微专题12 解直角三角形实际应用之四大模型
【模型1】独立型
特点 实物的背景一般为单一的直角三角形
原型 实际问题抽象出单独一个直角三角形,测得∠A和AC,计算可求出BC 【等量关系】BC=AC·tan A
变式 【等量关系】 ①AE=CD·tan α,②AC=AE+CE
针对训练
1.(2023·长春)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即
∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为( )
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
2.如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α要满足60°≤α≤75°,现有一架长5.5 m的梯子.
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)
(2)当梯子底端距离墙面2.2 m时,α等于多少度(结果保留小数点后一位) 此时人是否能够安全使用这架梯子
(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73,sin 23.6°≈0.40,cos 66.4°≈0.40,
tan 21.8°≈0.40)
【模型2】背靠背型
特点 两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边两侧
原型 若三角形中有已知角时,则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形 求解,其中公共边CD是解题的关键 【等量关系】CD为公共边,AD+BD=AB
变式 【等量关系】如图①,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;如图②,CD=EF, CE=DF,AD+CE+BF=AB
针对训练
3.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,
∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为( )
(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm
4.(2024·甘肃)习近平总书记于2023年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 m,点C与点E相距182 m(点C,H,E在同一条直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度. (参考数据:sin 53°≈,
cos 53°≈,tan 53°≈)
【模型3】母子型
特点 两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边同侧且共线
原型 若三角形中有已知角,通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解,其中公共边BC是解题的关键 【等量关系】BC为公共边,如图①,AD+DC=AC;如图②,DC-BC=DB
变式 模型演变1:【等量关系】如图③,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC; 如图④,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE. 模型演变2:【等量关系】如图⑤,BE+EC=BC; 如图⑥,EC-BC=BE; 如图⑦,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG. 模型演变3:【等量关系】如图⑧,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG; 如图⑨,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF, AC+BD+DF=AG
针对训练
5.(2024·临夏州)乾元塔位于临夏州临夏市的北山公园内,共九级,为砼框架式结构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后,开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,AB⊥BC,点C,D在点B的正东方向,在C点用高度为1.6米的测角仪(即CE=1.6米)测得A点仰角为37°,向西平移14.5米至点D,测得A点仰角为45°,请根据测量数据,求乾元塔的高度AB.(结果保留整数,参考数据:
sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
【模型4】 拥抱型
特点 两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边同侧且不共线
原型 分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键 【等量关系】BC为公共边
变式 【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE; 如图②,BC+CE=BE; 如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
针对训练
6.秀秀和山山在水平的地面上放风筝,某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方,即此时AC⊥AB,DB⊥AB,两人之间的距离AB为120米,若两人的风筝线与水平线的夹角分别为α和β,则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为(忽略两人的身高与手臂长度)( )
A.(120tan α+120tan β)米 B.(+)米
C.(120cos α+120cos β)米 D.(+)米
7.图1是一种淋浴喷头,图2是图1的示意图,若用支架把喷头固定在点A处,手柄长AB=20 cm,AB与墙壁AD的夹角∠α=30°,喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=80°.现在住户要求:当人站在E处淋浴时,水流正好喷洒在人体的C处,且使DE=50 cm,CE=150 cm,则安装师傅应将支架固定的位置离地面的高度为__ __cm.
(结果精确到1 cm,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,≈1.73,
≈1.41)微专题12 解直角三角形实际应用之四大模型
【模型1】独立型
特点 实物的背景一般为单一的直角三角形
原型 实际问题抽象出单独一个直角三角形,测得∠A和AC,计算可求出BC 【等量关系】BC=AC·tan A
变式 【等量关系】 ①AE=CD·tan α,②AC=AE+CE
针对训练
1.(2023·长春)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即
∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为(D)
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
2.如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α要满足60°≤α≤75°,现有一架长5.5 m的梯子.
