北师大版数学八年级上学期期末模拟卷（一）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024·济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·丽水）在平面直角坐标系中，点P(-1，m2+1)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·新疆维吾尔自治区）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：，则应选择的运动员是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（ ）
A．41° B．51° C．49° D．59°
5．（2022·梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·宁海）小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
8．（2023·齐齐哈尔）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
9．（2024·威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟
10．（2024·通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·无锡）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024·宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
14．（2023·湘西）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ．
15．（2024·达州）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度．
16．（2021·当阳模拟）若关于 ， 的方程组 的解满足 ，则 .
17．（2021·黄冈）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数.设 ， ，则 ，记 ， ，…， .则 .
18．（2022·呼伦贝尔、兴安盟）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ．
三、解答题（共9题，共66分）
19．（2021·临沂）计算 ．
20．（2024九上·广安期中）计算：
21．（2024·浙江）解方程组：．
22．（2022·淄博）解方程组：
23．（2024·山西）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
24．（2024·黑龙江）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式；
（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
25．（2022·柳州）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， 有下列三个条件： ， ， ．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ．
你选取的条件为 ( 填写序号 ) ( 只需选一个条件，多选不得分 )，你判定 ≌ 的依据是 (填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”)；
（2）利用 的结论 ≌ 求证： ．
26．（2019·乐山）如图，已知过点 的直线 与直线 ： 相交于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积.
27．（2022·雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元.
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不能计算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断；然后利用二次根式的性质：，可对D作出判断.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1≥1，
∴点P（-1，m2+1）在第二象限.
故答案为：B
【分析】利用平方的非负性可知m2+1≥1，由此可得到点P所在的象限.
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从平均数看，乙，丙的平均数高，成绩更优异；
从方差看，甲，丙的方差成绩数值小，稳定性好；
∴丙运动员成绩优异，
故答案为：C
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意分析数据的离散程度即可求解。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥b，
∴∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=∠ABC-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】过点B作EF∥a，根据平行线的传递性得EF∥b，然后根据平行线的性质得∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，接下来由矩形的性质得∠ABC=90°，即可求出∠1=∠ABC-∠2的值.
5．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得直线 与直线 相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 .
故答案为：B.
【分析】根据两一次函数的交点坐标即为两解析式组成的二元一次方程组的解进行解答.
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数，
故答案为：A.
【分析】由平均数的定义“所有数据的和除以数据的个数”可得答案.
7．【答案】C
【知识点】“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，即BC=12.
故答案为：C.
【分析】设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设10cm长度的导线有根，20cm长度的导线有根，
得 ，
变形得 ，
、为正整数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故共有7种方案.
故答案为：C.
【分析】先利用两种导线的数量关系列出二元一次方程，再根据数量要求列举出方案即可.
9．【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：如图，D点表示乙车休息，E点表示两车相遇，F点表示乙车继续行驶，
∴乙车中途休息时间为：3-2=1（h），D错误；
在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，
∴甲车的速度为，C错误；
∴A、C两地相距4×60=240（km），B错误；
设乙车休息前的速度为xkm/h，
∴2×60+（40-20）=2x，
解得x=70km/h，即乙车休息前的速度为70km/h，
设甲车行驶yh与乙车相遇，
∴60y=70×2+20，
解得，A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象得D、E、F三点所包含的信息，从而有乙车休息时间，在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，从而得甲车的速度，进而有A、C两地的距离，设乙车休息前的速度为xkm/h，观察函数图象得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙车休息前的速度，接下来设甲车行驶yh与乙车相遇，观察函数图象，列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得两车相遇的时间.
10．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，，，，
∴只有A选项符合题意，
故答案为：A
【分析】根据一次函数的图象得到，进而对选项逐一判断即可求解。
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质得到等腰三角形是本题解题关键，再通过等腰三角形的性质和三角形的内角和得到角之间的数量关系求得所求角度数.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故答案为：A
【分析】根据折叠的性质求出CE= DE， ∠C=∠CDE，再求出∠ADE = 90°，最后列方程求解即可。
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的解为，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】先把所求方程组转化为，观察该方程组与已知解的方程组结构特征，可得，解方程组求出x、y的值即可.
14．【答案】1
【知识点】代数式求值；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得a=2，b=-1，
∴1，
故答案为：1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得到a和b的值，进而即可求解。
15．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意可得：∠E1AD=∠CAB，∠E1BD=∠CBD，
∴设∠E1AD=α，∠E1BD=β，
则∠CAB=3α，∠CBD=3β，
由三角形外角的性质可得：
β=α+∠E1，3β=3α+∠C，∠E1=∠C，
同理可得：∠E2=∠E1，∠E2=()2∠C……，
∠En=()n∠C，即∠En=m°.
