第10部分第7节《二项分布、超几何分布与正态分布》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是( )
A. B. C. D.
2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.
【知识归纳】
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 ．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 ．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ ．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为 ．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 对称；
②曲线在 处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
常用结论：
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，
D(X)＝()().
【题型展示】
题型一 二项分布
例1 (1)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是( )
A．10分钟 B．5分钟
C．4分钟 D．2分钟
(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．
①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．
跟踪训练1 (1)已知随机变量X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝，则P(X≥2)等于( )
A. B. C. D.
(2)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为.求P0的大小；
②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
题型二 超几何分布
例2 2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；
(2)从得分在[60,90]的学生中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值．
跟踪训练2 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．
某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用电量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600
(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；
(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．
题型三 正态分布
例3 (1)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为( )
A．2 800 B．4 200
C．5 600 D．7 000
(2)(多选)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
跟踪训练3 (1)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态密度曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[m，n)内抽取学生，并确定m＝67，且P(m≤X≤n)＝0.818 6.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分数段[m，n)内的人数为k，则k＝________；这k名学生的平均分为________．
(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈
0.997 3)
(2)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
基础夯实
1.若随机变量X～B()，则P(X＝3)等于( )
A. B. C. D.
2.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
3.一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( )
A. B. C. D.
4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则( )
A．E(ξ1)B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
5．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为( )
A. B. C．1 D.
6．某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得，数学成绩X～N(110,100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P(|X－μ| ≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5)( )
A．16 B．10 C．8 D．2
7．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )
A. B. C. D.
8.据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A.0.682 7 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 5
9.(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是( )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.E(X)＝100
B.D(X)＝100
C.P(X＞90)≈0.841 35
D.P(X＜120)≈0.998 65
10.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是( )
A.答对0题和答对3题的概率相同，都为
B.答对1题的概率为
C.答对2题的概率为
D.合格的概率为
11．(多选)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．设随机变量X服从二项分布B()，则P(X＝3)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
13．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________．
14．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数 5 10 25 30 20 10
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 ________.(结果四舍五入精确到个位)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
15.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)＝________.
16.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________.
17.一个箱子中装有形状、大小完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球.现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝________.
18.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格.
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y的分布列；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
19.为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP应用，如“农场”“音乐”“读书”等.市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选择“农场”、“音乐”、“读书”的概率分别为，，.现有甲、乙、丙三位手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行安装.
(1)求三人所选择应用互不相同的概率；
(2)记ξ为三人中选择的应用是“农场”与“音乐”的人数，求ξ的分布列和期望.
20．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
21．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.
消费金额(千元) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13) [13,15]
人数 30 50 60 20 30 10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；
(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数以及方差s2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．
①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)；
②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．
参考数据：≈1.4；若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
优化提升
22．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝.已知X～C(1,0)，P(|X|≤)＝，P(1A. B. C. D.
23．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数ak(k＝2,3,4,5)中，出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时，下列选项正确的是( )
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
24.(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( )
A.X服从二项分布
B.P(X＝1)＝
C.X的均值E(X)＝
D.X的方差D(X)＝
25．某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是 ________；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝________.
26．已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则＋(027.若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，设X～N(1，σ2)，且P(X≥3)＝0.158 65，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________.
28.某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问题中，学生甲能回答正确其中的4个问题，而学生乙能回答正确每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A 2.B 3.
【知识归纳】
1．(1)两个 n重伯努利试验
(2)Cpk(1－p)n－k X～B(n，p) (3)①p p(1－p)
②np np(1－p)
2.
3．(1)X～N(μ，σ2) (2)①x＝μ
②x＝μ (4)μ σ2
思考辨析
(1)√ (2)√ (3)× (4)×
【题型展示】
例1 (1)C
(2)解 ①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为，
所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为
P＝1－C×4－C××3＝.
②根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X～B，
则P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2
＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝4＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝4×＝.
跟踪训练1 (1)A
(2)解 ①由已知得，张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为P0，且两人是否创业成功互不影响，
记“这2人累计获得的奖金X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝50”，
∵P(X＝50)＝P0，
∴P(A)＝1－P(X＝50)
＝1－P0＝，
解得P0＝.
②设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2，
则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E(20X1)，
选择项目乙累计获得的奖金的均值为E(30X2)，
由已知可得，X1～B，
X2～B(2，P0)，
∴E(X1)＝，E(X2)＝2P0，
∴E(20X1)＝20E(X1)＝20×
＝，
E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，
若E(20X1)>E(30X2)，
即>60P0，解得0若E(20X1)即<60P0，解得若E(20X1)＝E(30X2)，
即＝60P0，解得P0＝.
综上所述，当0当当P0＝时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．
例2 解 (1)每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2.
故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C×0.4×0.2＝.
(2)由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，
所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X 1 2 3
P
故E(X)＝＝.
跟踪训练2 解 (1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，
第三档电价比第一档电价每度多0.3元，
编号为10的用户一年的用电量是4 600度，
所以该户该年应交电费4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3
＝2 822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯的户数为X，
易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
例3 (1)A
(2)AC
跟踪训练3 (1)10 74
(2)0.14
基础夯实
1.B
2.D
3.A
4．B
5．D
6.C
7.A
8.C
9.ABC
10.CD
11.ABC
12．ABC
13.
14．73 1 587
15.0.3
16.0.648
17.2
18.解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝＝，P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝＝，P(X＝3)＝eq \f(C,C)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量Y的所有可能取值为1，2，3，
P(Y＝1)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝2)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝3)＝eq \f(C,C)＝＝，
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 2 3
P
(2)由(1)知甲合格的概率为P(A)＝＋＝，乙合格的概率为＋＝，
因为事件A，B相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为
P(·)＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝×＝，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－＝.
19.解 记第i名用户选择的应用是“农场”、“音乐”、“读书”分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.
由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1，2，3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.
(1)他们选择的应用互不相同的概率P＝6·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝.
(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知得η～B，且ξ＝3－η，
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C×＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．解 (1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝C2×＋3＝.
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
所以甲闯关成功的概率为＋＝，因为<，所以甲闯关成功的可能性更大．
21．解 (1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为×5＝2，消费金额在区间[11,13)内的人数为×5＝3，
设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)①由题意得，μ＝＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，
σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，
所以σ＝＝2≈2.8，
所以P(5.2≤ε<13.6)＝P(8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈≈0.8.
②由题意及①得η～B，n＝4，p＝，
所以D(η)＝np(1－p)＝4××＝.
优化提升
22．C
23．AC
24.ABC
25.
26．4
27.(－13，13)
28.解 (1)由题意可知，所求概率
P＝eq \f(CC,C)×C××＋eq \f(CC,C)×C××＝.
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq \f(CC,C)＝，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.
由题意可知Y～B，
E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，
所以甲被录取的可能性更大.第10部分第8节《概率与统计的综合问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一 频率分布直方图
例1 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
训练1 某乡镇加大投资建设美丽乡村，大力发展乡村旅游产业，显著提高了农民收入.为了提升旅游质量，打造特色旅游品牌，镇政府聘请有关专家和环保部门工作人员50人，对A，B两个特色旅游村进行评价(满分100分)，并得到A村评价分数(单位：分)的频数分布表和B村评价分数的频率分布直方图，如下：
A村评价分数的频数分布表
分数 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80)
人数 2 5 8 10
分数 [80，85) [85，90) [90，95) [95，100]
人数 14 6 4 1
B村评价分数的频率分布直方图
有关专家与环保部门工作人员对旅游村的评价分数的规定如下：
分数 [60，75) [75，90) [90，100]
等级 Ⅰ级 Ⅱ级 Ⅲ级
等级越高旅游资源开发越好，如Ⅱ级好于Ⅰ级.
(1)估计A村评价分数的众数，并求a的值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)从参与评价的50人中随机抽取1人，估计该人对A村评价分数等级比B村评价分数等级高的频率；
(3)以评价分数为依据，比较A，B两村旅游产业发展质量情况.
题型二 成对数据的统计分析
角度1 独立性检验
例2 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
SO2PM2.5 [0，50) [150，475] 合计
[0，75) 64 16 80
[75，115] 10 10 20
合计 74 26 100
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该市一天中空气中PM2.5浓度是否和SO2浓度有关？
角度2 回归方程及其应用
例3 下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年数字媒体阅读产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020
序号x 1 2 3 4 5 6
年数据量y 7 9 17 22 34 43
(xi－)2 (zi－) (zi－)2 (xi－)(zi－)
3.5 22 2 18 14 124 9
表中zi＝ln yi，＝zi.
