重庆市清华中学2024-2025学年高二上学期12月检测（期中）数学试题（含答案）

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重庆市清华中学校高2026届高二上期12月检测
数学试题
（满分：150分时间：120分钟）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（）
A. B.
C. D.
3. 与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（）
A. B. C. D.
4. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（）
A. 1 B. 2 C. D.
5. 下列说法错误的是（）
A. 若空间中点满足，则三点共线
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. ，若，则与的夹角为锐角
D. 对空间任意一点和不共线三点，若，则共面
6. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
7. 已知直线与圆，点在直线上，过点作圆切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（）
A. B. C. D.
8. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆，则椭圆（）
A. 焦点在轴上 B. 长轴长为10 C. 短轴长为4 D. 离心率为
10. 在正方体中，点为平面内一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹可能是（）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
11. 已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是______．
13. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______.
14. 已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知为实数，设直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求与的距离．
16. 如图，在正方体中，分别为的中点．
（1）求异面直线与的夹角的正弦值；
（2）求点到线段距离．
17. 求下列曲线的方程
（1）若圆与轴相切，且圆心为关于直线的对称点，求圆的标准方程．
（2）双曲线的焦点在轴上，焦点为，焦距为，双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，求双曲线的标准方程；
（3）已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且，求拋物线的方程；
18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
重庆市清华中学校高2026届高二上期12月检测
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】D
2.
【答案】B
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】5
13.
【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）由，可得，从而可求出实数的值；
（2）根据条件得到，进而求出满足条件的实数的值，再利用平行线间的距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
又，所以，解得.
【小问2详解】
因为，
又，所以，即，解得或，
当时，，此时，
两平行线间的距离为，
当时，，此时两直线重合，不合题意，
所以，两平行线间的距离为.
16.
【解析】
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别取异面直线的方向向量，利用夹角的余弦公式，再结合同角三角函数的平方式，可得答案；
（2）根据（1）空间直角坐标系，利用空间点到直线的距离公式直接求解即可.
【小问1详解】
由题意，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图：
则，
取，
设异面直线与的夹角为，
则，
可得.
小问2详解】
由（1）可知，取，
直线的单位方向向量，
点到线段的距离为.
17.
【解析】
【分析】（1）先根据对称得到圆心，圆与轴相切可知圆的半径等于圆心纵坐标的绝对值，即可求得结果；
（2）根据焦距得到的值，再根据焦点到渐近线的距离得到的值，再根据得到的值，即可求出结果；
（3）根据抛物线的性质设出抛物线方程，已知抛物线上一点横坐标可得到该点的纵坐标，再根据向量的数量积公式列出方程，可求得结果.
【小问1详解】
设关于直线的对称点，
所以，直线斜率为，
所以①，
又因为中点在直线上，
所以②，
联立①②可求得，即圆心为，
又圆与轴相切，所以半径，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
因为焦距为，所以，即，，
设双曲线方程为，右焦点为到其中一条渐近线（即）的距离为，
根据点到直线距离公式，又，
所以，解得，即，
所以，
所以双曲线标准方程为；
【小问3详解】
因为抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为轴，抛物线上一点的横坐标为2，
所以抛物线开口向右，设抛物线方程为，焦点，
当时，，
不妨设点，所以，
因为，所以，
解得，
所以抛物线方程为.
18.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；
（2）利用空间向量法求点到面的距离；
（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.
【小问1详解】
连接，因为为等边三角形，为中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为，分别为，中点，则，可得，
且，，平面，所以平面.
【小问2详解】
由题设知四边形为菱形，且，所以为正三角形，
又因为为中点，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由平面，平面，可得，，
又因为为等边三角形，为中点，所以，
则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
因为，
设，，则，
可得，，，即，
可得，
由（2）知：平面，即平面的一个法向量
设平面的法向量，则，
令，则，，可得；
则，
令，则，
可得，
因为，则，可得，
所以锐二面角的余弦值的取值范围为
19.
【解析】
【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解；
（3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.
【小问1详解】
由题意，因为，为直角三角形，所以.
又，所以，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，,显然直线的斜率存在，
设直线方程为，，
联立消去得，，
所以，即.
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
【小问3详解】
由题意，,
设直线的方程为,，
则直线的方程为，，
联立消去得，
所以
所以
所以，
同理联立消去得，
所以
所以
所以，
即的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为.
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