第二十四讲 菱形、矩形、正方形
知识要点 对点练习
1.矩形的判定 (1)有一个角是__直角__的平行四边形(定义) (2)对角线__相等__的平行四边形 (3)有三个角是__直角__的四边形 1.(教材再开发·人教八下P60习题T1改编)下列条件中,不能判定平行四边形ABCD是矩形的是(A) A.∠A=∠C B.∠A=∠B C.AC=BD D.AB⊥BC
2.矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是__直角__ (2)矩形的对角线__相等__ (3)既是__中心对称__图形,又是轴对称图形 2.下列语句中,不属于矩形性质的是(D) A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.两条对角线互相垂直
3.菱形的判定 (1)有一组邻边__相等__的平行四边形(定义) (2)对角线互相__垂直__的平行四边形 (3)四条边都__相等__的四边形 3.如图,要使平行四边形ABCD为菱形,还需添加的一个条件是__AB=AD(答案不唯一)__.(写出一个即可)
4.菱形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都__相等__ (2)菱形的两条对角线互相__垂直__,并且每一条对角线平分__一组对角__ (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的__一半__ (4)既是__中心对称__图形,又是轴对称图形 4.(1)如图,在菱形ABCD中, ∠ABC=80°,则∠BDA的度数为(A) A.40° B.50° C.80° D.100° (2)(教材再开发·北师九上P8例3改编)已知菱形两条对角线的长分别为5 cm和8 cm,则这个菱形的面积是__20__cm2.
5.正方形的判定 (1)有一组邻边__相等__并且有一个角是__直角__的平行四边形(定义) (2)一组邻边__相等__的矩形 (3)一个角是__直角__的菱形 (4)对角线相等且垂直的平行四边形 5.下列命题为真命题的是(B) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
6.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是__直角__ (2)正方形的四条边都__相等__ (3)正方形的两条对角线__相等__且互相__垂直平分__,每一条对角线平分一组对角 (4)既是__中心__对称图形,又是轴对称图形 6.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(D) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等
【考点一】菱形的性质与判定
【例1】如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知OA=OC,OB=OD,过点O作EF⊥BD,分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF.
(1)求证:四边形DEBF是菱形;
(2)设AD∥EF,AD+AB=12,BD=4,求AF的长.
【思路点拨】(1)先根据对角线互相平分证得四边形ABCD为平行四边形,再证得△DOF≌△BOE,从而得到DF∥BE,DF=BE,得到四边形DEBF为平行四边形,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论;
(2)过点F作FG⊥AB于点G,根据勾股定理求得AD,AB的长度,从而得到∠ABD=30°,根据菱形性质得到△BEF为等边三角形,再根据勾股定理求出GF的长度,根据勾股定理求出AF的长.
【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(ASA),∴BE=DF,
∵BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形,
∵EF⊥BD,∴四边形DEBF是菱形;
(2)过点F作FG⊥AB于点G,如图,
∵AD∥EF,EF⊥BD,∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∵AD+AB=12,BD=4,
∴AD2+(4)2=(12-AD)2,解得AD=4,AB=8,∴∠ABD=30°,
∵四边形DEBF是菱形,∴∠EBF=2∠ABD=60°,
∴△BEF是等边三角形,
∵OB=OD,EF∥AD,∴AE=BE=4,
∵FG⊥BE,∴EG=BG=2,
在Rt△BGF中,BF=4,BG=2,根据勾股定理得,FG==2,
在Rt△AGF中,AG=6,根据勾股定理得,AF===4.
【方法小结】菱形判定方法的选择
(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;
(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.
【考点二】矩形的性质与判定
【例2】(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,
EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
【思路点拨】(1)根据等腰三角形性质得AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°,由CE∥AD得∠ECD=∠ADB=90°,由AE⊥AD得∠EAD=90°,则∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,由此即可得出结论;
(2)根据等腰三角形性质得BD=CD=BC,根据四边形ADCE是矩形,得AE=CD,∠AEC=90°,进而可在Rt△AEC中求出AC,然后根据三角形的面积公式可求出EF的长.
【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BC=4,
∴BD=CD=BC=2,
由(1)可知:四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°,
在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,
由勾股定理得:AC==.
∵EF⊥AC,
∴由三角形的面积公式得:S△AEC=AC·EF=AE·CE,∴EF===.
【考点三】正方形的性质与判定
【例3】如图,E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的动点,满足AE=BF,连接CE,DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为 __.
【方法小结】此类试题属于中考选择题中的压轴题.解此类试题需要综合考虑多个知识点、多种方法进行解题.
【例4】(2023·杭州)在边长为1的正方形ABCD中,点E在边AD上(不与点A,D重合),射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED=,求DF的长.
(2)求证:AE·CF=1.