(1)根据上表数据信息判断，方程y＝c1·ec2x(e是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程；
(2)根据(1)中的回归方程，预计2024年的全世界数字媒体阅读产生的数据量是2021年的多少倍？并说明理由.(参考数据：e≈2.718，≈1.648，结果精确到0.1)
参考公式：回归方程＝＋x中，斜率最小二乘法公式＝＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，＝－.
训练2 某创新公司在第1个月至第7个月的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表：
时间(月份) 1 2 3 4 5 6 7
收入(百万元) 6 11 21 34 66 101 196
根据以上数据绘制散点图：
(1)根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝c·dx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；
(2)请你预测该公司8月份的5G经济收入.
参考数据：
yi vi xiyi xivi 100.45 100.54
462 10.78 2 711 50.12 2.82 3.47
其中设v＝lg y，vi＝lg yi.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xivi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－)) ),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，＝－.
题型三 概率与统计
角度1 概率与统计的综合问题
例4 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断“课外体育达标”与性别是否有关？
课外体育不达标 课外体育达标 合计
男 60
女 110
合计
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
角度2 离散型随机变量及其分布列
例5 某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2023年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
(1)求P(ξ＝3)；
(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望.
角度3 正态分布的综合问题
例6 (2022·保定模拟)某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8 7
(1)求出y与x的回归方程＝x＋；
(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，求P(3.8≤X≤13.4).
附：①回归方程＝x＋中，
＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)) ),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，＝－.
②≈3.2，≈1.8.
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
训练3 某城市A公司外卖配送员底薪是每月1 800元，设一人每月配送的单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈(300，600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元.B公司外卖配送员底薪是每月2 100元，设一人每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元.小王想在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在2022年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：
表1 A公司外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量x/单 13 14 16 17 18 20
天数 2 6 12 6 2 2
表2 B公司外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量y/单 11 13 14 15 16 18
天数 4 5 12 3 5 1
(1)设A公司外卖配送员月工资(单位：元)为f(X)，B公司外卖配送员月工资(单位：元)为g(Y)，当X＝Y且X，Y∈(300，600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；
(2)将甲、乙4月份的日送餐量的频率视为对应公司的外卖配送员日送餐量的概率.
①计算外卖配送员甲和乙的日送餐量的数学期望E(x)和E(y)；
②请利用所学的统计学知识为小王做出选择，并说明理由.
基础夯实
1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中国北京开幕，简称“北京冬奥会”．某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民，并将其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的人数依次成等差数列，求a，b的值；
(2)该媒体将年龄在[30,50)内的人群定义为高关注人群，其他年龄段的人群定义为次高关注人群，为了进一步了解其关注项目．现按“关注度的高低”采用比例分配的分层随机抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行电视访谈，求此3人中来自高关注人群的人数X的分布列与均值．
2．随着生活水平的不断提高，人们越来越注重养生．科学健身有利于降低脂肪含量，健身器材成为人们的新宠．某小区物业决定选购一款健身器材，物业管理员从该品牌的销售网站了解到此款健身器材近五个月的实际销量如表所示：
月份 7月 8月 9月 10月 11月
月份编号t 1 2 3 4 5
销量y(万台) 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(1)求出销量y关于月份编号t的经验回归方程，并预测12月份该品牌此款健身器材的销量；
(2)该品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1,2,3的三个完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余均九折优惠．已知此款健身器材一台标价为10 000元，设物业公司购买此款健身器材的价格为X，求X的分布列与均值．
3．某市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为7∶5，他们的视力情况统计结果如表所示：
性别 视力情况 合计
近视 不近视
男生 30
女生 40
合计 120
(1)请把表格补充完整，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断近视是否与性别有关；
(2)如果用这120名中学生中男生和女生近视的频率分别代替该市中学生中男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立．现从该市中学生中任选4人，设随机变量X表示4人中近视的人数，求X的分布列及均值．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
4．2022年3月，“两会”在北京召开，会议吸引了全球的目光，对我国以后的社会经济发展有深刻的历史意义，某媒体为调查本市市民对“两会”的了解情况，进行了一次“两会”知识问卷调查(每位市民只能参加一次)，随机抽取年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．
(1)若“青少年人”中有15人在关注“两会”，根据已知条件完成下面的2×2列联表，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断关注“两会”是否与年龄有关；
(2)由(1)中结果，采用比例分配的分层随机抽样的方法从“青少年人”关注“两会”和不关注“两会”的人中抽取6人，再从这6人中选3人进行专访，设这3人中关注“两会”的人数为X，求X的分布列和均值.
年龄 是否关注 合计
关注 不关注
青少年人 15
中老年人
合计 50 50 100
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
5.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
6.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额(元)支付方式 (0，1 000] (1 000，2 000] 大于2 000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和均值；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.
7.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某项质量指标值，该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.设备改造前样本的频率分布直方图如图所示.
下表是设备改造后样本的频数分布表：
质量指标值 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45]
频数 2 18 48 14 16 2
(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标值的平均数(同一组数据用该组数据所在区间的中点值表示)；
(2)设备改造后，企业将不合格品全部销毁，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据上表中的数据，用该样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望.
8.某土特产超市为预估2023年元旦期间游客购买土特产的情况，于2022年元旦期间90位游客的购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额/元 [0，15) [15，30) [30，45) [45，60) [60，75) [75，90]
人数 10 15 20 15 20 10
(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 少于60元 总计
男 40
女 18
总计
(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖的概率为p(每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望.
附参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
优化提升
9.水污染现状与工业废水排放密切相关.某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时， 既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放.
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验.
若化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若p＝，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
(2)①若p＝，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？
②若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.
10.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y＝c·xb(b，c为大于0的常数).按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302，0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88
质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；
(2)根据测得的数据作了初步处理，得相关统计量的值为下表：
(ln xi·ln yi) (ln xi) (ln yi) (ln xi)2
75.3 24.6 18.3 101.4
根据所给统计量，求y关于x的非线性经验回归方程.
附：对于样本(vi，ui)(i＝1，2，…，6)，其经验回归直线＝·v＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))viui－n\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\o(u,\s\up6(－)) ),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))v－n\o(v,\s\up6(－))2)，＝－.
11．某学校共有3 000名学生，其中男生1 800人，为了解该校学生在校的月消费情况，采取比例分配的分层随机抽样的方式抽取100名学生进行调查，先统计他们某月的消费金额，然后按“男生、女生”分成两组，再分别将两组学生的月消费金额(单位：元)分成5组：[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)样本中将月消费金额不低于600元的学生称为“高消费群”．请你根据已知条件完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该校学生属于“高消费群”是否与性别有关；
性别 是否属于“高消费群” 合计
属于 不属于
男生
女生
合计
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)以样本估计总体，将调查所得到的频率视为概率，现从该学校中每次随机抽取1名学生，共抽取4次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的4名学生中属于“高消费群”的人数为X，求X的均值E(X)和方差D(X)．
12．某公司为了提升一款产品的市场竞争力和市场占有率，对该款产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 9 11 14 26 20
其中，x(单位：百万元)是科技创新和市场开发的总投入，y(单位：百万元)是科技创新和市场开发后的收益．
(1)求样本相关系数r的大小(精确到0.01)，并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；
(2)该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男、女性消费者后，得到数据如表所示：
性别 满意程度 合计
满意 不满意
男性 45 10 55
女性 25 20 45
合计 70 30 100
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断消费者满意程度是否与性别有关；
(3)对(2)中调研的45名女性消费者，按照其满意程度进行比例分配的分层随机抽样，从中抽出9名女性消费者到公司进行现场考察，再从这9名女性消费者中随机抽取4人进行深度调研，记这4人中“满意”的人数为X，求X的分布列及均值．
参考公式：
①r＝；
②χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
参考数据：≈22.
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1
解 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，
故a＝0.35，
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
训练1
解 (1)因为A村评价分数频数最多的出现在[80，85)，
所以估计A村评价分数的众数为＝82.5(分).
