北师大版九年级上册第一次月考训练数学卷（含解析）

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北师大版九年级第一次月考训练卷
一．选择题（共11小题）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣bx+3＝0有一个根是3，则b的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．40° C．75° D．30°
3．关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD
5．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF．若正方形ADEF的面积为16，则△ABC的周长为（　　）
A． B． C．12 D．24
7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤2 C．k＜4且k≠0 D．k≤2且k≠0
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
9．若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6
10．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②；③HE＝DF；④AB＝FH．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题（共6小题）
12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 　 　．
13．在一个不透明的布袋中装有18个红球和若干个白球，除颜色外其他都相同，小华通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5左右，则布袋中白球可能有 　 　个．
14．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　 　．
15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为540m2，则道路的宽为 　 　m．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD上的动点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在点A′处，连接CA′，DA′，则△CA′D面积的最小值为 　 　．
17．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　 　．
三．解答题（共9小题）
18．按要求解下列方程：
（1）（3x﹣7）2＝2（3x﹣7）（因式分解法）；
（2）（公式法）．
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．
21．国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解．
（1）小明选择的是“中国书画”的概率为 　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率．
22．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
23．解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
24．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
25．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，BC∥AD，AD＝EO．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接DE，若AC＝4，∠BCD＝120°，求DE的值．
26．如图1，正方形ABCD中，点P是直线AB上一个动点，连接DP，过点C作CM⊥DP于点M，过点A作AN∥MC交DP于点N，连接BM、CM．
（1）若点P在边AB上，猜想：
①线段BM和线段CN的数量关系是 　 　；
②线段BM和线段CN的位置关系是 　 　．
（2）如图2，点P在AB延长线上，（1）中的猜想成立吗？请说明理由．
（3）已知AB＝5，当DN＝2AN时．直接写出BM的长．
北师大版九年级第一次月考训练卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C D C B D B C B C
一．选择题（共11小题）
1．若关于x的一元二次方程x2﹣bx+3＝0有一个根是3，则b的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】把x＝3代入一元二次方程得到9﹣3b+3＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣bx+3＝0得9﹣3b+3＝0，
解得b＝4．
故选：D．
2．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．40° C．75° D．30°
【思路点拔】利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝40°．
∵BA＝BE，∴∠BAE70°．
故选：A．
3．关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【思路点拔】先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含x的项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：将x2+mx＝3x+5化为一般形式，得x2+（m﹣3）x﹣5＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次项，
∴m﹣3＝0，
解得：m＝3．
故选：C．
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD
【思路点拔】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE＝AD，
∴BC＝DE，
∵BC∥AD，
∴BC∥DE，
∴四边形DBCE是平行四边形
A、∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝BE时，AB＝CD，
∴BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
C、∵BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵BE⊥CD，
∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．
故选：D．
5．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小王选择同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种，
∴小明和小王选择同一个课程的概率为．
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF．若正方形ADEF的面积为16，则△ABC的周长为（　　）
A． B． C．12 D．24
【思路点拔】由四边形ADEF是面积为16的正方形，求得AD＝4，由Rt△ABC中，点D是斜边BC的中点，求得BC＝2AD＝8，则AC4，求得AB+BC+AC＝12+4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ADEF是面积为16的正方形，
∴AD2＝16，且AD＞0，
∴AD＝4，
∵Rt△ABC中，AB＝4，点D是斜边BC的中点，
∴ADBC，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AD＝8，
∴AC4，
