重庆市育才中学2024-2025学年高一上学期12月诊断性考试数学试题（含答案）

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高2027届高一（上）十二月诊断性考试
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号：
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
2. 设命题，则p的否定为（）
A B.
C. D.
3. 已知，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致是（）
A. B. C. D.
6. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数满足关系式：，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（）
A. 600 B. 800 C. 3200 D. 3400
8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 设a，b为实数，且，下列不等式中一定成立的是（）
A. B. C. D.
10. 已知，则下列结论正确的是（）
A. 的值域为 B. 的图象的对称中心为
C. 在区间上单调递减 D. 的解集为或
11. 已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（）
A. 奇函数
B.
C. 若方程有且仅有一个解，则a的取值范围是
D. 函数，若存在，使成立，则
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则的最大值为_________．
13. 已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为_________写一个即可
14. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”．已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是_______．
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
16. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）．
（1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围；
（2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值．
17. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断奇偶性，并加以证明；
（3）若，求实数m的取值范围．
18. 函数对任意的实数a，b，都有，且当时，，
（1）求值：
（2）求证：是上的增函数；
（3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围．
19. 已知函数（，且）过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数为的反函数，且在上单调递增，求b的取值范围；
（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数c的取值范围．
高2027届高一（上）十二月诊断性考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】AB
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.【答案】 答案不唯一
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）根据指数运算法则求解即可；
（2）根据换底公式及对数运算法则求值；
（3）结合指数运算法则和对数运算法则化简求值.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
16.
【解析】
【分析】（1）由题意得，解不等式即可；
（2）将变形为，再利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
令，即，
整理得，即，
解得，
所以设备占地面积的取值范围为；
【小问2详解】
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元.
17.
【解析】
【分析】（1）由且求解；
（2）利用函数奇偶性的定义证明即可；
（3）将转化为求解即可.
【小问1详解】
由题意得：且，
解得，所以函数定义域为；
【小问2详解】
因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为偶函数；
【小问3详解】
，
则，化简得且，
解得或，
故实数m的取值范围为或.
18.
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，令，即可求出结果；
（2）设且，取，，根据题中条件，作差比较，根据单调性的定义，即可证明结论成立；
（3）由（1）（2），将不等式化为，求出的最大值，即可得出结果.
【小问1详解】
因为函数对任意的实数a，b，都有，
令，则，所以；
【小问2详解】
设且，取，，
则，即，
由于当时，，因为，所以，
即，
由增函数的定义可知是上的增函数；
【小问3详解】
不等式等价于，
由（2）可知是上的增函数，
故在上恒成立，
下面求函数的最大值：
令，，其对称轴为，
故有：当时，
函数递增，函数递增，故函数递增；
当时，函数递增，函数递减，
故函数递减；
因此，函数在时有最大值，即所求范围.
19.
【解析】
【分析】（1）把点代入解析式即可得到结果.
（2）利用反函数的概念求出的解析式，根据复合函数的单调性可求参数b的取值范围.
（3）根据条件求出与的解析式，把问题转化在上恒成立，利用换元法分离参数结合基本不等式即可得到结果.
【小问1详解】
∵函数过点，
∴，解得，故函数解析式为.
【小问2详解】
∵函数为的反函数，∴，在上为增函数，
∵在上单调递增，
∴上单调递增，且当时，，
∵对称轴为直线，∴，解得，
∴b的取值范围为.
小问3详解】
∵，
∴，
∵为奇函数，为偶函数，∴，
∴，.
∵，，∴，
∵对于任意，都存在，使得等式成立，
∴在上恒成立，
∵在上为增函数，在上为减函数，∴在上为增函数.
令，则，
问题转化为在上恒成立，∴恒成立，即，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，即，∴，
∴实数c的取值范围为.
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