由5×(0.012×2＋0.020＋0.024＋2a＋0.036＋0.040)＝1，解得a＝0.028.
(2)设从参与评价的50人中随机抽取1人，该人“对A村评价分数等级为Ⅱ”的事件为A2，“对A村评价分数等级为Ⅲ”的事件为A3；
“对B村评价分数等级为Ⅰ”的事件为B1，“对B村评价分数等级为Ⅱ”的事件为B2.
由题表可知，P(A2)＝＝0.6，P(A3)＝＝0.1.
由题图可知，P(B1)＝(0.012＋0.020＋0.028)×5＝0.3，
P(B2)＝(0.036＋0.040＋0.024)×5＝0.5.
A村评价分数等级比B村评价分数等级高的概率为
P(A2B1)＋P(A3B1)＋P(A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)·P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.6×0.3＋0.1×0.3＋0.1×0.5＝0.26，
所以该人对A村评价分数等级比B村评价分数等级高的概率估计值为0.26.
(3)A村评价分数的平均数
A＝×62.5＋×67.5＋×72.5＋×77.5＋×82.5＋×87.5＋×92.5＋×97.5＝79.3(分).
B村评价分数的平均数
B＝5×[0.012×(62.5＋97.5)＋0.020×67.5＋0.028×(72.5＋92.5)＋0.036×77.5＋0.040×82.5＋0.024×87.5]＝80.4(分).
因为A＜B，所以从评价分数来看，B村旅游产业发展质量要高于A村.
例2
解 零假设为H0：该市一天中空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关.
χ2＝
＝＝
≈7.484 4＞6.635＝x0.01，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以判断H0不成立，即认为该市一天中空气中PM2.5浓度和SO2浓度有关.
例3
解 (1)由y＝c1·ec2x，两边同时取自然对数得ln y＝ln(c1·ec2x)＝ln c1＋c2x，
设z＝ln y，则z＝ln c1＋c2x.
因为＝3.5，＝2， (xi－)2＝18，
(xi－)(zi－)＝9，
所以2＝＝＝，
ln 1＝－2＝2－0.5×3.5＝0.25.
所以z＝0.25＋0.5x＝ln y，所以y＝e0.25＋0.5x.
(2)令x＝7，得1＝e0.25＋0.5×7＝e3.75.
令x＝10，得2＝e5.25，
＝e1.5＝e≈4.5，预计2024年全世界产生的数据规模是2021年的4.5倍.
训练2
解 (1)根据散点图判断，y＝c·dx适宜作为5G经济收入y关于月代码x的回归方程类型.
∵y＝c·dx，两边同时取常用对数得lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋lg d·x.
设lg y＝v，∴v＝lg c＋lg d·x.
∵＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝vi＝×10.78＝1.54，
x＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，
∴lg ＝eq \f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xivi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－)) ),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))x－7\o(x,\s\up6(－))2)
＝＝＝0.25，
把样本中心点(4，1.54)代入v＝lg c＋lg d·x，
得1.54＝lg ＋0.25×4，
∴lg ＝0.54，＝0.54＋0.25x，
∴lg ＝0.54＋0.25x，
∴y关于x的回归方程为＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x.
(2)∵当x＝8时，＝3.47×100.25×8＝347，
∴预测8月份的5G经济收入为347百万元.
例4
解 (1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，
则“课外体育不达标”人数为150，∴列联表如下：
课外体育不达标 课外体育达标 合计
男 60 30 90
女 90 20 110
合计 150 50 200
假设H0为“课外体育达标”与性别无关.
∴χ2＝＝≈6.061>3.841＝x0.05.
∴根据小概率α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“课外体育达标”与性别有关.
(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝＝；P(ξ＝2)＝eq \f(CC,C)＝＝；
P(ξ＝3)＝eq \f(C,C)＝＝；
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
例5
解 (1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，
∴P(ξ＝3)＝eq \f(C·C＋C·C,C)＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，
……………………5分
P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝eq \f(C,C)＝＝，
P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝eq \f(C·C,C)＝＝，
P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝eq \f(C＋C·C,C)＝＝，
P(η＝0)＝1－－－＝.
所以随机变量η的分布列为
η 50 30 10 0
P
∴E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝.
例6
解 (1)＝xi＝＝7，
＝yi＝＝9，
xiyi－5＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，
x－52＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，
∴＝＝－0.56.
∴＝－＝9－(－0.56)×7＝12.92.
∴所求的回归方程是＝－0.56x＋12.92.
(2)由＝－0.56＜0知，y与x之间是负相关，
将x＝6代入回归方程可预测该店当日的销售量＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克).
(3)由(1)知μ＝＝7，由σ2＝s2＝[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.
从而P(3.8≤X≤13.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ)＋P(μ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.818 6.
训练3
解 (1)当X＝Y且X，Y∈(300，600]时，g(Y)＝g(X)；
当X∈(300，400]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0；
当X∈(400，600]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0.
所以当X∈(300，400]时，f(X)>g(Y)；
当X∈(400，600]时，f(X)(2)①甲的日送餐量x的分布列为：
x 13 14 16 17 18 20
P
乙的日送餐量y的分布列为：
y 11 13 14 15 16 18
P
则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16，
E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14.
②E(X)＝30E(x)＝480，480∈(300，600]；
E(Y)＝30E(y)＝420，420∈(400，＋∞).
所以A公司外卖配送员的平均月薪约为1 800＋4E(X)＝3 720(元)，
B公司外卖配送员的平均月薪约为2 100＋4E(Y)＝3 780(元)，
3 720<3 780，
所以小王应选择做B公司外卖配送员.
基础夯实
1．解 (1)由题意可知
解得a＝0.035，b＝0.025.
(2)利用比例分配的分层随机抽样的方式从样本中抽取10人，
易知其中属于高关注人群的有10×(0.035＋0.025)×10＝6(人)，则属于次高关注人群的有4人，
则X的所有可能取值为3,2,1,0，
所以P(X＝3)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
所以X的分布列为
X 3 2 1 0
P
所以E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝1.8.
2．解 (1)依题意知＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7)＝1.04，
＝＝＝0.32，
＝－＝1.04－0.32×3＝0.08，
故销量y关于月份编号t的经验回归方程为＝0.32t＋0.08.
令t＝6，则＝0.32×6＋0.08＝2.
故可预测12月份该品牌此款健身器材销量为2万台．
(2)有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为，
则三次摸到相同编号的概率为
3×3＝，
仅有两次摸到相同编号的概率为
3×3×××＝.
公司购买此款健身器材的价格X的所有可能取值为7 000，8 000，9 000，其分布列为
X 7 000 8 000 9 000
P
故E(X)＝7 000×＋8 000×＋9 000×＝.
3．解 (1)∵该市中学生男女人数比例为7∶5，
∴抽取的120名学生中男生有70人，女生有50人，
2×2列联表如下：
性别 视力情况 合计
近视 不近视
男生 30 40 70
女生 10 40 50
合计 40 80 120
零假设为H0：近视与性别无关．
根据列联表中的数据得，
χ2＝
≈6.857>6.635＝x0.01，
∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为近视与性别有关．
(2)∵用这120名中学生中男生和女生近视的频率分别代替该市中学生中男生和女生近视的概率，
∴每名学生近视的概率为
＝，
由题意可得，X的所有可能取值为
0,1,2,3,4，
且随机变量X～B，
P(X＝k)＝Ck4－k，
k＝0,1,2,3,4，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝4×＝.
4．解 (1)依题意可知，“青少年人”共有100×(0.015＋0.030)×10＝45(人)，
“中老年人”共有100－45＝55(人)，
2×2列联表如下：
年龄 是否关注 合计
关注 不关注
青少年人 15 30 45
中老年人 35 20 55
合计 50 50 100
零假设为H0：关注“两会”与年龄无关．
结合列联表的数据得
χ2＝
≈9.091>6.635＝x0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为关注“两会”与年龄有关．
(2)依题意可知，样本中青少年人关注“两会”的有15人，不关注“两会”的有30人，
采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，则关注“两会”的抽取2人，不关注“两会”的抽取4人，
则X的所有可能取值为0,1,2，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
5.解 (1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得
E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
6.解 (1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人).
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为＝0.4.
(2)X的所有可能值为0，1，2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”.
由题设知，事件C，D相互独立，
且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6，
所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.
