴∠OBE=90°.
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴四边形BEDH为矩形,
∴∠E=90°,∴BE⊥DE.
(2)∵四边形BEDH为矩形,
∴DH=BE=5.
在Rt△BDH中,∵BD=AB=5,DH=5,
∴BH==5.
设☉O的半径为r,则OH=5-r,OD=r,
在Rt△ODH中,(5-r)2+52=r2,
解得r=3,即☉O的半径为3.
4.(2023·广东)综合探究
如图1,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A'.连接AA'交BD于点E,连接CA'.
(1)求证:AA'⊥CA';
(2)以点O为圆心,OE为半径作圆.
①如图2,☉O与CD相切,求证:AA'=CA';
②如图3,☉O与CA'相切,AD=1,求☉O的面积.
【解析】(1)∵点A关于BD的对称点为A',∴AE=A'E,AA'⊥BD,
∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∴OE是△AA'C的中位线,
∴OE∥A'C,∴AA'⊥CA';
(2)①如图1,设☉O与CD切于点F,连接FO,并延长交AB于点G,
∴OF⊥CD,OF=OE,∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD=BD,AB∥CD,AC=BD,OA=AC,
∴OG⊥AB,∠FDO=∠OBG,OA=OB,∴∠GAO=∠GBO,
∵∠DOF=∠BOG,∴△DOF≌△BOG(ASA),
∴OG=OF,∴OG=OE,由(1)知:AA'⊥BD,
∴∠EAO=∠GAO,∵∠EAB+∠GBO=90°,
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°,
∴3∠EAO=90°,∴∠EAO=30°,由(1)知:AA'⊥CA',
∴tan∠EAO=,∴tan 30°=,∴AA'=CA';
②如图2,设☉O切CA'于点H,连接OH,
∴OH⊥CA',由(1)知:AA'⊥BD,AA'⊥CA',OA=OC,
∴OH∥AA',OE∥CA',∴△COH∽△CAA',△AOE∽△ACA',
∴==,==,∴AA'=2OH,CA'=2OE,∴AA'=CA',
∴∠A'AC=∠A'CA=45°,∴∠AOE=∠ACA'=45°,
∴AE=OE,OD=OA=AE,设AE=OE=x,则OD=OA=x,
∴DE=OD-OE=(-1)x,
在Rt△ADE中,由勾股定理得,x2+[(-1)x]2=1,
∴x2=,∴=π·OE2=π.
5.(2024·广州)如图,在菱形ABCD中,∠C=120°.点E在射线BC上运动(不与点B,点C重合),△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.
(1)当∠BAF=30°时,试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系,并说明理由;
(2)若AB=6+6,☉O为△AEF的外接圆,设☉O的半径为r.
①求r的取值范围;
②连接FD,直线FD能否与☉O相切 如果能,求BE的长度;如果不能,请说明理由.
【解析】(1)AF=AD,AF⊥AD,理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠BAD=∠C=120°.
∵△ABE和△AFE关于AE轴对称,
∴AB=AF,∴AF=AD.
∵∠BAF=30°,
∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=90°,
∴AF⊥AD.
(2)①如图,设△AEF的外接圆圆心为O,连接OA,OE,作OG⊥AE于点G,作AH⊥BC于点H.
∵∠AFE=∠ABE=60°,
∴∠AOE=120°.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=30°,
∴OA==AG.
∴r=OA=AG=·AE=AE.
在Rt△ABH中,AH=AB·sin 60°=9+3,
∵AE≥AH,且点E不与B,C重合,
∴AE≥9+3,且AE≠6+6,
∴r≥3+3,且r≠2+6.
②能相切,此时BE=12,理由如下:
假设能相切,如图画出示意图,设△AEF的外接圆圆心为O,连接OA,OF,作EH⊥AB于点H,
设∠AFD=α,则∠AEF=∠AEB=α(弦切角),
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-2α.
∵AF=AD,∴∠ADF=∠AFD=α,
∴∠DAF=180°-2α.
∵∠CEF=∠CAF,
∴∠CAF=180°-2α=∠DAF.
∵∠CAD=∠BAD=60°,
∴∠CAF=180°-2α=∠DAF=30°,
∴α=75°,即∠AEB=75°.
作EH⊥AB于点H,
∵∠B=60°,∴∠BEH=30°,
∴∠AEH=∠EAH=45°.
设BH=m,则EH=AH=m,BE=2m.