∴AB+BC+AC＝4+8+412+4，
∴△ABC的周长为12+4，
故选：B．
7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤2 C．k＜4且k≠0 D．k≤2且k≠0
【思路点拔】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到Δ＝b2﹣4ac≥0，求出k的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k≥0，
解得k≤2，
又∵k≠0，
∴k≤2且k≠0．
故选：D．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【思路点拔】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCDAC BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝4.5，
故选：B．
9．若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6
【思路点拔】根据根与系数的关系，可得出mn＝﹣1，m+n＝6，再代入即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，
∴mn＝﹣1，m+n＝6
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×6＝﹣6．
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②；③HE＝DF；④AB＝FH．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE＝AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，求出∠ADE＝∠AED＝∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，判断出③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴B E＝D H，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，
∴ED平分∠AEC，故①正确；
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，
∴∠OHE＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠OHD＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠OHD＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，
，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
故选：B．
11．若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【思路点拔】先变形为b2＝a﹣2≥0，可求a≥2，再把2a2﹣4b2﹣c＝0变形后配方可求c的最小值．
【解答】解：∵a﹣b2﹣2＝0，
∴b2＝a﹣2≥0，
∴a≥2，
∵2a2﹣4b2﹣c＝0，
∴2a2﹣4（a﹣2）﹣c＝0，
∴c＝2a2﹣4a+8＝2（a﹣1）2+6，
当a＝2时，c的最小值是2×（2﹣1）2+6＝2+6＝8．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 　﹣11　．
【思路点拔】利用一元二次方程根的定义，把x＝a代入一元二次方程得到a2﹣3a+2＝0，即a2﹣3a＝﹣2，代入4a2﹣12a﹣3＝4（a2﹣3a）﹣3即可求解．
【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣3x+2＝0得a2﹣3a+2＝0，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴4a2﹣12a﹣3
＝4（a2﹣3a）﹣3
＝4×（﹣2）﹣3
＝﹣11．
故答案为：﹣11．
方法二：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
∴a＝2或1，
∴4a2﹣12a﹣3＝﹣11．
故答案为：﹣11．
13．在一个不透明的布袋中装有18个红球和若干个白球，除颜色外其他都相同，小华通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5左右，则布袋中白球可能有 　18　个．
【思路点拔】用红球的个数除以球的总个数得出袋中球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：根据题意，袋中球的总个数约为18÷0.5＝36（个），
所以袋中白球的个数可能为36﹣18＝18（个），
故答案为：18．
14．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　（5，4）　．
【思路点拔】首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝AO+OB＝5，
∴AD＝AB＝CD＝5，
∴DO4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为540m2，则道路的宽为 　2　m．
【思路点拔】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（32﹣x）×（20﹣x）m2，进而即可求出答案
【解答】解：设道路的宽为x m，则有（32﹣x）（20﹣x）＝540，
解得x1＝2，x2＝50（舍去），
答：道路的宽为2m．
故答案为：2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD上的动点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在点A′处，连接CA′，DA′，则△CA′D面积的最小值为 　　．
【思路点拔】由折叠的性质可得：EA′＝EA，进而可确定点A′的运动轨迹是以点E为圆心，EA为半径的圆上的一段弧，如图，作AG⊥CD，EH⊥CD，由于S△CA′DCD AGAG，故当AG最小时△CAD的面积最小，因为EA′+A′G≥EH，故只需要求出EA′\EH即可．
【解答】解：由折叠的性质可得：EA′＝EA，
∴点A的运动轨迹是以点E为圆心，EA为半径的圆上的一段弧，
如图，作A′G⊥CD，EH⊥CD，垂足分别为G、H，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴EA′＝EAAB，∠BAD＝∠D＝90°，
AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，
∴四边形AEHD是矩形，
EH＝AD＝4，
∵S△CA′DCD×A′GA′G，
∴当A′G最小时，△CA′D的面积最小，
∵EA+AG≥EH，
∴A′G≥EH﹣A′E＝4，
当点A′在EH上时，A′G最小，最小为，
∴△CA′D面积的最小值为，
故答案为：
17．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　　．
【思路点拔】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
18．按要求解下列方程：
（1）（3x﹣7）2＝2（3x﹣7）（因式分解法）；
（2）（公式法）．
【思路点拔】（1）移项后，用提取公因式法分解因式求解；
（2）先求出b2﹣4ac＝49，再根据求根公式求解．
【解答】解：（1）原方程可变形为（3x﹣7）2﹣2（3x﹣7）＝0．
∴（3x﹣7）[（3x﹣7）﹣2]＝0，
∴3x﹣7＝0或3x﹣9＝0，
∴；
（2），
这里，
∴，
∴，
即．
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
【思路点拔】由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．