故答案为：m°.
【分析】由题意，设∠E1AD=α，∠E1BD=β，则∠CAB=3α，∠CBD=3β，再分别对△ABC、△E1AB运用三角形的外角的性质可求解.
16．【答案】2022
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①＋②得： ，
∵ ，
∴ ，
∴.
故答案为：2022.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得x+y=k-1，然后结合已知条件x+y=2021就可求出k的值.
17．【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10.
【分析】由二次根式的乘法法则可得ab=1，计算Sn=1，于是可知Sn与n的值无关，再计算S1+S2++S10即可求解.
18．【答案】
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵由二次根式的定义得，解得：，
∴，即：，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再求出y的值，最后将x、y的值代入计算即可。
19．【答案】解：
=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用绝对值的性质和平方差公式进行计算，然后合并即可.
20．【答案】．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
21．【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
22．【答案】解：整理方程组得，
得，
y=1，
把y=1代入①得，
解得x=5，
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
23．【答案】（1）7.5；7；25%
（2）解：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；
【知识点】条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组8人的成绩按从小到大的顺序排列如下：3，7，7，7，8，9，10，10，处于中间位置的两个数是7和8，=7.5，则中位数是7.5，a=7.5；
乙组8人的成绩中，7出现了5次，出现的次数最多，则众数为7，b=7；乙组中9分及以上共有2人，则优秀率==25％，则c=25％.
【分析】本题考查复式条形统计图，中位数，众数，方差，平均数及其意义，熟练掌握其的计算和意义是解题关键。（1）根据中位数的定义，可得a；根据众数的定义，可得b；乙组优秀人数2人，计算优秀率，可得c；（2）结合优秀率的意义，方差的意义，可得答案。
24．【答案】（1）30；40
（2）解：∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），
∴点E（4，105），F（5.5，225）．
设线段对应的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标E（4，105）和F（5.5，225）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．
（3）解：出发h或h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）甲货车到配货站之前的速度=105÷3.5=30（km/h），
乙货车的速度=[2×(225-105)]÷6=40（km/h），
故答案为：30；40；
（3）线段CM对应的函数表达式为y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），线段MN对应的函数表达式为y＝105+40（x﹣3）＝40x﹣15（3＜x≤6），
线段OD对应的函数表达式为y＝30x（0≤x≤3.5）．
①当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为﹣40x+225﹣105＝（﹣40x+120）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝﹣40x+120，解得x；
②当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为40x﹣15﹣105＝（40x﹣120）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝40x﹣120，解得x；
③当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与A地距离相等”，80x﹣215＝40x﹣15，解得x＝5；
综上所述，出发h或h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【分析】（1）将行程问题通过草图大致描述，不难分析甲、乙两货车行驶的路线图与函数图信息匹配，利用已知数据找出对应两货车的路程和时间即可求出目标所需速度；
（2）由题干和函数信息得出点E和点F的坐标，利用待定系数法即可求出此时线段EF的函数解析式；
（3）在求出甲货车的函数解析式基础上，进一步求出乙货车的函数解析式，分段讨论乙货车在往返途中距离配货站距离相等建立其函数关系式间的等量关系，后逐一解之即可.
25．【答案】（1）；
（2）证明： ≌ ．
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）在 和 中，
，
≌ ，
在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ，
选取的条件为 ，判定 ≌ 的依据是 ．
故答案为： ， ；
【分析】（1）由已知条件可知AB=DE、BC=EF，然后结合全等三角形的判定定理进行解答；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF，然后根据平行线的判定定理进行证明.
26．【答案】（1）解：
∵点P是两直线的交点，
将点P（1，a）代入
得 ，即
则 的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
那么 ，
解得： .
的解析式为：
（2）解：直线 与 轴相交于点 ，直线 与x轴相交于点A
的坐标为 ， 点的坐标为
则 ，
而 ，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）点P是两直线交点，已知 ： ，求出 的坐标为 。将BP两点代入 ，待定系数法即可求出解析式。
（2）将四边形 的面积 的表达式写出来， 。 即而根据已知点坐标，求三角形面积即可。
27．【答案】（1）解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则
解得：，
答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元.
（2）解：由题意可得：
即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，根据购进3件A商品和5件B商品费用相同可得3x=5y；根据购进3件A商品和1件B商品总费用为360元可得3x+y=360，联立求解即可；
（2）根据(售价-进价)×件数可得w与m的关系式.