∵AB=6+6,
∴m+m=6+6,
∴m=6,∴BE=12.第二十六讲 与圆有关的位置关系
知识要点 对点练习
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 __ __;点P在圆上 __ __;点P在圆内 __ __. (2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定__ __圆. (3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的__ __的交点. 1.(1)若☉O的半径是4,点A在☉O内,则OA的长可能是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.不在同一直线上的三个点 (3)(教材再开发·人教九上P101T2改编)△ABC的三边长分别为6,8,10,则△ABC的外接圆的半径为__ __.
2.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:__ __、__ __、__ __. (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有__ __公共点的直线. ②性质:圆的切线__ __过切点的直径. ③判定:经过半径的外端,并且__ __于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长__ __,这一点和圆心的连线__ __两条切线的夹角. 2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是__ __. (2)(教材再开发·人教九上P101T3改编) 如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为__ __ __.
3.三角形的内切圆 (1)定义:与三角形各边都__ __的圆. (2)三角形的内心:三角形__ __的圆心,是三角形三条__ __的交点. 3.如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A=__ __°.
【考点一】点、直线和圆的位置关系
【例1】点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则☉O的半径是__ __ __ __.
【思路点拨】分点P在☉O外和☉O内两种情况分析;设☉O的半径为x cm,根据圆的性质列一元一次方程并求解,即可得到答案.
【方法小结】考点“点和圆的位置关系”多以填空题、选择题的形式出现.判断点与圆的位置关系:设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外 d>r;点P在圆上 d=r;点P在圆内 d【例2】(2023·衡阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 __.
【方法小结】考点“直线和圆的位置关系”多以填空题、选择题的形式出现.判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系:设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,①直线l和☉O相交 dr.
【考点二】切线的性质
【例3】(2024·临夏州)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.
【思路点拨】(1)连接OD,先根据切线的性质得到OD⊥CE,再证明OD∥AE得到∠ODA=∠EAD,结合OD=OA,进而判断AD平分∠CAE;
(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,利用勾股定理列出方程,然后解方程即可.
【方法小结】考点“切线的性质”,熟练掌握定理及性质是解题的关键.注意:若出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,现垂直.
【考点三】切线的判定
【例4】(2024·甘肃)如图,AB是☉O的直径,=,点E在AD的延长线上,
且∠ADC=∠AEB.
(1)求证:BE是☉O的切线;
(2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值.
【方法小结】考点“切线的判定”,在判定一条直线为圆的切线时,常用切线的判定定理证明,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单地说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.
【考点四】切线长定理
【例5】(2023·泰安)为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出AB=4 cm,则这张光盘的半径是__ __cm.(精确到0.1 cm.参考数据:≈1.73)
【思路点拨】设光盘的圆心为O,连接OC,OA,OB,经过圆外一点A的两条直线AC与AB都与圆O相切,根据切线长定理得到AO为两切线的夹角平分线,由∠CAD的度数求出∠OAB的度数为60°,同时由切线的性质得到OB与AB垂直,在Rt△AOB中,由tan 60°等于对边OB与邻边AB之比,将AB及tan 60°的值代入,求出OB的长,即为圆的半径.
【方法小结】考点“切线长定理”多以填空题、选择题的形式出现,切线长定理包含着一些隐含结论:
①垂直关系三处;②全等关系三对;③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.
注意:千万不要理解为切线长就是切线的长度.
广东3年真题
1.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
2.(2024·广东)如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)实践与操作:用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点D为圆心,DC长为半径作☉D.求证:AB与☉D相切.
3.(2024·深圳)如图,A,B,C,D是☉O上的四点,AC是直径,AB=BD,☉O的切线BE交DC的延长线于点E.
(1)求证:BE⊥DE;
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半径.
4.(2023·广东)综合探究
如图1,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A'.连接AA'交BD于点E,连接CA'.
(1)求证:AA'⊥CA';
(2)以点O为圆心,OE为半径作圆.
①如图2,☉O与CD相切,求证:AA'=CA';
②如图3,☉O与CA'相切,AD=1,求☉O的面积.
5.(2024·广州)如图,在菱形ABCD中,∠C=120°.点E在射线BC上运动(不与点B,点C重合),△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.
(1)当∠BAF=30°时,试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系,并说明理由;
(2)若AB=6+6,☉O为△AEF的外接圆,设☉O的半径为r.
①求r的取值范围;
②连接FD,直线FD能否与☉O相切 如果能,求BE的长度;如果不能,请说明理由.