P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，
P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.24 0.52 0.24
故X的均值E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.0.
(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额大于2 000元”.
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)＝eq \f(1,C)＝.
答案示例1：可以认为有变化.理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.
答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还有是可能发生的，所以无法确定有没有变化.
7.解 (1)根据题图可知，设备改造前样本的质量指标值的平均数为5×(0.008×17.5＋0.032×22.5＋0.080×27.5＋0.024×32.5＋0.036×37.5＋0.020×42.5)＝30.2.
根据设备改造前样本的质量指标值的平均数估计设备改造前总体的质量指标值的平均数为30.2.
(2)根据样本的频率分布估计总体的概率分布，合格的样本中一、二、三等品的频率分别为，，，故从所有合格产品中随机抽一件，抽到一、二、三等品的概率分别为，，.
易知随机变量X的取值为240，300，360，420，480，
则P(X＝240)＝×＝，P(X＝300)＝C××＝，
P(X＝360)＝C××＋×＝，
P(X＝420)＝C××＝，
P(X＝480)＝×＝.
所以随机变量X的分布列为
X 240 300 360 420 480
P
所以E(X)＝240×＋300×＋360×＋420×＋480×＝400.
8.解 (1)2×2列联表如下：
不少于60元 少于60元 总计
男 12 40 52
女 18 20 38
总计 30 60 90
零假设为H0：购买金额是否少于60元与性别无关.
χ2＝＝≈5.83>3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.
(2)X的所有可能取值为65，70，75，80，
且p＝＝.
P(X＝65)＝C＝，
P(X＝70)＝C×＝，
P(X＝75)＝C××＝，
P(X＝80)＝C＝，
X的分布列为
X 65 70 75 80
P
E(X)＝65×＋70×＋75×＋80×＝75.
优化提升
9.解 (1)因为该混合样本达标的概率是＝，
所以根据对立事件可知，混合样本化验结果不达标的概率为1－＝.
(2)①方案一：逐个化验，化验次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本化验时，若达标则化验次数为1，概率为；若不达标则化验次数为3，概率为.
故将方案二的化验次数记为ξ2，ξ2的所有可能取值为2，4，6.P(ξ2＝2)＝×＝，P(ξ2＝4)＝C××＝，P(ξ2＝6)＝×＝，其分布列如下：
ξ2 2 4 6
P
所以方案二的期望
E(ξ2)＝2×＋4×＋6×＝＝.
方案四：混在一起化验，记化验次数为ξ4，ξ4的所有可能取值为1，5.P(ξ4＝1)＝＝，P(ξ4＝5)＝1－＝，其分布列如下：
ξ4 1 5
P
所以方案四的期望E(ξ4)＝1×＋5×＝.
比较可得E(ξ4)②方案三：设化验次数为η3，η3的所有可能取值为2，5.
其分布列如下：
η3 2 5
P p3 1－p3
E(η3)＝2p3＋5(1－p3)＝5－3p3.
方案四：设化验次数为η4，η4的所有可能取值为1，5，
其分布列如下：
η4 1 5
P p4 1－p4
E(η4)＝p4＋5(1－p4)＝5－4p4.
由题意得E(η3)所以5－3p3<5－4p4，
所以p<.故所求p的取值范围为.
10.解 (1)由已知，优等品的质量与尺寸的比
∈(0.302，0.388)，
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a，b，c，
有3件为非优等品，记为d，e，f，
现从抽取的6件合格产品中再任选2件，样本点为：
(a，b)，(a，c)，(c，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，
选中的两件均为优等品的样本点为(a，b)，(a，c)，(b，c)，所以所求概率为＝.
(2)对y＝c·xb两边取自然对数得
ln y＝ln c＋bln x，
令vi＝ln xi，ui＝ln yi，则＝·v＋，
且＝ln c，
由所给统计量及最小二乘估计公式有：
＝eq \f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))viui－6\a\vs4\al(\o(u,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－)) ),\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))v－6\o(v,\s\up6(－))2)＝＝＝，
＝－＝＝1，
由＝ln c得c＝e，
所以y关于x的非线性经验回归方程为
＝ex0.5.
11．解 (1)由题意及频率分布直方图可得，
性别 是否属于“高消费群” 合计
属于 不属于
男生 15 45 60
女生 20 20 40
合计 35 65 100
零假设为H0：该校学生属于“高消费群”与性别无关，
由列联表中数据得
χ2＝＝
≈6.593>3.841＝x0.05，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校学生属于“高消费群”与性别有关．
(2)被抽取的4名学生中每一名学生是“高消费群”的概率为＝，
所以X～B，
所以E(X)＝4×＝，
D(X)＝4××＝.
12．解 (1)由题意可得
＝＝3，
＝＝16，
∴r＝＝≈0.84，
∴科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度比较强．
(2)零假设为H0：消费者满意程度与性别无关．
根据列联表数据得
χ2＝
≈8.129>6.635＝x0.01，
∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为消费者满意程度与性别有关．
(3)易知抽出的9名女性消费者中满意的有5人，不满意的有4人，
由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.第10部分第9节《概率统计与其它问题的交汇》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一 概率、统计与数列的综合问题
例1 足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时，有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和均值；
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，甲等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn.求证：数列为等比数列，并求Pn.
跟踪训练1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币．
(1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？
(2)通过抽样调查发现，活动首日有的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为Pn.
①计算P1，P2，并求Pn；
②该公司共有员工1 400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？
题型二 概率、统计与导数的综合问题
例2 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p)．求当p为何值时，f(p)取得最大值．
跟踪训练2 中国国家统计局2021年9月30日发布数据显示，2021年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，进一步体现了中国制造业当前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示：
(1)取样本数据的方差s2的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
优化提升
1．某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0(1)求一天内被感染的人数X的概率P(X)与a，p的关系式和X的均值；
(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第2天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染按第1天算起，第n天新增患者的均值记为En(n≥2)．
①求数列{En}的通项公式，并证明数列{En}为等比数列；
②若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1＋p)－p，当p′取最大值时，计算此时p′所对应的E6′值和此时p对应的E6值，并根据计算结果说明戴口罩的必要性．(取a＝10)(结果保留整数，参考数据：ln 5≈1.6，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7，≈0.3，≈0.7)
2．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选一种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn.
①证明：为等比数列；
②证明：当n≥2时，Pn≤.
3．为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．
(1)若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
(2)已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p(0①记小李以3∶1取胜的概率为f(p)．若当p＝p0时，f(p)取最大值，求p0的值；
②若以①中p0的值作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布列及均值．
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 解 (1)每个点球能被守门员扑出球门外的概率
P＝3×××＝，
由题意可知，X～B，
P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2
＝＝，
P(X＝2)＝C×2×1
＝＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
(2)由已知得，第(n－1)次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn－1，
∴当n≥2时，Pn＝(1－Pn－1)·，
∴Pn－＝－，
∴是首项为P1－＝－，公比为－的等比数列，
∴Pn－＝×n－1，
∴Pn＝－×n－1.
跟踪训练1 解 (1)设事件E为“该员工前四天恰好能集齐这4枚纪念币”，
由题意知，样本点总数
N＝4×4＝16，
事件E包含的样本点的个数
n＝2×1＝2，
所以该员工前四天恰好能集齐这四枚纪念币的概率P(E)＝＝.
(2)①由题意知，P1＝，
P2＝P1＋(1－P1)
＝－P1＝－×＝，
当n≥2时，Pn＝Pn－1＋
(1－Pn－1)＝－Pn－1，
所以Pn－＝－，
又因为P1－＝－＝，
所以是以为首项，
以－为公比的等比数列，
所以Pn－＝×n－1，
即Pn＝＋×n－1.
②由①知，当n足够大时，选择“球类”的概率近似于，
假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数，
则ξ～B，
所以E(ξ)＝1 400×＝600，
即选择“球类”的人数的均值为600，
所以选择“田径”的人数的均值为800.
即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类运动，800名员工参加田径运动．
例2 解 (1)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10，
P(X＝5)＝5＝，
P(X＝6)＝C×1×4
＝，
P(X＝7)＝C×2×3
＝＝，
P(X＝8)＝C×3×2
＝＝，
P(X＝9)＝C×4×1
＝，
P(X＝10)＝C×5＝.
