微专题17 对称性质在最值中的应用
【模型1】“一线两点”型
特点 两个定点A,B,点P在直线l上运动,何时PA+PB最小
示例
思路结论 作点A关于直线l的对称点A',连接A'B与直线l交于点P,此时PA+PB最小
针对训练
1.如图,正方形ABCD的边长为6,点E在BC上,CE=2.点M是对角线BD上的一个动点,则EM+CM的最小值是(C)
A.6 B.3
C.2 D.4
2.(2023·贵州)如图①,是一座抛物线型拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示),抛物线的顶点在C处,对称轴OC与水平线OA垂直,OC=9,点A在抛物线上,且点A到对称轴的距离OA=3,点B在抛物线上,点B到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为更加稳固,小星想在OC上找一点P,加装拉杆PA,PB,同时使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点P的位置并求出坐标;
(3)为了使造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为y=-x2+2bx+b-1(b>0),当4≤x≤6时,函数y的值总大于等于9.求b的取值范围.
【解析】(1)设抛物线的表达式为y=ax2+9,
把点A(3,0)代入,得:9a+9=0,解得:a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-x2+9;
(2)作A点关于y轴的对称点A'(-3,0),连接A'B交OC于点P,则P点即为所求;
把x=1代入y=-x2+9,得:y=8,∴B(1,8)
设直线A'B的表达式为y=kx+m,代入B点和A'点,
∴,解得,
∴y=2x+6,令x=0,得y=6,∴P点的坐标为(0,6);
(3)y=-x2+2bx+b-1=-(x-b)2+b2+b-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=b,顶点坐标为(b,b2+b-1),
当0∴≤b≤4,当46-b,得:b>5,
∴-42+8b+b-1≥9,解得b≥∴5由b-4≤6-b,得:b≤5,∴-62+12b+b-1≥9,
解得:b≥,∴4当b≥6时,得:∴-42+8b+b-1≥9,
解得b≥,∴b≥6都成立;
综上所述,b的取值范围为b≥.
【模型2】 “一点两线”型
特点 一个定点C,点P在射线OA上运动,点Q在射线OB上运动,何时△CPQ的周长最小
示例
思路结论 分别作点C关于射线OA和射线OB的对称点C'和C'',连接C'C''与射线OA和射线OB交于点P和Q,此时△CPQ的周长最小
针对训练
3.如图,∠AOB=60°,点P到OA的距离是2,到OB的距离是3,M,N分别是OA,OB上的动点,则△PMN周长的最小值是(A)
A.2 B.3 C.9 D.5
4.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5 cm,点M,N分别是OB,OA边上的点,当△PMN周长的最小值是5 cm时,则∠AOB=__30°__.
【模型3】“两点两线”型
特点 两个定点A,B,点P在射线OC上运动,点Q在射线OD上运动,何时四边形APQB的周长最小
示例
思路结论 作点A关于射线OC的对称点A',作点B关于射线OD的对称点B',连接A'B',与射线OC和射线OD交于点P和Q,此时四边形APQB的周长最小
针对训练
5.如图,在边长为8的正方形ABCD中,点G是BC边的中点,E,F分别是AD和CD边上的点,则四边形BEFG周长的最小值为__24__.
6.已知,如图,∠AOB=33°,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠MPQ=α,∠PQN=β,当MP+PQ+QN最小时,则β-α=__66°__. 微专题17 对称性质在最值中的应用
【模型1】“一线两点”型
特点 两个定点A,B,点P在直线l上运动,何时PA+PB最小
示例
思路结论 作点A关于直线l的对称点A',连接A'B与直线l交于点P,此时PA+PB最小
针对训练
1.如图,正方形ABCD的边长为6,点E在BC上,CE=2.点M是对角线BD上的一个动点,则EM+CM的最小值是( )
A.6 B.3
C.2 D.4
2.(2023·贵州)如图①,是一座抛物线型拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示),抛物线的顶点在C处,对称轴OC与水平线OA垂直,OC=9,点A在抛物线上,且点A到对称轴的距离OA=3,点B在抛物线上,点B到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为更加稳固,小星想在OC上找一点P,加装拉杆PA,PB,同时使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点P的位置并求出坐标;
(3)为了使造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为y=-x2+2bx+b-1(b>0),当4≤x≤6时,函数y的值总大于等于9.求b的取值范围.
【模型2】 “一点两线”型
特点 一个定点C,点P在射线OA上运动,点Q在射线OB上运动,何时△CPQ的周长最小
示例
思路结论 分别作点C关于射线OA和射线OB的对称点C'和C'',连接C'C''与射线OA和射线OB交于点P和Q,此时△CPQ的周长最小
针对训练
3.如图,∠AOB=60°,点P到OA的距离是2,到OB的距离是3,M,N分别是OA,OB上的动点,则△PMN周长的最小值是( )
A.2 B.3 C.9 D.5
4.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5 cm,点M,N分别是OB,OA边上的点,当△PMN周长的最小值是5 cm时,则∠AOB=__ __.
【模型3】“两点两线”型
特点 两个定点A,B,点P在射线OC上运动,点Q在射线OD上运动,何时四边形APQB的周长最小
示例
思路结论 作点A关于射线OC的对称点A',作点B关于射线OD的对称点B',连接A'B',与射线OC和射线OD交于点P和Q,此时四边形APQB的周长最小
针对训练
5.如图,在边长为8的正方形ABCD中,点G是BC边的中点,E,F分别是AD和CD边上的点,则四边形BEFG周长的最小值为__ __.
6.已知,如图,∠AOB=33°,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠MPQ=α,∠PQN=β,当MP+PQ+QN最小时,则β-α=__ __.