【思路点拔】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2＝0，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝36+4m≥0，
解得：m≥﹣9，
即m的取值范围为：m≥﹣9，
（2）根据题意得：
x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，
∵x1+x2﹣2x1x2＝0，
∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0，
解得：m＝3（符合题意），
即m的值为3．
21．国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解．
（1）小明选择的是“中国书画”的概率为 　　；
（2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率．
【思路点拔】（1）根据概率的计算公式进行计算即可；
（2）根据题意画树状图或列表的方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵从A、B、C、D四个模块中随机选择一个，
∴小明选择“中国书画”的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种可能性结果，其中两人中恰好有一人选择“中国武术”的结果有6种，
∴两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率为．
22．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
【思路点拔】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC＝4，则OCAC＝2，根据勾股定理知OD2，结合矩形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，
∴OCAC＝2，
∴OD2，
∴矩形OCED的面积是22＝4．
23．解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【思路点拔】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分BC为腰和BC为底边两种情况进行求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2）
＝m2+2m+1﹣12m+24
＝m2﹣10m+25
＝（m﹣5）2≥0；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC AB＝3（m﹣2），
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC AB
＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2）
＝m2﹣4m+13＝25，
解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）；
∴m＝6；
（3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0，
∴m＝7，
∴方程为：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5，
∴等腰三角形的三边为：5，5，3，
∴周长为：5+5+3＝13；
②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴Δ＝（m﹣5）2＝0，
∴m＝5，
∴方程为：x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11；
综上：周长为11或13．
25．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，BC∥AD，AD＝EO．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接DE，若AC＝4，∠BCD＝120°，求DE的值．
【思路点拔】（1）根据矩形的性质得到BC＝EO，∠BOC＝90°，推出AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得到∠ABC＝180°﹣120°＝60°，AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO，∠ABO＝∠CBO，推出△ABC是等边三角形，得到AB＝AC＝4，根据勾股定理得到BO＝2，求得BD＝4，根据矩形的性质得到BE＝CO＝2，∠DBE＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形BECO是矩形，
∴BC＝EO，∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∵AD＝EO，
∴AD＝BC，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO，∠ABO＝∠CBO，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝4，
∴BO2，
∴BD＝4，
∵四边形BECO是矩形，
∴BE＝CO＝2，∠DBE＝90°，
∴DE2．
26．如图1，正方形ABCD中，点P是直线AB上一个动点，连接DP，过点C作CM⊥DP于点M，过点A作AN∥MC交DP于点N，连接BM、CM．
（1）若点P在边AB上，猜想：
①线段BM和线段CN的数量关系是 　BM＝CN　；
②线段BM和线段CN的位置关系是 　BM⊥CN　．
（2）如图2，点P在AB延长线上，（1）中的猜想成立吗？请说明理由．
（3）已知AB＝5，当DN＝2AN时．直接写出BM的长．
【思路点拔】（1）①根据正方形的性质证明△ADN≌△DCM（AAS），可得DN＝CM，AN＝DM，然后证明△DCN≌△CBM（SAS），可得BM＝CN，即可解决问题；
②根据△DCN≌△CBM，可得∠CMB＝∠DNC，进而可以解决问题；
（2）证明△DCN≌△CBM（SAS），可得BM＝CN，∠DCN＝∠CBM，进而可以解决问题；
（3）设AN＝x，则DN＝2x，根据勾股定理可得x2+（2x）2＝52，求出x，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）①BM＝CN，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠DCB＝∠CBA＝∠CBD＝∠BAD＝90°，
∵CM⊥DP，AN∥MC，
∴∠AND＝∠CMN＝∠DMC＝90°，
∴∠ADN+∠DAN＝∠ADN+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠DAN，
在△ADN和△DCM中，
，
∴△ADN≌△DCM（AAS），
∴DN＝CM，AN＝DM，
∵∠MDC+∠MCD＝∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠MDC＝∠MCB，
在△DCN和△CBM中，
，
∴△DCN≌△CBM（SAS），
∴BM＝CN；
②BM⊥CN，理由如下：
∵△DCN≌△CBM，
∴∠CMB＝∠DNC，
∴∠CMB+∠PMB＝∠DNC+∠PMB＝90°，
∴BM⊥CN；
故答案为：BM＝CN；BM⊥CN；
（2）成立，理由如下：
∵△ADN≌△DCM，
∴DN＝CM，
∴∠MDC+∠MCD＝∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠NDC＝∠MCB，
在△DCN和△CBM中，
，
∴△DCN≌△CBM（SAS），
∴BM＝CN，∠DCN＝∠CBM，
∴∠DCN+∠NCB＝∠NCB+∠CBM＝90°，
∴BM⊥CN；
（3）设AN＝x，则DN＝2x，
∵AB＝AD＝5，AD2＝AN2+DN2，
∴x2+（2x）2＝52，
∴x（负值舍去），
∴AN＝DM，DN＝CM＝2，
∴MN＝DN﹣DM，
∴CN5，
或者MN＝DN+DM＝3，
∴CN，
∴BM＝CN＝5或．