湘教版（2024）七上2.3.2整式的概念（同步探究学案）

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2.3.2 整式的概念
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解同类项的概念.
2.掌握合并同类项的法则.
3.会利用合并同类项将整式化简.
4.理解降幂（或升幂）排列的概念，会将多项式进行降幂（或升幂）排列.
5.知道两个多项式相等的概念，并会通过该概念求未知数.
学习重点：
合并同类项法则.
学习难点：
正确判定同类项并能准确合并同类项.
预习自测
一、单选题
1．若单项式的系数是，次数是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．多项式的一次项系数是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
3．多项式的四次项系数是 ．
4．在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ．
教学过程
一、新课导入
说一说：
在多项式x43x2y+5x3+7x2y+4中，项3x2y与7x2y中含有的字母相同吗？相同字母的指数也相同吗？
二、新知探究
探究一：同类项的概念
教材第77页
概念：把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项.
问题1：多项式x43x2y+5x3+7x2y+4中的同类项是什么？
问题2：非零常数也是同类项吗
探究二：合并同类项
教材第78页：
x43x2y+5x3+7x2y+4
=x43x2y+7x2y+5x3+4 ……加法交换律
=x4+(3x2y+7x2y)+5x3+4 ……加法结合律
= x4 +(3+7)x2y+5x3+4
= x4 +4x2y+5x3+4
合并同类项的概念：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
做一做：
例2把下列多项式合并同类项：
（1）2x39x3+x27；
（2）3x2y2+5xy37x2y28xy310.
探究三：降幂（或升幂）排列
教材第78页：
概念：合并同类项后，多项式的次数和项数分别是几，则称此多项式为几次几项式 .
问题1：7x3+x27和10x2y2+3xy310为几次几项式？
做一做：
例3写出下列多项式的次数和常数项，并指出它们是不是按x降幂排列，对于不是按x降幂排列的多项式，试着按x进行降幂排列：
（1）x5+x47x3x+10;
（2）5x2y42x3y2+6xy37y19.
探究四：多项式相等
教材第79页：
说一说：分别将多项式x34x2+7x22x5与多项式 x3+3x26x+4x5合并同类项，你会发现什么？
概念：两个多项式分别合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等.
思考：若多项式 ax2+bxy2cy与多项式dx2exy2相等，其中a，b，c，d，e均为常数，则a，b，c，d，e 应该满足什么条件？
三、自主检测
一、单选题
1．多项式的各项分别是（ ）
A．，，1 B．，，1 C．，， D．，，
2．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第2012个图案需要棋子（　　）枚．
A．5046 B．5782 C．4986 D．6038
3．观察下列等式：
① ② ③……
那么第n（n为正整数）个等式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．把多项式按x的降幂排列为 ．
三、解答题
5．（1）如果是关于x、y的六次单项式，求k的值；
（2）若是关于x、y的单项式，且系数为8，次数为4，求a、b的值．
四、知识点总结
合并同类项的一般步骤：
1.找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作上相同的标记.
2.利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时，连同项的符号一起交换.
3.利用合并同类项的法则合并同类项，系数相加，字母及其指数不变，写出合并后的结果.
预习自测参考答案：
1．D
【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得、的值，进而可得的值．解题的关键是掌握单项式的相关定义．
【详解】解：∵单项式的系数是，次数是，
∴，，
∴，
∴的值为．
故选：D．
2．B
【分析】直接利用及多项式的项的定义分析得出答案．
【详解】解：多项式的一次项系数是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．
3．
【分析】本题考查多项式中项的系数，理解多项式的基本定义，确定每一项的系数要包括符号是解题关键．首先根据多项式中项的定义确定四次项，然后确定其系数即可．
【详解】解：原多项式中，四次项为，
∴四次项系数为：，
故答案为．
4． ， ， ，，，
【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可．
【详解】解：，是单项式；
，是多项式；
，，，是整式；
故答案为：，；，；，，，．
自主检测参考答案：
1．D
【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据项的定义解答即可．
【详解】解：多项式的各项分别是，，．
故选D．
2．D
【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形后一个图形比前一个图形多3个棋子，进行求解即可．
【详解】解：观察图形后一个图形比前一个图形多3个棋子，
∴第n个图案需要棋子的个数为：，
∴第2012个图案需要棋子枚；
故选D．
3．D
【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律；
【详解】解：①，
②，
③……
……
第n（n为正整数）个等式为，
故选：D．
4．
【分析】本题主要考查多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键．
先判断每一项的次数，再把x按从低次到高次排列得出答案即可，排列时带着系数及符号．
【详解】解：多项式按x的升幂排列为：，
故答案为：．
5．（1）；（2），或
【分析】本题主要考查了单项式、系数与次数，掌握与单项式有关的概念是关键．
（1）利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，利用六次单项式列方程求解即可；
（2）根据单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）由题意，知，且，
所以；
（2）由题意，知，，
所以，或．
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