河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷四（含解析）

河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（四）
考试时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．秋天到了，同学们收集了很多漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句．据测定，5000～10000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米0.05克～0.1克，这说明一片雪花是非常轻的．数据“0.05克”用科学记数法表示为（ ）
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．如图，平分，、、分别是射线、射线、射线上的点，、、与点都不重合，连接、．若添加下列条件中的某一个，就能使．下列条件不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
7．若，则分式（ ）．
A． B． C．1 D．
8．如图，下列说法中正确的是（ ）
A．点A与点B关于y轴对称 B．点A与点D关于y轴对称
C．点B与点E关于y轴对称 D．点C与点E关于x轴对称
9．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行100km所用的时间等于以最大航速沿江逆流航行80km所用的时间．设江水的流速为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知，点D、E分别在、上且，连接交于点M，连接，过点A分别作，垂足分别为F、G，下列结论：①；②；③平分；④如果，则E是的中点；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝ ．
13．在中，，则边上的中线的取值范围是 ．
14．两个边长分别为和的正方形如图1放置，其未重叠部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为，则可用含，的代数式表示为 ．
15．如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在上，若是等腰三角形，那么的大小为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；(2)．
17．先化简，再求值：其中x从1，2，3三个数中任取一个求值．
18．如图，已知交于点O，，．求证：．
19．解方程：
(1)；(2)．
20．如图，在中，．
(1)尺规作图：求作的平分线，与交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求各角的度数．
21．阅读理解：将代数式转化为的形式（其中m、k为常数），则，其中．
(1)仿照此法将代数式化为的形式，并指出m、k的值；
(2)已知在初中数学学习中，一个数的平方总是非负数，请问有最小值或者最大值吗？有的话，请说明是最小值还是最大值，并求出这个值，以及此时x的取值．
22．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．
23．（1）如图①，中，，平分，交于E，于D，与交于点F，．线段和的数量关系是 ．
（2）如图②，中，，平分，，垂足E在的延长线上．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图③，中，，点D在线段上，，，垂足为E，与相交于点F．试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B B B C C C D
1．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、B、C中的图形是轴对称图形，故A、B、C不符合题意，
D、图形不是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：0.05克千克千克．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查幂的运算．根据幂的运算法则，逐一计算后，判断即可．掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：A、，选项错误；
B、，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项正确；
故选D．
4．B
【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是．
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握n边形的内角和为、外角和是是解题的关键．
根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得：
，
解得：，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
6．B
【分析】
由平分，得，由公共边，然后根据全等三角形的判定定理可得答案．
【详解】
解：平分，
，
又，
∴若添加，根据“”可得；故A选项不符合题意；
若添加，根据“”可得；故C选项不符合题意；
若添加，根据“”可得；故D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．C
【分析】此题应先将分式通分，然后由已知xy=x y≠0，即可得出原分式的值．
【详解】解：原分式，
∵xy=x y≠0，
∴=1．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是将原分式进行准确的通分．
8．C
【分析】根据各个点的坐标及两点关于坐标轴对称的点的特征即可完成．
【详解】A、点A( 3，2)与点B( 3，-2)关于x轴对称，故说法错误；
B、点A( 3，2)与点D(3，1)不关于y轴对称，故说法错误；
C、点B( 3，-2) 与点E(3，-2)关于y轴对称，故说法正确；
D、点C(3，3) 与点E(3，-2)不关于x轴对称，故说法错误；
故选：C
【点睛】本题考查了确定点的坐标及两点关于坐标轴对称，掌握两点关于坐标轴对称是关键．
9．C
【解析】略
10．D
【分析】根据三角形全等的判定定理和性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形的面积公式，四边形的内角和定理，补角的定义等逐一判断即可．
【详解】∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，BE=CD，
∴∠EBM=∠DCM，
∵∠BME=∠CMD，
∴△BME≌△CMD，
∴结论①正确；
∵，
∴∠FAG+∠FMG=180°，
∵∠EMB+∠FMG=180°，
∴∠FAG=∠EMB，
∴结论②正确；
∵△BME≌△CMD，
∴∠BEM=∠CDM，