(3)以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段BE于点G.若EG=ED,求ED的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,
∴△DEF∽△CBF,
∴=,∴=,∴DF=;
(2)∵AB∥CD,∴∠ABE=∠F,
又∵∠A=∠BCD=90°,
∴△ABE∽△CFB,∴=,∴AE·CF=AB·BC=1;
(3)设EG=ED=x,则AE=AD-ED=1-x,BE=BG+GE=BC+GE=1+x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
∴1+(1-x)2=(1+x)2,
∴x=,∴DE=.
广东3年真题
1.(2022·深圳)下列说法错误的是(C)
A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B.同圆或等圆中,同弧对应的圆周角相等
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2.(2023·广东)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(B)
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
3.(2022·广东)菱形的边长为5,则它的周长是__20__.
4.(2024·广东)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为__10__.
5.(2024·广州)如图,Rt△ABC中,∠B=90°.
(1)尺规作图:作AC边上的中线BO(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中,将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.求证:四边形ABCD是矩形.
【解析】(1)如图所示,线段BO为AC边上的中线.
(2)∵点O是AC的中点,∴AO=CO.
∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,
∴BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
6.(2023·深圳)(1)如图1,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,
①若BE=BC,过C作CF⊥BE交BE于点F,求证:△ABE≌△FCB;
②若S矩形ABCD=20时,则BE·CF=________.
(2)如图2,在菱形ABCD中,cos A=,过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,过E作EF⊥AD交AD于点F,若S菱形ABCD=24时,求EF·BC的值.
(3)如图3,在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=6,AD=5,点E在CD上,且CE=2,点F为BC上一点,连接EF,过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G,若EF·EG=7时,请直接写出AG的长.
【解析】(1)①∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBF=90°,
又∵CF⊥BE,
∴∠FCB+∠CBF=90°,∠CFB=∠A=90°,
∴∠FCB=∠ABE,
又∵BC=EB,
∴△ABE≌△FCB(AAS);
②由①可得∠FCB=∠ABE,∠CFB=∠A=90°,
∴△ABE∽△FCB.
∴=,
又∵=AB·BC=20,
∴BE·CF=AB·BC=20,
答案:20
(2)∵在菱形ABCD中,cos A=,
∴AD∥BC,AB=BC,则∠CBE=∠A,
∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,
∴cos ∠CBE=,
∴BE=BC·cos ∠CBE=BC·cos A=BC,
∴AE=AB+BE=AB+BC=AB+AB=AB,
∵EF⊥AD,CE⊥AB,
∴∠AFE=∠BEC=90°,
又∵∠CBE=∠A,
∴△AFE∽△BEC,
∴==,
∴EF·BC=AE·CE=AB·CE=S菱形ABCD=×24=32;
(3)①当点G在AD边上时,如图所示,延长FE交AD的延长线于点M,连接GF,
过点E作 EH⊥DM于点H,
∵平行四边形ABCD中,AB=6,CE=2,
∴CD=AB=6,
DE=DC-EC=6-2=4,
∵DM∥FC,
∴△EDM∽△ECF,
∴===2,
==2,
∴S△MGE=2S△EFG=EF·EG=7,
在Rt△DEH 中,∠HDE=∠A=60°,
则EH=DE=×4=2,DH=DE=2,
∴MG·HE=7,
∴MG=7,
∵GE⊥EF,EH⊥MG,∠MEH=90°-∠HEG=∠HGE,
∴tan ∠MEH=tan ∠HGE,
∴=,
∴HE2=HM·HG,
设AG=a,则GD=AD-AG=5-a,
GH=GD+HD=5-a+2=7-a,HM=GM-GH=7-(7-a)=a,
(2)2=a(7-a),
解得a=3或a=4,
即AG=3或 AG=4,
②当G点在AB边上时,如图所示,
连接GF,延长GE交BC的延长线于点M,过点G作GN∥AD,则GN∥BC,四边形ADNG是平行四边形,
设AG=x,则 DN=AG=x,EN=DE-DN=4-x,
∵GN∥CM,
∴△ENG∽△ECM,
∴===,
∴CM==,
∴==,
∵EF·EG=7,
∴S△MEF==,
过点E作EH⊥BC于点H,
在Rt△EHC中,EC=2,∠ECH=60°,
∴EH=,CH=1,
∴S△MEF=·MF·EH,
则×·MF=,
∴MF=,
∴FH=MF-CM-CH=--1=,MH=CM+CH=+1=,
∵∠MEF=∠EHM=90°,∠FEH=90°-∠MEH=∠M,
∴tan ∠FEH=tan M,
即=,
∴EH2=FH·HM,
即()2=×,
解得x1=,x2=8 (舍去),
即AG=;
③当G点在BC边上时,如图所示,
过点B作BT⊥DC于点T,
在Rt△BTC 中,CT=BC=,BT=TC=,S△BTC=BT·TC=××=,
EF·EG=7,
∴S△EFG=,
∵<,
∴G点不可能在BC边上,
综上所述,AG的长为3或4或 .第二十四讲 菱形、矩形、正方形
知识要点 对点练习
1.矩形的判定 (1)有一个角是__ __的平行四边形(定义) (2)对角线__ __的平行四边形 (3)有三个角是__ __的四边形 1.(教材再开发·人教八下P60习题T1改编)下列条件中,不能判定平行四边形ABCD是矩形的是( ) A.∠A=∠C B.∠A=∠B C.AC=BD D.AB⊥BC
2.矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是__ __ (2)矩形的对角线__ __ (3)既是__ __图形,又是轴对称图形 2.下列语句中,不属于矩形性质的是( ) A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.两条对角线互相垂直
