微专题13 特殊四边形的综合应用
【类型1】折叠问题
特点 矩形、菱形或正方形沿某条直线翻折
示例
思路 结论 (1)图形折叠意味着全等,要抓住其中的不变量; (2)若考查图形折叠的折痕问题,则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段,且平分对应边所成的角
针对训练
1.在矩形ABCD中,BC=CD,点E,F分别是边AD,BC上的动点,且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点C落在点G处,点D落在点H处.
(1)如图1,当EH与线段BC交于点P时,求证:PE=PF;
(2)如图2,当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:点M在线段EF的垂直平分线上;
(3)当AB=5时,在点E由点A移动到AD中点的过程中,计算出点G运动的路线长.
【类型2】旋转问题
特点 矩形、菱形或正方形绕某个点旋转
示例
思路 结论 (1)旋转前后图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角,抓住这些不变量是解题的关键; (2)若在坐标系中旋转变换,则需注意过图形顶点向x轴或y轴作垂线,将点的坐标转化为线段长度
针对训练
2.有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和AD上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.
【观察猜想】
(1)线段DE与AM之间的数量关系是__________,位置关系是__________;
【探究证明】
(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立 并说明理由.
【类型3】动点问题
特点 矩形、菱形或正方形边上的点运动变化
示例
思路 结论 (1)动中求静,发现运动变化中的不变量、不变图形; (2)把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系; (3)把握运动中的特殊位置,临界位置,分段、分情况讨论
针对训练
3.如图,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一动点,PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为点M,N,连接DP并延长,交MN于点E.
小亮说:点P在运动过程中,PD与MN的数量关系为PD=MN;
小莹说:点P在运动过程中,PD与MN的位置关系为PD⊥MN.
小亮和小莹两人的发现,________是对的;(填“小亮”“小莹”“两人都”)并说明你的理由. 微专题13 特殊四边形的综合应用
【类型1】折叠问题
特点 矩形、菱形或正方形沿某条直线翻折
示例
思路 结论 (1)图形折叠意味着全等,要抓住其中的不变量; (2)若考查图形折叠的折痕问题,则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段,且平分对应边所成的角
针对训练
1.在矩形ABCD中,BC=CD,点E,F分别是边AD,BC上的动点,且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点C落在点G处,点D落在点H处.
(1)如图1,当EH与线段BC交于点P时,求证:PE=PF;
(2)如图2,当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:点M在线段EF的垂直平分线上;
(3)当AB=5时,在点E由点A移动到AD中点的过程中,计算出点G运动的路线长.
【解析】(1)如题图1中,∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB,
由翻折变换可知,∠DEF=∠PEF,
∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF.
(2)如图2中,连接AC交EF于O,连接PM,PO.
∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,
∵AE=CF,∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF,
∵PE=PF,∴PO平分∠EPF,
∵AD=BC,AE=FC,
∴ED=BF,由折叠的性质可知ED=EH,所以BF=EH,
∴PE-EH=PF-BF,
∴PH=PB,
∵∠PHM=∠PBM=90°,PM=PM,
∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL),
∴PM平分∠EPF,∴P,M,O共线,
∵PO⊥EF,OE=OF,
∴点M在线段EF的垂直平分线上.
(3)如图3中,由题意,点E由点A移动到AD中点的过程中,点G运动的路径是图中弧BC.
在Rt△BCD中,tan∠CBD==,∴∠CBD=30°,
∴∠ABO=∠OAB=60°,∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OD=OB=OC=AB=5,∠BOC=120°,
∴点G运动的路径的长==π.
【类型2】旋转问题
特点 矩形、菱形或正方形绕某个点旋转
示例
思路 结论 (1)旋转前后图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角,抓住这些不变量是解题的关键; (2)若在坐标系中旋转变换,则需注意过图形顶点向x轴或y轴作垂线,将点的坐标转化为线段长度
针对训练
2.有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和AD上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.
【观察猜想】
(1)线段DE与AM之间的数量关系是__________,位置关系是__________;
【探究证明】
(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立 并说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形,
∴AD=AB,AF=AE,∠DAE=∠BAF=90°,∴△DAE≌△BAF(SAS),
∴DE=BF,∠ADE=∠ABF,∵∠ABF+∠AFB=90°,
∴∠ADE+∠AFB=90°,在Rt△BAF中,M是BF的中点,
∴AM=FM=BM=BF,∴DE=2AM.
∵AM=FM,∴∠AFB=∠MAF,
又∵∠ADE+∠AFB=90°,
∴∠ADE+∠MAF=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠MAF)=90°,即AN⊥DN;
答案:DE=2AM DE⊥AM
(2)仍然成立.证明如下:
延长AM至点H,使得AM=MH,连接FH,
∵M是BF的中点,∴BM=FM,又∵∠AMB=∠HMF,
∴△AMB≌△HMF(SAS),∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,
∴AB∥HF,∴∠HFG=∠AGF,∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,
∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠DAB+∠EAG=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH,
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM,
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA,
∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,
∴∠ADE=∠BAM,又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,
∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠DAM)=90°,即AN⊥DN.
故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM,线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM.
【类型3】动点问题
特点 矩形、菱形或正方形边上的点运动变化
示例
思路 结论 (1)动中求静,发现运动变化中的不变量、不变图形; (2)把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系; (3)把握运动中的特殊位置,临界位置,分段、分情况讨论
针对训练
3.如图,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一动点,PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为点M,N,连接DP并延长,交MN于点E.
小亮说:点P在运动过程中,PD与MN的数量关系为PD=MN;
小莹说:点P在运动过程中,PD与MN的位置关系为PD⊥MN.
小亮和小莹两人的发现,________是对的;(填“小亮”“小莹”“两人都”)并说明你的理由.
【解析】两人都是对的.理由如下:
延长NP,交AD于点F,则四边形AMPF为正方形,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,AB=AD,
∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴∠PMB=90°,∠PNB=90°,
∴四边形PNBM是矩形,∴PN=MB,∠MPN=90°,
∵四边形AMPF是正方形,∴AM=AF=PM=PF,∠PFA=90°,
∵AB=AD,∴MB=FD,∵PN=MB,∴PN=FD,
又∵PM=PF,∠PFD=∠MPN=90°,
在△MPN与△PFD中,,
∴△MPN≌△PFD(SAS),∴PD=MN,∠PNM=∠FDP,
∵∠NPE=∠FPD,∴∠NPE+∠PNM=∠FPD+∠FDP=90°,
∴∠PEN=90°,∴PD⊥MN.
答案:两人都