所以X的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
P
则E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝＝.
(2)由题意知“每天得分不低于3分”的概率为p＋(1－p)×
＝＋p(0所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率f(p)＝C32＝(1＋2p)3(1－p)2，f′(p)＝[6(1＋2p)2(1－p)2－2(1＋2p)3(1－p)]
＝(1＋2p)2(1－p)(4－10p)，
所以当p∈时，f′(p)>0，
f(p)在上单调递增；
当p∈时，f′(p)<0，
f(p)在上单调递减，
所以当p＝时，f(p)取得最大值．
跟踪训练2 解 (1)由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数
＝0.010×10×＋0.020×10×＋0.045×10×＋0.020×10×＋0.005×10×＝70，
∴μ≈＝70，
又样本方差s2≈100，∴σ≈＝10，∴X～N(70，102)，
则优等品质量差在(μ－σ，μ＋σ)，
即(60,80)内，
一等品质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)，
即(80,90)内，
∴正品质量差在(60,80)和(80,90)，即(60,90)内，
∴该企业生产的产品为正品的概率
P＝P(60(2)①从(n＋2)件正品中任选2件，有C种选法，其中等级相同的有C＋C种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率
p＝1－＝1－
＝.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p(0f(p)＝Cp3(1－p)2
＝10p3(1－2p＋p2)
＝10(p3－2p4＋p5)，
∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)
＝10p2(3－8p＋5p2)
＝10p2(p－1)(5p－3)，
∴当p∈时，f′(p)>0，
函数f(p)单调递增；
当p∈时，f′(p)<0，
函数f(p)单调递减，
∴当p＝时，f(p)取得最大值
f ＝C×3×2
＝，
此时，p＝＝，
解得n＝3或n＝(舍)．
∴当n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
优化提升
1．解 (1)由题意知，被感染人数X～B(a，p)，
则P(X)＝CpX(1－p)a－X(0≤X≤a)，
E(X)＝ap.
(2)①第n天被感染的人数为
(1＋2p)n－1，
第(n－1)天被感染的人数为
(1＋2p)n－2，
由题目中均值的定义可知，
En＝(1＋2p)n－1－(1＋2p)n－2
＝2p(1＋2p)n－2(n≥2)，
则＝1＋2p，且E2＝2p.
∴{En}(n≥2)是以2p为首项，
1＋2p为公比的等比数列．
②令f(p)＝ln(1＋p)－p，
则f′(p)＝－＝.
∴f(p)在上单调递增，在上单调递减．
∴f(p)max＝f ＝ln －
＝ln 3－ln 2－
≈1.1－0.7－0.3＝0.1.
∵当a＝10时，
En＝10p(1＋10p)n－2，
∴E6′＝10×0.1×(1＋10×0.1)4
＝16，
E6＝10×0.5×(1＋10×0.5)4
＝6 480.
∵E6远大于E6′，
∴戴口罩很有必要．
2．(1)解 设A1＝ “第1天选择米饭套餐”， A2＝ “第2天选择米饭套餐”，
则1＝ “第1天选择面食套餐”，
由题意可得，P(A1)＝，则P(1)＝，又P(A2|A1)＝，P(A2|1)＝1－＝，
则由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)·P(A2|1)＝×＋×＝.
(2)证明 ①设An＝ “第n天选择米饭套餐”，
则Pn＝P(An)，则P(n)＝1－Pn，
由题意得，P(An＋1|An)＝，
P(An＋1|n)＝1－＝，
由全概率公式可得，Pn＋1＝P(An＋1)
＝P(An)P(An＋1|An)＋P(n)·P(An＋1|n)
＝Pn＋(1－Pn)＝－Pn＋，
因此Pn＋1－＝－，
因为P1－＝≠0，
所以是以为首项，－为公比的等比数列．
②由①可得，
Pn＝＋×n－1，
当n为大于1的奇数时，
Pn＝＋×n－1
≤＋×2＝；
当n为正偶数时，
Pn＝－×n－1<<.
综上所述，当n≥2时，Pn≤.
3．解 (1)比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率
P＝＝.
(2)①由题可知f(p)＝Cp2(1－p)·p＝3p3(1－p)，
f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)，
令f′(p)＝0，
得p＝或p＝0(舍去)，
当p∈时，f′(p)>0，f(p)在上单调递增，
当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上单调递减，
所以p0＝.
②X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)2·(1－p)
＝3＋C××2×＝，
P(X＝1)＝Cp2(1－p)2·(1－p)
＝C×2×2×＝，
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2·p
＝C×2×2×
＝，
P(X＝3)＝p3＋Cp2(1－p)·p
＝3＋C×2××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.第10部分第1节《两个计数原理》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线有( )
A．10条 B．8条 C．6条 D．4条
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有( )
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
3．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )
A．16 B．13 C．12 D．10
【知识归纳】
两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝
种不同的方法.
常用结论：
1．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
【题型展示】
题型一 分类加法计数原理
例1 (1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．
(2)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
跟踪训练1 (1)设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．
(2)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有( )
A．3种 B．6种 C．7种 D．8种
题型二 分步乘法计数原理
例2 (1)(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是( )
A．共有43种不同的安排方法
B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
(2)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有( )
A．12种 B．24种 C．72种 D．216种
跟踪训练2 (1)(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是( )
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有43种
(2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层不同的走法有( )
A．10种 B．25种 C．52种 D．24种
题型三 两个计数原理的综合应用
例3 (1)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________．
(2)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( )
A．14 B．23 C．48 D．120
跟踪训练3 (1)如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为( )
A．480 B．600
C．720 D．840
(2)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为( )
A．24 B．14 C．10 D．9
基础夯实
1.小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现在从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．9 B．21 C．12 D．8
2.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( )
A.12 B.8 C.6 D.4
3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( )
A.30 B.20 C.10 D.6
4.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A．360种 B．50种
C．60种 D．90种
6．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为( )
A．12 B．24 C．36 D．48
7．用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．180 B．240 C．420 D. 480
8.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA.5 B.8 C.10 D.15
9.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16 C.13 D.10
10.如图所示的几何体由三棱锥P－ABC与三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )
A.6种 B.9种 C.12种 D.36种
11.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有( )
A.22种 B.33种
C.300种 D.3 600种
12．某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有( )
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
13．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
14．中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )
A．8 B．10 C．15 D．20
15.5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是( )
A.35 B.53 C.A D.C
16．(多选)现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是( )
A．选1人为负责人的选法种数为34
B．每组选1名组长的选法种数为5 400
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420
D．若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种
17.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是________.
18.乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________.
19.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有________种.
20.设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有______个.
21.如图所示，在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．
22．算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：
数字方式 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，知“”表示的三位数为________；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．
优化提升
23.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是( )
A．48 B．54
C．72 D．108
24．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有( )
A．23 种 B．24 种 C．32 种 D．33 种
25.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A.120种 B.260种 C.340种 D.420种
26.将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( )
A.288种 B.144种 C.576种 D.96种
27.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答).
28.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是________.
29．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为________．
30．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时，各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序数对，m＋n为有序数对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是________．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C 2.B 3.C
【知识归纳】
(1) m＋n (2)m×n
【题型展示】
例1 (1)B
(2)240
跟踪训练1 (1)C
(2)9
例2 (1)A
(2)ABD
跟踪训练2 (1)D
(2)AD
例3 (1)C
(2)80
跟踪训练3 (1)B
(2)C
基础夯实
1．D
2.C
3.D
4.D
5.B
6．C
7．C
8.C
9.C
10.C
11.B
12.B
13.D
14.B
15.A
16．AD
17.36
18.60
19.12
20.27
21．40
22．621 14
优化提升
23．C
24．D
25.D
26.C
27.1 080
28.60
29．64
30．300第10部分第2节《排列与组合》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．A＋C等于( )
A．35 B．47 C．45 D．57
2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是( )
A．18 B．24 C．30 D．36
3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．
【知识归纳】
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列
组合 作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n)．(2)C＝＝ (n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1
性质 (1)0！＝ ；A＝ .(2)C＝C；C＝
常用结论：
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
【题型展示】
题型一 排列问题
例1 (1)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4 310的四位偶数．
(2)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )
A．576 B．288 C．144 D．48
跟踪训练1 (1)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．
(2)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
题型二 组合问题
例2 (1)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有( )
A．80种 B．180种 C．260种 D．420种
(2)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有( )
A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
跟踪训练2 (1)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．
(2)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为( )
A．12 B．24 C．34 D．60
题型三 排列与组合的综合问题
命题点1 相邻、相间问题
例3 (多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是( )
A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法
B．全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法
C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法
命题点2 定序问题
例4 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.