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)
(2)当梯子底端距离墙面2.2 m时,α等于多少度(结果保留小数点后一位) 此时人是否能够安全使用这架梯子
(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73,sin 23.6°≈0.40,cos 66.4°≈0.40,
tan 21.8°≈0.40)
【解析】(1)由题意得,当α=75°时,使用这架梯子可以安全攀上最高的墙,
在Rt△ABC中,sin α=,∴AC=AB·sin α≈5.5×0.97≈5.3(m),
答:使用这架梯子最高可以安全攀上约5.3 m的墙;
(2)在Rt△ABC中,cos α===0.4,
则α≈66.4°,∵60°<66.4°<75°,
∴此时人能够安全使用这架梯子.
【模型2】背靠背型
特点 两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边两侧
原型 若三角形中有已知角时,则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形 求解,其中公共边CD是解题的关键 【等量关系】CD为公共边,AD+BD=AB
变式 【等量关系】如图①,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;如图②,CD=EF, CE=DF,AD+CE+BF=AB
针对训练
3.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,
∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(B)
(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm
4.(2024·甘肃)习近平总书记于2023年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 m,点C与点E相距182 m(点C,H,E在同一条直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度. (参考数据:sin 53°≈,
cos 53°≈,tan 53°≈)
【解析】连接DF交AH于点G,
由题意得:CD=EF=GH=1.6 m,DF=CE=182 m,DF⊥AH,
设DG=x m,∴FG=DF-DG=(182-x)m,
在Rt△ADG中,∠ADG=45°,
∴AG=DG·tan 45°=x m,在Rt△AFG中,∠AFG=53°,
∴AG=FG·tan 53°≈(182-x)m,∴x=(182-x),
解得x=104,
∴AG=104 m,∴AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m),
∴风电塔筒AH的高度约为105.6 m.
【模型3】母子型
特点 两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边同侧且共线
原型 若三角形中有已知角,通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解,其中公共边BC是解题的关键 【等量关系】BC为公共边,如图①,AD+DC=AC;如图②,DC-BC=DB
变式 模型演变1:【等量关系】如图③,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC; 如图④,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE. 模型演变2:【等量关系】如图⑤,BE+EC=BC; 如图⑥,EC-BC=BE; 如图⑦,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG. 模型演变3:【等量关系】如图⑧,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG; 如图⑨,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF, AC+BD+DF=AG
针对训练
5.(2024·临夏州)乾元塔位于临夏州临夏市的北山公园内,共九级,为砼框架式结构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后,开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,AB⊥BC,点C,D在点B的正东方向,在C点用高度为1.6米的测角仪(即CE=1.6米)测得A点仰角为37°,向西平移14.5米至点D,测得A点仰角为45°,请根据测量数据,求乾元塔的高度AB.(结果保留整数,参考数据:
sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
【解析】过E作EF⊥AB于F,
设FG=x m,
在Rt△AEF中,∵∠AEF=37°,
∴tan 37°=,
∴AF=EF·tan 37°≈0.75(x+14.5)=(0.75x+10.875)m.
在Rt△AGF中,∵∠AGF=45°,
∴tan 45°=,
∴AF=GF=x m,
∴0.75x+10.875=x,
∴x=43.5,
∴AB=AF+BF=43.5+1.6≈45(m).
答:乾元塔的高度AB约为45 m.
【模型4】 拥抱型
特点 两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边同侧且不共线
原型 分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键 【等量关系】BC为公共边
变式 【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE; 如图②,BC+CE=BE; 如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
针对训练
6.秀秀和山山在水平的地面上放风筝,某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方,即此时AC⊥AB,DB⊥AB,两人之间的距离AB为120米,若两人的风筝线与水平线的夹角分别为α和β,则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为(忽略两人的身高与手臂长度)(D)
A.(120tan α+120tan β)米 B.(+)米
C.(120cos α+120cos β)米 D.(+)米
7.图1是一种淋浴喷头,图2是图1的示意图,若用支架把喷头固定在点A处,手柄长AB=20 cm,AB与墙壁AD的夹角∠α=30°,喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=80°.现在住户要求:当人站在E处淋浴时,水流正好喷洒在人体的C处,且使DE=50 cm,CE=150 cm,则安装师傅应将支架固定的位置离地面的高度为__166__cm.
(结果精确到1 cm,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,≈1.73,
≈1.41)