∴∠AEF=∠ADG，
∵，AE=AD，
∴△AEF≌△ADG，
∴AF=AG，
∴MA平分∠EMD，
∴结论③正确；
∵△BME≌△CMD，
∴∠BEM=∠CDM，EM=DM，
∴∠AEM=∠ADM，
∵AE=AD，
∴△AEM≌△ADM，
∴，
∵，
∴，
∴E是AB的中点，
∴结论④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的平分线的性质定理的逆定理，邻角，四边形的内角和定理，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键
直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵数式有意义，
∴，即．
故答案为．
12．3a（x+y）2．
【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2．
故答案为3a（x+y）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系；延长至E，使，连接，证明，再由三角形三边不等关系即可求解．倍长中线是关键．
【详解】解：延长至E，使，连接．
在和中，
，
∴，
∴．
在中，，
即，
故．
故答案为：．

14．
【分析】本题主要考查乘法公式与几何图形的结合，体现了数形结合的思想．分别用含a，b的式子表示，，即可得到答案．
【详解】解：如图1，；
图2：；
∴ ，
故答案为：．
15．或或
【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论．
由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得．
【详解】解：，，
，
分三种情况讨论：
①当时，如图：
，
；
②当时，如图：
，
；
③当时，如图：
，
；
综上所述，为或或，
故答案为：或或．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算零指数幂，乘方运算，负整数指数幂的计算，再进行加减运算即可；
（2）先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
17．，时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个使分式有意义的值，代入求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：原式
；
要使原式有意义，则，
所以x的值只能取2，
当时，原式．
18．见解析
【分析】由，，，根据证明，即可得到结论．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19．(1)；
(2)原方程无解．
【分析】（）方程先变形，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验，即可求出解；
（）先对方程的分母因式分解，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验，即可求出解；
本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：方程变形得，，
方程两边同时乘以最简公分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
检验：把代入最简公分母得，，
∴原方程的解是；
（2）解：方程变形得，，
方程两边同时乘以最简公分母得，
，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
检验：把代入最简公分母得，，
∴原方程无解．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，等边对等角，三角形的内角和定理．
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）设，利用等边对等角以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）设，
，
，
，
又，
，
又，
，
在中，由三角形内角和定理得：
，
即，
解得，
，
．
21．(1)；
(2)有最大值，最大值为，此时
【分析】（1）根据示例给出的方法将代数式转化为的形式即可，
（2）将代数式转化为的形式，然后根据平方的非负性求解即可．
【详解】（1）仿照示例的方法可得：
∴．
（2）
∵
∴
∴
∴当时，有最大值．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式的形式是解决本题的关键．
22．（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为 或3时，△DEC为直角三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值；
（2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值．
【详解】（1）根据题意可得 AD=t，CD=6﹣t，CE=2t，
∵∠B=30°，AC=6cm，
∴BC=2AC=12cm，
∵∠C=90°﹣∠B=30°=60°，△DEC为等边三角形，
∴CD=CE，
6﹣t=2t，
t=2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°，
∴CE=，
2t=（6﹣t），
t=；
②当∠EDC为直角时，∠DEC=30°，
CD=CE，
6﹣t= 2t，
t=3．
∴当t为或3时，△DEC为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．
23．（1）；（2）．理由见解析；（3）．理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，，然后利用证明，得出，即可得出结论；
（2）延长，交于点G，证明，得出，利用余角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（3）过点D作交于H，交的延长线于点G，先证明是等腰直角三角形，得出，进而得出，利用等腰三角形的判定可得出，然后类似（2）判定即可．
【详解】解：（1），平分，
，，
又，
，
在在和中
，
，
．
故答案为：；
（2）．理由如下：
如图②，延长，交于点G，
，
，
又，
，
，
．
在和中
，
．
又CD平分，
，
由得
，
，
是BG的中点，
，
．
（3）．理由如下：
过点D作交于H，交的延长线于点G，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
．
又，
∴由（2）可知，
，
，
，
即平分，
∴由（2）可知，
是的中点，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形与全等三角形的判定与性质．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页