命题点3 分组、分配问题
例5 (1)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有( )
A．20种 B．36种
C．72种 D．84种
(2)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为( )
A．60 B．90 C．120 D．150
跟踪训练3 (1)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
(2)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A．若A，B不相邻，共有72种排法
B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法
C．若A在B右边有60种排法
D．若A，B两人站在一起有48种排法
(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
基础夯实
1．若A＝6C，则m等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
2.不等式A<6×A的解集为( )
A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}
3.3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
4.某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有( )
A.60种 B.30种 C.120种 D.24种
5．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A．15 B．20 C．30 D．42
6．2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为( )
A．144 B．150 C．168 D．192
7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204 C．200 D．196
8．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有( )
A．98个 B．105个 C．112个 D．210个
9.互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A.A种 B.A种
C.AA种 D.CCAA种
10.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
11.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.120
12．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )
A．10 B．20 C．30 D．40
13．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
14．(多选)现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子内．则下列说法正确的是( )
A．恰有1个盒子不放球，共有72种放法
B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种
C．有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种
D．恰有2个盒子不放球，共有84种放法
15(多选)下列等式正确的有( )
A.C＝ B.C＝C
C.C＝C D.C＝C
16.(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( )
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D.男女生相间排法总数为72种
17.若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).
18.某省高考实行3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有________种.
19.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
20.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有________种(用数字作答).
21．在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态．现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________．
22．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是________．
优化提升
23．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有( )
A．144种 B．216种
C．288种 D．432种
24．某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有( )
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
25.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )
A.90 B.120 C.210 D.216
26.(多选)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是( )
A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
27.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有________种.
28.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)
29．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．
30．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B 2.C 3.36
【知识归纳】
1．一定的顺序
2．(1)不同排列 A
(2)不同组合 C
3．(1)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (2)
(1)1 n！ (2)C＋C
【题型展示】
例1 (1)110
(2)B
跟踪训练1 (1)5 760
(2)B
例2 (1)C
(2)CD
跟踪训练2 (1)252
(2)C
例3 BCD
例4 840
例5 (1)C
(2)D
跟踪训练3 (1)B
(2)ACD
(3)1 680
基础夯实
1．C
2.D
3.C
4.A
5.C
6．D
7．C
8.D
9.D
10.D
11.C
12.B
13.B
14．BCD
15.ABC
16.BC
17.11
18.200
19.30
20.12
21．36
22.216
优化提升
23．C
24．B
25.C
26.BCD
27.120
28.114
29．96
30．10第10部分第3节《二项式定理》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1.的展开式中x2的系数等于( )
A．45 B．20 C．－30 D．－90
2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于( )
A．31 B．32 C．15 D．16
3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
【知识归纳】
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝ ，它表示展开式的第 项
二项式系数 (k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝ .
常用结论：
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
【题型展示】
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)已知的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.
(2)二项式的展开式中的常数项是( )
A．－45 B．－10 C．45 D．65
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)在(2x＋a)的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为( )
A．3 204 B．－160 C．160 D．－320
(2)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
跟踪训练1 (1)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
(2)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
题型二 二项式系数与项的系数问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
(2)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为32
B．各项系数和为128
C．常数项为－135
D．常数项为135
命题点2 系数与二项式系数的最值问题
例4 (多选)下列关于的展开式的说法中正确的是( )
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
跟踪训练2 (1)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．
(2)(多选)对于的展开式，下列说法正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为64
C．常数项为1 215
D．系数最大的项为第3项
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
(2)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
跟踪训练3 (1)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
(2)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是( )
A．－3 B．2 C．10 D．11
基础夯实
1.的展开式中x4的系数为( )
A．10 B．20 C．40 D．80
2.的展开式中x2y3的系数是( )
A.－20 B.－5 C.5 D.20
3.已知(x＋1)的展开式中常数项为－40，则a的值为( )
A.2 B.－2 C.±2 D.4
4.C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝( )
A.3n B.2·3n
C.－1 D.
5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )
A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
6．设a＝3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3，则当n＝2 023时，a除以15所得余数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
7.已知的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A. B.－ C.7 D.－7
8．在(x＋3)的展开式中，常数项为( )
A．－ B. C．－ D.
9．在的展开式中，x的指数是整数的项数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是( )
A．常数项是第3项
B．各项的系数和是
C．第4项二项式系数最大
D．奇数项二项式系数和为32
11．(多选)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则( )
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中系数最大项为第1 350项
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝
D.＋＋＋…＋＝－1
12．(多选)若的展开式中的常数项为，则实数a的值可能为( )
A．2 B. C．－2 D．－
13.(多选)在二项式的展开式中，有( )
A.含x的项 B.含的项
C.含x4的项 D.含的项
14.(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则( )
A.a0＝－32
B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0
D.a0＋a1＋…＋a5＝1
15.在的展开式中，x2的系数是__________.
16.在＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________.
17.二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.
18．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________.
19．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．
20.已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数.
21.在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.
(1)求n的值；
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.
优化提升
22．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2 023＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2 023x2 023，数列{an}的首项a1＝＋＋…＋，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2 023等于( )
A．－ B.
C．2 023 D．－2 023
23．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( )
A．120 B．－120 C．60 D．30
24．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于( )
A．405 B．810 C．243 D．64
25.在的展开式中，常数项为( )
A.12 B.11 C.－11 D.－12
26.已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A.5 B.6 C.7 D.8
27．设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.
28.在①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
设二项式，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A 2.A 3.20
【知识归纳】
1．Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn Can－kbk k＋1 C
2．(1)相等 (2)
(3)2n
【题型展示】
例1 (1)±1
(2)C
例2 (1)D
(2)D
跟踪训练1 (1)16 5
(2)－28
例3 (1)300 5 120
(2)D
例4 ACD
跟踪训练2 (1)1
(2)ABC
例5 (1)D
(2)B
跟踪训练3 (1)B
(2)C
基础夯实
1．C
2.A
3.C
4.D
5.C
6．A
7.B
8.A
9.D
10．BCD
11．AD
12.AC
13.ABC
14.ABC
15.10
16.2
17.80 122
18．80 211
19．1 120x4 1 792x5和1 792x6
20.解 (1)通项公式为Tr＋1＝
Cxx－＝Cx，
∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)
＝×(10－6)＝2，
∴含x2的项的系数为C＝.
21.解 (1)选择条件①：
若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5.
所以n＝10.
选择条件②：
若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， C＝C.
所以n＝10.
选择条件③：
若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.
所以n＝10.
(2)由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，
令x＝0，则a0＝1，
令x＝－1，则
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10
＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.
优化提升
22．A
23．A
24．B
26.C
26.B
27．－4 31
28.解 若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n＝14；
若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14.
二项式展开式的通项：
Tk＝C·()15－k·＝3k－1·C·x.
由21－7k＝0，得k＝3.
即存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项；
若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15.
二项式展开式的通项：
Tk＝C·()16－k·
＝3k－1·C·x.
由22－7k＝0，得k＝ Z，即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项.第10部分第4节《随机事件与概率》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
3．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
【知识归纳】
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的 称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的 ，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形： 、 ．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生
相等关系 B A且A B
并事件(和事件) A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生
3．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．
4．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ ；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ ．
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
常用结论：
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
【题型展示】
题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是( )
A．A∩D＝ B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
命题点2 利用互斥、对立事件求概率
例2 某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
跟踪训练1 (1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；
D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；
E＝“点数为奇数”；
F＝“点数为偶数”．
下列结论正确的是( )
A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥
C．D3 F D．E (D1∩D2)
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
题型二 古典概型
例3 (1)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是( )
A. B. C. D.
(2)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为( )
A. B. C. D.
跟踪训练2 (1)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
(2)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
题型三 概率与统计的综合问题
例4 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．
(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
跟踪训练3 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 120
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
基础夯实
1.下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
2.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
3.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P()＝( )
A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8
4. 在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A＋发生的概率为( )
A. B. C. D.
5．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A，B，C三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为( )
A. B. C. D.
6．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则( )
A．A∪B表示向上的点数是1或3或5
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或3
D．A∩B表示向上的点数是1或5
7．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是( )
A. B. C. D.
8．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
9．(多选)下列说法中正确的有( )
A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0
B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
10.(多选)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是( )
A.甲不输的概率 B.乙不输的概率
C.乙获胜的概率 D.乙输的概率
11.(多选)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有( )
A.B＝
B.C＝“向上的一面出现的点数大于3”
C.A＋C＝“向上的一面出现的点数不小于3”
D.＝“向上的一面出现的点数为2”
12.(多选)下列说法正确的是( )
A.若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B A
D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
13．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a114．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量(mm) (100，150) (150，200) (200，250) (250，300)
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是________.
