湘教版（2024）七上2.3.1整式的概念（同步探究学案）

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2.3.1 整式的概念
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过具体实例归纳单项式的共同特征，经历单项式概念的发生过程，理解单项式的概念.
2.理解单项式的系数和次数的概念.
3.理解多项式、整式的概念.
4.理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念，会确定一个多项式的项数和次数.
学习重点：
单项式、多项式、整式的概念.
学习难点：
确定单项式的系数和次数，确定多项式的项数和次数.
预习自测
一、单选题
1．单项式的系数和次数分别是（　　）
A．、 B．、 C．、 D．、
2．下列说法正确的是（ ）
A．单项式的次数是1 B．单项式的系数是
C．单项式的系数是1，次数是2 D．多项式叫三次四项式
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．多项式是三次三项式 B．多项式的一次项为
C．多项式的次数是3 D．单项式的系数为
二、填空题
4． 叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ．在一个多项式中， 叫做这个多项式的次数．
教学过程
一、新课导入
做一做：
下面下划线上的代数式里含有加减运算吗？只含有哪些运算？
（1） 以8 km/h的平均速度行走t h的路程是8t；
（2） 半径为r的圆的面积是πr2；
（3） 底面是边长为x的正方形，高为y的长方体的体积是x2y.
二、新知探究
探究一：单项式的概念
教材第75页
抽象：由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式.其中这个数叫作单项式的系数，所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
问题：x，8t，πr2，x2y的系数和次数是什么？
做一做：
填表（其中π是圆周率）：
探究二：多项式和整式的概念
教材第76页：
说一说：
图1是由一个长方形和一个半圆组成 . 已知长方形的长为 x，宽为 y，半圆的直径为y.
（1）长方形的面积为多少？
（2）半圆的面积为多少？
（3）由长方形和半圆组成的图形的面积为多少？
问题：多项式2x3+x27x+9、xy+y2和x4+4x35x2y+3xy27xy+y21的常数项和次数是什么？
做一做：
例1分别写出下列多项式的次数和常数项：
（1） 2x3；
（2）x3+7x4；
（3） 3x25xy+y24x+6y9.
自主检测
一、单选题
1．若是的系数，是多项式的次数，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．a的系数为0 B．的次数是2
C．的系数为 D．是一次单项式
3．多项式中，常数项是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
4．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个．
三、解答题
5．判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
知识点总结
单项式：由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式.
多项式：几个单项式的和叫作多项式.
整式：单项式和多项式统称为整式.
判断代数式是单项式的方法：
1.数字和字母、字母和字母是相乘关系，式子中不含加减运算.
2.单独一个数或一个字母也是单项式.
3.分母中不含字母.
判断代数式是多项式的方法：
几个单项式的和，式子中含加减运算.
预习自测参考答案：
1．B
【分析】本题考查单项式中的系数和次数，根据系数和次数的概念求解即可．
【详解】解：单项式的系数是，次数是．
故答案为：B
2．C
【分析】本题考查多项式与单项式的概念．根据多项式与单项式的概念即可判断．
【详解】解：A、单项式次数是2，故本选项不符合题意；
B、单项式的系数是，故本选项不符合题意；
C、单项式的系数是1，次数是2，故本选项符合题意；
D、多项式叫四次四项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】根据单项式系数的概念：单项式中的数字因数即为单项式的系数；单项式中所有字母的指数和即为单项式的次数；多项式的项即为多项式中每个单项式即为多项式的项，多项式中次数最高的单项式的次数即为多项式的次数；据此解答即可．
【详解】解：A、多项式是三次三项式，说法正确，不符合题意；
B、多项式的一次项为，说法正确，不符合题意；
C、多项式的次数是3，说法正确，不符合题意；
D、单项式的系数为，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式以及多项式的相关定义，熟记相关定义是解本题的关键．
4． 几个单项式的和 项 次数最高项的次数
【分析】直接利用多项式的定义、多项式项与次数的概念写出答案即可．
【详解】解：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．在一个多项式中，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数．
故答案是：几个单项式的和，项，次数最高项的次数．
【点睛】本题主要考查了多项式的定义、多项式项与次数，掌握多项式的相关概念成为解答本题的关键．
自主检测参考答案：
1．D
【分析】本题考查了多项式的次数、单项式的系数．根据单项式中的数字因数就是单项式的系数可知，根据多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数可知，把和的值代入计算即可．
【详解】解：是的系数，
，
是多项式的次数，
，
．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了单项式的定义，单项式的系数与次数，正确理解单项式的相关概念是解题的关键．单项式的定义，单项式的系数与次数的概念，即可判断答案．
【详解】A、a的系数为1，所以选项A错误，不符合题意；
B、的次数是4，所以选项B错误，不符合题意；
C、的系数为，所以选项C正确，符合题意；
D、单项式的次数是0，所以选项D错误，不符合题意．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查多项式的定义，解题的关键是熟悉多项式的定义．不含字母的项是常数项，据此求解即可．
【详解】解∶ 多项式中，常数项是，
故选∶D．
4． 3 ② 4
【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可．
【详解】多项式有，，，一共有3个；
因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②；
整式有，，，，一共有4个．
故答案为：3，②，4．
5．(1)是单项式，系数是，次数是4．
(2)是单项式，系数是，次数是6．
(3)是单项式，系数是，次数是4．
(4)是单项式，系数是，次数是5．
(5)是单项式，系数是，次数是1．
(6)不是单项式．
(7)不是单项式．
【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键．
（1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可；
（5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π是表示圆周率，是数字不是字母；
（6）是多项式，不是单项式；
（7）不是单项式．
【详解】（1）是单项式，系数是，次数是4．
（2）是单项式，系数是，次数是6．
（3）是单项式，系数是，次数是4．
（4）是单项式，系数是，次数是5．
（5）是单项式，系数是，次数是1．
（6）不是单项式．
（7）不是单项式．
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