1 / 1北师大版数学八年级上学期期末模拟卷（一）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024·济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不能计算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断；然后利用二次根式的性质：，可对D作出判断.
2．（2023·丽水）在平面直角坐标系中，点P(-1，m2+1)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1≥1，
∴点P（-1，m2+1）在第二象限.
故答案为：B
【分析】利用平方的非负性可知m2+1≥1，由此可得到点P所在的象限.
3．（2024·新疆维吾尔自治区）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：，则应选择的运动员是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从平均数看，乙，丙的平均数高，成绩更优异；
从方差看，甲，丙的方差成绩数值小，稳定性好；
∴丙运动员成绩优异，
故答案为：C
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意分析数据的离散程度即可求解。
4．（2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（ ）
A．41° B．51° C．49° D．59°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥b，
∴∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=∠ABC-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】过点B作EF∥a，根据平行线的传递性得EF∥b，然后根据平行线的性质得∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，接下来由矩形的性质得∠ABC=90°，即可求出∠1=∠ABC-∠2的值.
5．（2022·梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得直线 与直线 相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 .
故答案为：B.
【分析】根据两一次函数的交点坐标即为两解析式组成的二元一次方程组的解进行解答.
6．（2024·宁海）小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数，
故答案为：A.
【分析】由平均数的定义“所有数据的和除以数据的个数”可得答案.
7．（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，即BC=12.
故答案为：C.
【分析】设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
8．（2023·齐齐哈尔）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设10cm长度的导线有根，20cm长度的导线有根，
得 ，
变形得 ，
、为正整数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故共有7种方案.
故答案为：C.
【分析】先利用两种导线的数量关系列出二元一次方程，再根据数量要求列举出方案即可.
9．（2024·威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟
【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：如图，D点表示乙车休息，E点表示两车相遇，F点表示乙车继续行驶，
∴乙车中途休息时间为：3-2=1（h），D错误；
在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，
∴甲车的速度为，C错误；
∴A、C两地相距4×60=240（km），B错误；
设乙车休息前的速度为xkm/h，
∴2×60+（40-20）=2x，
解得x=70km/h，即乙车休息前的速度为70km/h，
设甲车行驶yh与乙车相遇，
∴60y=70×2+20，
解得，A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象得D、E、F三点所包含的信息，从而有乙车休息时间，在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，从而得甲车的速度，进而有A、C两地的距离，设乙车休息前的速度为xkm/h，观察函数图象得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙车休息前的速度，接下来设甲车行驶yh与乙车相遇，观察函数图象，列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得两车相遇的时间.
10．（2024·通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，，，，
∴只有A选项符合题意，
故答案为：A
【分析】根据一次函数的图象得到，进而对选项逐一判断即可求解。
11．（2023·无锡）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质得到等腰三角形是本题解题关键，再通过等腰三角形的性质和三角形的内角和得到角之间的数量关系求得所求角度数.
12．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故答案为：A
【分析】根据折叠的性质求出CE= DE， ∠C=∠CDE，再求出∠ADE = 90°，最后列方程求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2024·宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的解为，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】先把所求方程组转化为，观察该方程组与已知解的方程组结构特征，可得，解方程组求出x、y的值即可.
14．（2023·湘西）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ．
【答案】1
【知识点】代数式求值；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得a=2，b=-1，
∴1，
故答案为：1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得到a和b的值，进而即可求解。
15．（2024·达州）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意可得：∠E1AD=∠CAB，∠E1BD=∠CBD，
∴设∠E1AD=α，∠E1BD=β，
则∠CAB=3α，∠CBD=3β，
由三角形外角的性质可得：
β=α+∠E1，3β=3α+∠C，∠E1=∠C，
同理可得：∠E2=∠E1，∠E2=()2∠C……，
∠En=()n∠C，即∠En=m°.
故答案为：m°.
【分析】由题意，设∠E1AD=α，∠E1BD=β，则∠CAB=3α，∠CBD=3β，再分别对△ABC、△E1AB运用三角形的外角的性质可求解.
16．（2021·当阳模拟）若关于 ， 的方程组 的解满足 ，则 .
【答案】2022
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①＋②得： ，
∵ ，
∴ ，
∴.
故答案为：2022.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得x+y=k-1，然后结合已知条件x+y=2021就可求出k的值.
17．（2021·黄冈）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数.设 ， ，则 ，记 ， ，…， .则 .
【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10.
【分析】由二次根式的乘法法则可得ab=1，计算Sn=1，于是可知Sn与n的值无关，再计算S1+S2++S10即可求解.