16.若事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________.
17.某城市2022年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________.
18.盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么事件？
19.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
20．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
21.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；
(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；
(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．
优化提升
22．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为( )
A. B. C. D.
23．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足|a－b|≥2的概率为( )
A. B. C. D.
24．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P1，恰好有三个红色和一个白色的概率为P2，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3，四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1＝P2＝P3＝P4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为( )
A．17 B．19
C．21 D．以上都不正确
25．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
26.(多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间(分钟) 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
27.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________.
28.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B 2.B 3.
【知识归纳】
1．(1)①基本结果 样本空间
(2)①子集 ③必然事件
不可能事件
2．A B A＝B A与B至少有一个发生 A∩B或AB A∩B＝ ，且A∪B＝Ω
3．(1)有限个 (2)相等
4.
5．P(A)＋P(B) 1－P(B)
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
6．(1)稳定于
【题型展示】
例1 (1)B
(2)BC
例2 解 (1)P(A)＝，
P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝，
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
跟踪训练1 (1)BC
(2)解 ①由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
②记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝，
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为.
例3 (1)D
(2)D
跟踪训练2 (1)
(2)C
例4 解 (1)根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成绩在[80,90)这一组的频率为×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.
(2)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；
成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.
(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成绩在[90,100)内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，
则P(E)＝.
跟踪训练3 解 (1)2×2列联表如表所示.
满意 不满意 合计
男生 40 20 60
女生 30 30 60
合计 70 50 120
零假设为H0：对讲座活动是否满意与性别无关．
根据列联表中数据，
经计算得
χ2＝＝
≈3.429>2.706＝x0.10，
根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满意与性别有关．
(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中
“男生满意”的有40×＝4(人)，
“女生满意”的有30×＝3(人)，
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为.
基础夯实
1.D
2.A
3.A
4.C
5.B
6．A
7.C
8.B
9．ABC
10.ABD
11.BC
12.BCD
13.
14.
15.0.25
16.0.16
17.
18.解 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球，1个白球或3个红球，故CA＝A.
19.解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
20．解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一 记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，
所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04
＝0.44.
方法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
21．解 (1)由题意知，样本数据的平均数＝＝12.
(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为＝，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点约有
90×＝30(个)．
(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，
从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，
记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，
故所求概率P(M)＝.
优化提升
22．C
23．C
24．C
25．B
26.BD
27.
28.解 (1)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况.
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是.
(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
因此＜，所以此游戏不公平.第10部分第5节《事件的相互独立性与条件概率、全概率公式》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为( )
A. B. C. D．1
2．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )
A. B. C. D.
3．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________．
【知识归纳】
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称上面的公式为全概率公式.
常用结论：
1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
【题型(1)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为 ________；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 ________.
展示】
题型一 相互独立事件的概率
例1 (2)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
跟踪训练1 小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；
(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；
(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率．
题型二 条件概率
例2 (1)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为( )
A. B. C. D.
(2)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为( )
A. B. C. D.
跟踪训练2 (1)某射击运动员每次击中目标的概率为，现连续射击两次．
①已知第一次击中，则第二次击中的概率是________；
②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．
(2)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为( )
A. B. C. D.
题型三 全概率公式的应用
例3 (1)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为( )
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51
(2)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为( )
A. B. C. D.
跟踪训练3 (1)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等．小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝________，P(B)＝________.
(2)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为( )
A．0.78 B．0.8 C．0.82 D．0.84
基础夯实
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
2.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
3.设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
4.已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，则P(A)＝( )
A. B. C.0.33 D.0.1
5．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为( )
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25
6．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C．P(B|A)＝
D．P(C|A)＝
7.甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为( )
A. B. C. D.
8．某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是( )
A．0.819 2 B．0.972 8
C．0.974 4 D．0.998 4
9．根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为( )
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
10．甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为( )
A．0.36 B．0.352
C．0.288 D．0.648
11.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
12.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
13．某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得－20分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ________；该选手闯关成功的概率是 ________.
14．某医生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为________．
15.开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是________.
16.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
17.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________.
18.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在A处投中的概率都是，在B处投中的概率都是，且在A，B两处投中与否相互独立，规定甲、乙两人先在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜.
(1)求甲投篮总得分ξ的分布列；
(2)求甲获胜的概率.
19.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
20．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝.
(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．
21．男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组(每组4个队)．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：
小组赛阶段各组采用单循环赛制(小组内任意两队需且仅需比赛一次)；决赛阶段均采用淘汰制(每场比赛胜者才晋级)，先将12支球队按照小组比赛成绩进行排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛(且不在四分之一决赛中相遇)，其余8支球队按规则进行附加赛(每队比赛一次，胜者晋级)，争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
(2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队(甲、乙、丙、丁队)实力相当，假设他们在接下来的四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜的概率都依次为，，，，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
优化提升
22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
23．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
24．(多选)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
25.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A.P(B)＝
B.P(B|A1)＝
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1，A2，A3是两两互斥的事件
26．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，
则有P(A|C)=0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝________.(精确到0.001)
27.三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________.
28.播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A 2.D 3.0.55
【题型展示】
例1 (1)0.5 0.1
(2)B
跟踪训练1 解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，
P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()·P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)恰好有一列火车正点到达的概率为
P2＝P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9
＝0.092.
(3)三列火车至少有一列火车正点到达的概率为
P3＝1－P( )
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
例2 (1)A
(2)D
跟踪训练2 (1)① ②
(2)C
例3 (1)D
(2)C
跟踪训练3 (1)
(2)C
基础夯实
1．C
2.D
3.A
4.A
5.A
6.D
7.C
8.B
9.A
10.D
11.C
12.CD
13.
14.
15.0.15
16.
17.
18.解 (1)设“甲在A点投中”为事件A，“甲在B点投中”为事件B.
根据题意，ξ的所有可能取值为0，2，3，5，则
P(ξ＝0)＝P()＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(A)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(B)＝×＝，
P(ξ＝5)＝P(AB)＝×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 2 3 5
P
(2)同(1)，乙的总得分η的分布列为
η 0 2 3 5
P
甲获胜包括甲得2分、乙得0分，甲得3分、乙得0分或2分，甲得5分、乙得0分或2分或3分，共三种情形，这三种情形之间相互独立，
因此所求概率为P＝P(ξ＝2)×P(η＝0)＋P(ξ＝3)×P(η＜3)＋P(ξ＝5)×P(η＜5)＝×＋×＋×＝.
19.解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率
P(B|A)＝＝＝.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
20．解 (1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率
P＝1－××＝.
(2)设“该款智能自动检测合格”为事件A，“人工抽检合格”为事件B，
则P(A)＝，P(AB)＝1－＝，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率
P(B|A)＝＝＝.
21．解 (1)根据赛制，小组赛共安排3×C＝18(场)比赛，
附加赛共安排8÷2＝4(场)比赛，
四分之一决赛共安排8÷2＝4(场)比赛，
半决赛共安排4÷2＝2(场)比赛，
铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，
故本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排18＋4＋4＋2＋2＝30(场)比赛．
(2)设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没有获得冠军为事件E，
∵晋级后每场比赛相互独立，
∴P(A)＝××＝，
∵四队实力相当，
∴P(B)＝P(C)＝P(D)
＝P(A)＝，
∵事件A，B，C，D互斥，
∴甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为
P(E)＝1－P(A∪B∪C∪D)
＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]
＝1－4×＝.
故甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为.