3.菱形的判定 (1)有一组邻边__ __的平行四边形(定义) (2)对角线互相__ __的平行四边形 (3)四条边都__ __的四边形 3.如图,要使平行四边形ABCD为菱形,还需添加的一个条件是__ __.(写出一个即可)
4.菱形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都__ __ (2)菱形的两条对角线互相__ __,并且每一条对角线平分__ __ (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的__ __ (4)既是__ __图形,又是轴对称图形 4.(1)如图,在菱形ABCD中, ∠ABC=80°,则∠BDA的度数为( ) A.40° B.50° C.80° D.100° (2)(教材再开发·北师九上P8例3改编)已知菱形两条对角线的长分别为5 cm和8 cm,则这个菱形的面积是__ __cm2.
5.正方形的判定 (1)有一组邻边__ __并且有一个角是__ __的平行四边形(定义) (2)一组邻边__ __的矩形 (3)一个角是__ __的菱形 (4)对角线相等且垂直的平行四边形 5.下列命题为真命题的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
6.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是__ __ (2)正方形的四条边都__ __ (3)正方形的两条对角线__ __且互相__ __,每一条对角线平分一组对角 (4)既是__ __对称图形,又是轴对称图形 6.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等
【考点一】菱形的性质与判定
【例1】如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知OA=OC,OB=OD,过点O作EF⊥BD,分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF.
(1)求证:四边形DEBF是菱形;
(2)设AD∥EF,AD+AB=12,BD=4,求AF的长.
【思路点拨】(1)先根据对角线互相平分证得四边形ABCD为平行四边形,再证得△DOF≌△BOE,从而得到DF∥BE,DF=BE,得到四边形DEBF为平行四边形,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论;
(2)过点F作FG⊥AB于点G,根据勾股定理求得AD,AB的长度,从而得到∠ABD=30°,根据菱形性质得到△BEF为等边三角形,再根据勾股定理求出GF的长度,根据勾股定理求出AF的长.
【方法小结】菱形判定方法的选择
(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;
(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.
【考点二】矩形的性质与判定
【例2】(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,
EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
【思路点拨】(1)根据等腰三角形性质得AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°,由CE∥AD得∠ECD=∠ADB=90°,由AE⊥AD得∠EAD=90°,则∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,由此即可得出结论;
(2)根据等腰三角形性质得BD=CD=BC,根据四边形ADCE是矩形,得AE=CD,∠AEC=90°,进而可在Rt△AEC中求出AC,然后根据三角形的面积公式可求出EF的长.
【考点三】正方形的性质与判定
【例3】如图,E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的动点,满足AE=BF,连接CE,DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为 __.
【方法小结】此类试题属于中考选择题中的压轴题.解此类试题需要综合考虑多个知识点、多种方法进行解题.
【例4】(2023·杭州)在边长为1的正方形ABCD中,点E在边AD上(不与点A,D重合),射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED=,求DF的长.
(2)求证:AE·CF=1.
(3)以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段BE于点G.若EG=ED,求ED的长.
广东3年真题
1.(2022·深圳)下列说法错误的是( )
A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B.同圆或等圆中,同弧对应的圆周角相等
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2.(2023·广东)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
3.(2022·广东)菱形的边长为5,则它的周长是__ __.
4.(2024·广东)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为__ __.
5.(2024·广州)如图,Rt△ABC中,∠B=90°.
(1)尺规作图:作AC边上的中线BO(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中,将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.求证:四边形ABCD是矩形.
6.(2023·深圳)(1)如图1,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,
①若BE=BC,过C作CF⊥BE交BE于点F,求证:△ABE≌△FCB;
②若S矩形ABCD=20时,则BE·CF=________.
(2)如图2,在菱形ABCD中,cos A=,过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,过E作EF⊥AD交AD于点F,若S菱形ABCD=24时,求EF·BC的值.
(3)如图3,在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=6,AD=5,点E在CD上,且CE=2,点F为BC上一点,连接EF,过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G,若EF·EG=7时,请直接写出AG的长.