18．（2022·呼伦贝尔、兴安盟）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵由二次根式的定义得，解得：，
∴，即：，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再求出y的值，最后将x、y的值代入计算即可。
三、解答题（共9题，共66分）
19．（2021·临沂）计算 ．
【答案】解：
=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用绝对值的性质和平方差公式进行计算，然后合并即可.
20．（2024九上·广安期中）计算：
【答案】．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
21．（2024·浙江）解方程组：．
【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
22．（2022·淄博）解方程组：
【答案】解：整理方程组得，
得，
y=1，
把y=1代入①得，
解得x=5，
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
23．（2024·山西）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】（1）7.5；7；25%
（2）解：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；
【知识点】条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲组8人的成绩按从小到大的顺序排列如下：3，7，7，7，8，9，10，10，处于中间位置的两个数是7和8，=7.5，则中位数是7.5，a=7.5；
乙组8人的成绩中，7出现了5次，出现的次数最多，则众数为7，b=7；乙组中9分及以上共有2人，则优秀率==25％，则c=25％.
【分析】本题考查复式条形统计图，中位数，众数，方差，平均数及其意义，熟练掌握其的计算和意义是解题关键。（1）根据中位数的定义，可得a；根据众数的定义，可得b；乙组优秀人数2人，计算优秀率，可得c；（2）结合优秀率的意义，方差的意义，可得答案。
24．（2024·黑龙江）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式；
（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】（1）30；40
（2）解：∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），
∴点E（4，105），F（5.5，225）．
设线段对应的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标E（4，105）和F（5.5，225）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．
（3）解：出发h或h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）甲货车到配货站之前的速度=105÷3.5=30（km/h），
乙货车的速度=[2×(225-105)]÷6=40（km/h），
故答案为：30；40；
（3）线段CM对应的函数表达式为y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），线段MN对应的函数表达式为y＝105+40（x﹣3）＝40x﹣15（3＜x≤6），
线段OD对应的函数表达式为y＝30x（0≤x≤3.5）．
①当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为﹣40x+225﹣105＝（﹣40x+120）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝﹣40x+120，解得x；
②当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为40x﹣15﹣105＝（40x﹣120）km，
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝40x﹣120，解得x；
③当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与A地距离相等”，80x﹣215＝40x﹣15，解得x＝5；
综上所述，出发h或h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【分析】（1）将行程问题通过草图大致描述，不难分析甲、乙两货车行驶的路线图与函数图信息匹配，利用已知数据找出对应两货车的路程和时间即可求出目标所需速度；
（2）由题干和函数信息得出点E和点F的坐标，利用待定系数法即可求出此时线段EF的函数解析式；
（3）在求出甲货车的函数解析式基础上，进一步求出乙货车的函数解析式，分段讨论乙货车在往返途中距离配货站距离相等建立其函数关系式间的等量关系，后逐一解之即可.
25．（2022·柳州）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， 有下列三个条件： ， ， ．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ．
你选取的条件为 ( 填写序号 ) ( 只需选一个条件，多选不得分 )，你判定 ≌ 的依据是 (填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”)；
（2）利用 的结论 ≌ 求证： ．
【答案】（1）；
（2）证明： ≌ ．
，
．
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）在 和 中，
，
≌ ，
在上述三个条件中选取一个条件，使得 ≌ ，
选取的条件为 ，判定 ≌ 的依据是 ．
故答案为： ， ；
【分析】（1）由已知条件可知AB=DE、BC=EF，然后结合全等三角形的判定定理进行解答；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF，然后根据平行线的判定定理进行证明.
26．（2019·乐山）如图，已知过点 的直线 与直线 ： 相交于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积.
【答案】（1）解：
∵点P是两直线的交点，
将点P（1，a）代入
得 ，即
则 的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
那么 ，
解得： .
的解析式为：
（2）解：直线 与 轴相交于点 ，直线 与x轴相交于点A
的坐标为 ， 点的坐标为
则 ，
而 ，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）点P是两直线交点，已知 ： ，求出 的坐标为 。将BP两点代入 ，待定系数法即可求出解析式。
（2）将四边形 的面积 的表达式写出来， 。 即而根据已知点坐标，求三角形面积即可。
27．（2022·雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元.
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式.
【答案】（1）解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则
解得：，
答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元.
（2）解：由题意可得：
即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，根据购进3件A商品和5件B商品费用相同可得3x=5y；根据购进3件A商品和1件B商品总费用为360元可得3x+y=360，联立求解即可；
（2）根据(售价-进价)×件数可得w与m的关系式.
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