重庆市南开中学高2024-2025学年高三上学期12月初数学测试卷（含答案）

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重庆南开中学高2025级高三（上）数学测试（12.1）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（）
A. 7 B. 14 C. 21 D. 42
2. 已知复数，则（）
A. 2 B. C. 1 D. 0
3. 已知直线和，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（）
A. B. C. D. 4
7. 已知抛物线C：的焦点为，直线与C交于A，B两点，则（）
A. 18 B. 16 C. 6 D. 4
8. 设无穷等差数列的公差为，集合.则（）
A. 不可能有无数个元素
B. 当且仅当时，只有1个元素
C. 当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为
D. 当时，最多有个元素，且这个元素的和为0
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 在数列和中，，，，下列说法正确的有（）
A. B.
C. 36是与的公共项 D.
10. 已知椭圆，不经过原点、斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，为线段的中点.下列结论正确的是（）
A. 直线与垂直
B. 若点M坐标为，则直线方程为
C. 若直线方程，则点M坐标为
D. 若直线方程为，则
11. 已知直线l经过点，曲线，下列说法正确的（）
A. 当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为
B. 当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
C. 当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为
D. 存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为___________.
13. 已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为________．
14. 椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.
（1）求圆C的标准方程
（2）过点作圆C的切线，求切线方程．
16. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
求双曲线的方程；
以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.
17. 某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.
20 66 770 200 14
460 4.20 3125000 0308 21500
（1）设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.
18. 已知椭圆（，）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，点P、Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，且四边形的面积为.
（1）求椭圆C标准方程；
（2）若斜率不为0的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于G、H两点，直线、与直线分别交于点M、N.求证：M、N两点的纵坐标之积为定值.
19. 已知函数．
（1）若曲线和直线相切，求a的值；
（2）若存在两个不同a，使得的最小值为0，求证：．
重庆南开中学高2025级高三（上）数学测试（12.1）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】##
13.【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【分析】(1)由圆心既在直线上又在直线上，所以条直线的交点即为圆心．（2）分别讨论斜率存在和不存在时两种情况，再利用相切时点到直线的距离等于半径即可．
【详解】（1）联立，得，则圆C的圆C坐标为．
因为圆C的半径为1，所以圆的方程为：．
（2）如果不存在，则方程为，是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：，即．运用距离公式，解得．方程为．
综上所述切线方程为：和．
16.
【解析】
【分析】
根据椭圆的方程和题意，得到双曲线的焦点坐标，求出，再由等轴双曲线的性质，以及，即可求出结果；
先讨论所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.
【详解】由已知椭圆
得双曲线的焦点为，即，
由等轴双曲线的性质及，
则
所求双曲线的方程为
当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为，
故此时不满足题意;
当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为，
联立方程组得
①
点在所在的直线上，即②.
联立①②两式，解得，
经检验，直线方程即为所求.
17.
【解析】
【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出，比较大小即可判断；
（2）（i）由取对数，换元得，由表中数据分别求和，得经验回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得；
（ii）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量.
【小问1详解】
由题意知
.
因为，所以，
故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强.
【小问2详解】
（i）由，得，即.
因，
所以，
故关于的经验回归方程为，即
,所以.
（ii）将代入得.
，故得，解得，
故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.
18.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义与勾股定理列式求解即可得椭圆方程；
（2）直线与椭圆相交确定交点坐标关系，根据坐标运算即可得结论.
【小问1详解】
因为点P，Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，所以四边形为矩形，
又，所以.
所以，由椭圆定义与勾股定理知，
所以，所以，所以.
又，解得.
所以，故椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
因为，所以可设直线的方程为.
联立方程组，消去x化简并整理得.
设，，可得，.
因为，所以直线的方程为.
设点M、N的纵坐标分别为，，令，可得，同理可得.
所以
.
所以M、N两点的纵坐标之积为定值.
19.
【解析】
【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义可得，结合题设可得，进而求解即可；
（2）求出导数后，分、与讨论函数的调性后，构造函数，结合导数可得存在两个不同的，使得的最小值为0等价于存在两个不同的，使得，再构造函数，利用导数研究其单调性后即可得证.
【小问1详解】
由，则，
设切点为，则，即，
又，即，
则，解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，由，即.
综上所述，.
【小问2详解】
证明：由，则，
令，则，
当时，，单调递增，没有最小值，不满足题意；
当时，考虑这一侧，有，
则当时，，不满足题意；
当时, 恒成立, 在上单调递增，
取即有；
当时，有，则当时，；
所以存在唯一的，使得，
此时在上单调递减，在上单调递增，
且有，也即，
于是，，
记，则，
当时，恒成立，单调递增，
所以存在两个不同，使得的最小值为0，
也即存在两个不同的，使得；
记，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以；
若，当时，，
而当时，单调递减，方程至多有一个解，不满足题意；
若，则有，方程至多有一个解，满足题意；
综上所述，.
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