优化提升
22．D
23．D
24．BD
25.BD
26．0.087
27.0.09
28.解 设A＝“在这批种子中任选一颗，长出优质产品”，
Bi＝“从这批种子中任选一颗是第i等种子”(i＝1，2，3，4)，则Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4两两互斥.
则P(B1)＝95.5%，P(B2)＝2%，P(B3)＝1.5%，P(B4)＝1.0%，P(A|B1)＝0.5，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.1，P(A|B4)＝0.05.
由全概率公式P(A)＝P(Bi)·P(A|Bi)
＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5，
所以从这批种子中任选一颗，长出优质产品的概率是0.482 5.第10部分第6节《离散型随机变量及其分布列、数字特征》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4 C．－1 D．1
3．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的方差D(X)＝________.
【知识归纳】
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
常用结论：
随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
【题型展示】
题型一 分布列的性质
例1 (1)若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a c
则P(|X|＝1)等于( )
A. B. C. D.
(2)若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
跟踪训练1 (1)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________； P(X≥2)＝________.
(2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 2－3q q2
则q的值为( )
A．1 B.±
C.－ D.＋
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)(多选)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )
A．E(X)＝E(Y) B．E(X)≠E(Y)
C．D(X)＝D(Y) D．D(X)≠D(Y)
(2)(多选)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m 3m
下列结论正确的有( )
A．m＝ B．E(X)＝
C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝
跟踪训练2 (1)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.
(2)已知ξ的分布列如表所示．
ξ 0 1 2
P ？ ！ ？
其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三 均值与方差中的决策问题
例3 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
跟踪训练3 某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
基础夯实
1．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于( )
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A.0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
2.已知随机变量的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为( )
ξ 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B.6 C.7 D.8
3.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5
4.设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值为E(X)＝3，则a－b等于( )
A. B.0 C.－ D.
5．某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3
获得的奖金/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大( )
A．FDE B．FED C．DEF D．EDF
6.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
7．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则 a等于( )
A．－3 B．－2 C. D．3
8．随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于( )
A. B. C. D.
9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为( )
A. B. C. D.
10.(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A.q＝0.1
B.E(X)＝2，D(X)＝1.4
C.E(X)＝2，D(X)＝1.8
D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
11.(多选)已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P b－a b a
则当a在内增大时( )
A.E(ξ)增大
B.E(ξ)减小
C.D(ξ)先增大后减小
D.D(ξ)先减小后增大
12．(多选)设0ξ 0 m 1
P
当m在(0,1)上增大时，则( )
A．E(ξ)减小
B．E(ξ)增大
C．D(ξ)先增后减，最大值为
D．D(ξ)先减后增，最小值为
13．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．
ξ －2 0 2
P a b
若随机变量ξ的均值E(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________.
14．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________.
15.某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
16.已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
17.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________.
18.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
(1)乙投篮次数不超过1的概率；
(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列和期望.
19.某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，，丙通过各环节的概率与甲相同.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：
参与环节 笔试 面试
手机话费/元 20 30
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.
20．若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 4 200 4 400 4 600 4 800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 4 000 4 400 4 800 5 200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
21．某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束．
(1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；
(2)甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案．
方案一：2人共同行动；
方案二：2人分头行动．
分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的均值．
优化提升
22．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为( )
A. B. C. D.
23．(多选)核酸检测有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为(k＋1)次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5
24.(多选)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( )
A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B.四人去了同一餐厅就餐的概率为
C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为
D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为
25.(多选)开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn，则以下论述正确的是( )
A.小明同学第二天一定选择面食套餐
B.p3＝0.68
C.pn＝0.2pn－1＋0.8(1－pn－1)(n≥2，n∈N)
D.前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为n＋－
26．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆环B中得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，.甲、乙所得分数相同的概率为________；若甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的均值为________．
27．某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈，发球次数为X，则P(X＝3)的最大值为________；若E(X)<，则p的取值范围是________．
28.东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：
销售量/份 15 16 17 18
天数 20 30 40 10
(视样本频率为概率)
(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．D 2.A 3.
【题型展示】
例1 (1)C
(2)C
跟踪训练1 (1)
(2)C
例2 (1)BC
(2)ABD
跟踪训练2 (1)
(2)C
跟踪训练3 解 (1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，
P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列为
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：
由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值
E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，
若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0,6,10，
P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，
P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，
P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，
则Y的均值E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因为E(X)>E(Y)，
所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．
基础夯实
1．D
2.C
3.C
4.A
5．C
6.D
7.A
8.C
9.B
10.ACD
11.AC
12．BD
13．11
14.
15.40%
16.
17.1
18.解 (1)记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B.
“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：第一种是甲第1次投篮投中，第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中.
故所求的概率P＝P(A＋·B＋··A)
＝P(A)＋P(·B)＋P(··A)＝P(A)＋P()·P(B)＋P()·P()·P(A)＝＋×＋××＝.
(2)甲、乙投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝P(A)＝；
P(ξ＝2)＝P(·B)＝×＝；
P(ξ＝3)＝P(··A)＝××＝；
P(ξ＝4)＝P(··)＝××＝.
所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.解 (1)设事件A表示“甲被机器人社团录取为新成员”，事件B表示“乙被机器人社团录取为新成员”，事件C表示“丙被机器人社团录取为新成员”.
则P(A)＝P(C)＝×＝，P(B)＝×＝，
所以甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率p＝P(BC＋AC＋AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝2×××＋××＝.
(2)设事件D表示“甲、乙、丙三人都被机器人社团录取”，
则P(D)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，
所以甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率p＝1－P(D)＝1－＝.
(3)X的所有可能取值为60，90，120，150.
P(X＝60)＝××＝，
P(X＝90)＝2×××＋××＝＝，
P(X＝120)＝2×××＋××＝，
P(X＝150)＝××＝＝.
所以X的分布列为
X 60 90 120 150
P
所以E(X)＝60×＋90×＋120×＋150×＝110.
20．解 根据月工资的分布列，可得E(X1)＝4 200×0.4＋4 400×0.3＋4 600×0.2＋4 800×0.1
＝4 400(元)，
D(X1)＝(4 200－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 600－4 400)2×0.2＋(4 800－4 400)2 ×0.1＝40 000；
E(X2)＝4 000×0.4＋4 400×0.3＋4 800×0.2＋5 200×0.1＝4 400(元)，
D(X2)＝(4 000－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 800－4 400)2×0.2＋(5 200－4 400)2 ×0.1＝160 000.
因为E(X1)＝E(X2)，
D(X1)所以两家单位的月工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．如果你认为自己能力较强，通过一段时间的努力可以获得高工资职位，可选择乙单位；如果你认为自己能力一般，则选择甲单位可能得到更高的收入，可选择甲单位．
21．解 (1)设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X(单位：分钟)，
则X的所有可能取值为3,6,9，
P(X＝3)＝，P(X＝6)＝＋×＝，
P(X＝9)＝×＝，
所以E(X)＝3×＋6×＋9×＝(分钟)，
即一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值为 分钟．
(2)由(1)知，按照方案一：2人共同行动所用时间和的均值为
×2＝11(分钟)．
按照方案二：设两人走出迷宫所用时间和为Y(单位：分钟)，
则Y的所有可能取值为9,12,15，
P(Y＝9)＝2×
＝，
P(Y＝12)＝2×＝，
P(Y＝15)＝2×
＝，
所以E(Y)＝9×＋12×＋15×＝11(分钟)，
即按照方案二，两人所用时间和的均值为11分钟．
优化提升
22．B
23．AB
24.ACD
25.BCD
26.
27.
28.解 (1)根据题意可得，X的所有可能取值为30，31，32，33，34，35，36.
则P(X＝30)＝×＝，
P(X＝31)＝××2＝，
P(X＝32)＝××2＋×＝，
P(X＝33)＝××2＋××2＝，
P(X＝34)＝××2＋×＝，
P(X＝35)＝××2＝，
P(X＝36)＝×＝.
X的分布列如下：
X 30 31 32 33 34 35 36
P
E(X)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8.
(2)当购进32份时，利润为
32×4×＋(31×4－8)×＋(30×4－16)×
＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元).
当购进33份时，利润为
33×4×＋(32×4－8)×＋(31×4－16)×＋(30×4－24)×＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68(元).
125.6＞124.68，
因此，当购进32份时，利润更大.