微专题10 相似三角形之五大模型
模型1 A字型(公共顶角)
特点 两个三角形有一个公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE与BC不平行,有∠ABC=∠AED
示例
思路结论 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
针对训练
1.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为( )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
2.如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
3.(2023·徐州)如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点.若点E在边AC上,且=,则AE的长为( )
A.1 B.2 C.1或 D.1或2
模型2 8字型(对顶角相等)
特点 有一组相等的对顶角
示例
思路结论 △AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
针对训练
4.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为__ __cm.
5.如图,点D为△ABC外一点,AD与BC边的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4,要使
△BDE∽△ACE,且点B,D的对应点为A,C,那么需要添加的一个条件是( )
A.CE= B.CE= C.AC=BD D.AC∥BD
模型3 旋转型(手拉手模型)
特点 A字型的两个三角形是初始状态,一个三角形绕着公共的顶点开始旋转,形成的图形
示例
思路结论 △ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC
针对训练
6.如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标为A(0,2),B(-1,0),将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O,若AB⊥OB1,则点A1的坐标为( )
A. (,) B. (,) C. (,) D. (,)
7.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别为AB,AD的中点,连接EF.如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°),使EF⊥AD,连接BE并延长交DF于点H.则∠BHD的度数为__ __,DH的长为 __.
模型4 一线三等角型(K型)
特点 在一条线段上有三个相等的角
示例
思路结论 通过三角形内外角关系、内角和相等、平角可得另外一组对应角相等,从而得到△ABC∽△CDE
针对训练
8.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,连接AP,作∠APE=
∠B交AC边于点E,若设BP=x,AE=y,则y关于x的函数表达式是__ __.
9.如图,正方形ABCD中,AB=16,AE=AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,设BP=x,CQ=y.
(1)y关于x的函数关系式为__ __.
(2)x=__ __时,ymax= __.
模型5 对角互补型
特点 有一对互补的对角
示例
思路结论 过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF
针对训练
10.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=__ __.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的顶点O在AB上,OM,ON分别交CA,CB于点P,Q,∠MON绕点O任意旋转.当=时,的值为 __;当=时,的值为 __.(用含n的式子表示) 微专题10 相似三角形之五大模型
模型1 A字型(公共顶角)
特点 两个三角形有一个公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE与BC不平行,有∠ABC=∠AED
示例
思路结论 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
针对训练
1.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为(C)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
2.如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是(B)
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
3.(2023·徐州)如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点.若点E在边AC上,且=,则AE的长为(D)
A.1 B.2 C.1或 D.1或2
模型2 8字型(对顶角相等)
特点 有一组相等的对顶角
示例
思路结论 △AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
针对训练
4.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为__20__cm.
5.如图,点D为△ABC外一点,AD与BC边的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4,要使
△BDE∽△ACE,且点B,D的对应点为A,C,那么需要添加的一个条件是(B)
A.CE= B.CE= C.AC=BD D.AC∥BD
模型3 旋转型(手拉手模型)
特点 A字型的两个三角形是初始状态,一个三角形绕着公共的顶点开始旋转,形成的图形
示例
思路结论 △ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC
针对训练
6.如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标为A(0,2),B(-1,0),将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O,若AB⊥OB1,则点A1的坐标为(A)
A. (,) B. (,) C. (,) D. (,)
7.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别为AB,AD的中点,连接EF.如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°),使EF⊥AD,连接BE并延长交DF于点H.则∠BHD的度数为__90°__,DH的长为 __.
模型4 一线三等角型(K型)
特点 在一条线段上有三个相等的角
示例
思路结论 通过三角形内外角关系、内角和相等、平角可得另外一组对应角相等,从而得到△ABC∽△CDE
针对训练
8.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,连接AP,作∠APE=
∠B交AC边于点E,若设BP=x,AE=y,则y关于x的函数表达式是__y=x2-x+5__.
9.如图,正方形ABCD中,AB=16,AE=AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,设BP=x,CQ=y.
(1)y关于x的函数关系式为__y=-x2+x__.
(2)x=__8__时,ymax= __.
模型5 对角互补型
特点 有一对互补的对角
示例
思路结论 过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF
针对训练
10.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=__3__.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的顶点O在AB上,OM,ON分别交CA,CB于点P,Q,∠MON绕点O任意旋转.当=时,的值为 __;当=时,的值为 __.(用含n的式子表示)
