第05讲 椭圆及其性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：椭圆的定义 4
知识点2：椭圆的方程、图形与性质 4
解题方法总结 7
题型一：椭圆的定义与标准方程 7
题型二：椭圆方程的充要条件 8
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 9
题型四：椭圆上两点距离的最值问题 11
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 12
题型六：离心率的值及取值范围 13
方向1：利用椭圆定义去转换 13
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式 14
方向3：利用最大顶角满足 14
方向4：坐标法 15
方向5：找几何关系，利用余弦定理 16
方向6：找几何关系，利用正弦定理 16
方向7：利用基本不等式 17
方向8：利用焦半径的取值范围为 18
方向9：利用椭圆第三定义 18
题型七：椭圆的简单几何性质问题 19
题型八：利用第一定义求解轨迹 22
题型九：椭圆的实际应用 23
04真题练习·命题洞见 26
05课本典例·高考素材 27
06易错分析·答题模板 29
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全 29
答题模板：求椭圆的标准方程 29
考点要求 考题统计 考情分析
（1）椭圆的定义及其标准方程 （2）椭圆的几何性质 2024年II卷第5题，5分 2023年甲卷（理）第20题，12分 2023年I卷II卷第5题，5分 2023年北京卷第19题，15分 2023年甲卷（理）第12题，5分 2022年甲卷（理）第10题，5分 椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．
复习目标： （1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． （2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． （3）掌握椭圆的简单应用．
知识点1：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
【诊断自测】已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
知识点2：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆 的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
解题方法总结
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
题型一：椭圆的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个．
【典例1-2】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
【变式1-1】方程表示的曲线是 ，其标准方程是 .
【变式1-2】已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为 .
【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
【变式1-4】（2024·高三·广东揭阳·期末）已知椭圆E：（），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为 .
【变式1-5】过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ．
【变式1-6】（2024·山西太原·三模）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
题型二：椭圆方程的充要条件
【典例2-1】（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【典例2-2】方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）命题“实数”是命题“曲线表示椭圆”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2024·高三·辽宁大连·期末）已知曲线“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ．
【典例3-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【方法技巧】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.
【变式3-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 .
【变式3-2】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ．
【变式3-3】（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ．
【变式3-6】设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知为椭圆上一点，若的右焦点的坐标为，点满足，，若的最小值为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【方法技巧】
利用几何意义进行转化.
【变式4-1】如果点P是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，那么的最大值是 ，最小值是 ．
【变式4-2】已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ．
【变式4-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为 .
【变式4-4】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ．
【变式4-5】已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ．
【变式4-6】已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
【典例5-1】已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【典例5-2】已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（ ）
A． B．4 C．8 D．
【变式5-3】设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（ ）
A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
【典例6-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】椭圆C：的左、右焦点分别为、，直线过且与椭圆交于A、B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式
【典例7-1】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知椭圆的左 右焦点分别为上一点满足，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
方向3：利用最大顶角满足
【典例8-1】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
【变式8-1】已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
【变式8-2】（2024·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
方向4：坐标法
【典例9-1】焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ；
【变式9-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，点M，N在C上，且满足且，若，则C的离心率为 .
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【变式11-1】过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（2024·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
方向8：利用焦半径的取值范围为
【典例13-1】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【典例13-2】（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【变式13-1】已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆经过左焦点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
方向9：利用椭圆第三定义
【典例14-1】已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【典例14-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-1】（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
【典例15-1】（多选题）（2024·高三·广西南宁·开学考试）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8
C．椭圆C的离心率为 D．的面积为
【典例15-2】（多选题）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
【方法技巧】
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长，短轴长
离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁）
【变式15-1】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个
【变式15-2】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆的左 右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ）
A．存在点，使
B．
C．的最小值为
D．周长的最大值为8
【变式15-3】（多选题）（2024·高三·安徽合肥·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A． B．的最大值为8
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【变式15-4】（多选题）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为 D．
【变式15-5】（多选题）已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．的最大值为8
C．离心率为
D．椭圆上不存在点，使得
【变式15-6】（多选题）（2024·江西南昌·三模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．椭圆的离心率为
C．是椭圆的一个焦点 D．
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例16-1】动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是 .
【典例16-2】 中，，，AC，AB边上的两条中线之和为39，则的重心的轨迹方程为 .
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
【变式16-1】已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 .
【变式16-2】一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【变式16-3】已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ．
【变式16-4】已知在中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，若，则点P的轨迹方程为 ．
【变式16-5】已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为
【变式16-6】（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为 ．
【变式16-7】（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点P到，的距离之和为，若存在一点P满足的面积为，写出满足条件的一个动点P的轨迹方程 ．
【变式16-8】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
【变式16-9】已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ．
题型九：椭圆的实际应用
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。
【变式17-1】（2024·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式17-2】 2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【变式17-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-4】（2024·云南曲靖·模拟预测）某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径 下口直径 母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于 .
【变式17-5】（多选题）（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，椭圆的离心率为
B．当椭圆的离心率最大时，
C．当椭圆的焦距为4时，
D．当时，椭圆的焦距为6
【变式17-6】甲 乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲 乙两人分别站在洞内如图所示的A B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲 乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 .
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．（2023年高考全国甲卷数学真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2023年高考全国甲卷数学真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得：
（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
2．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上．
3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线
4．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
5．如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑椭圆焦点位置时，易错点在于未全面分析椭圆的长短轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断椭圆的长轴、短轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
【易错题2】已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
答题模板：求椭圆的标准方程
1、模板解决思路
求椭圆的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在x 轴上还是在y轴上，再设出相应的标准方程，由已知条件确定的值.
2、模板解决步骤
第一步：根据条件判断椭圆的焦点位置，设出椭圆的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出椭圆的方程.
【典型例题1】中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ．
【典型例题2】已知是椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且.若坐标原点到直线的距离为3，则椭圆的标准方程为 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 椭圆及其性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：椭圆的定义 4
知识点2：椭圆的方程、图形与性质 4
解题方法总结 7
题型一：椭圆的定义与标准方程 8
题型二：椭圆方程的充要条件 13
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 15
题型四：椭圆上两点距离的最值问题 20
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 25
题型六：离心率的值及取值范围 28
方向1：利用椭圆定义去转换 28
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式 32
方向3：利用最大顶角满足 34
方向4：坐标法 37
方向5：找几何关系，利用余弦定理 40
方向6：找几何关系，利用正弦定理 43
方向7：利用基本不等式 45
方向8：利用焦半径的取值范围为 48
方向9：利用椭圆第三定义 51
题型七：椭圆的简单几何性质问题 53
题型八：利用第一定义求解轨迹 60
题型九：椭圆的实际应用 66
04真题练习·命题洞见 73
05课本典例·高考素材 75
06易错分析·答题模板 78
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全 78
答题模板：求椭圆的标准方程 79
考点要求 考题统计 考情分析
（1）椭圆的定义及其标准方程 （2）椭圆的几何性质 2024年II卷第5题，5分 2023年甲卷（理）第20题，12分 2023年I卷II卷第5题，5分 2023年北京卷第19题，15分 2023年甲卷（理）第12题，5分 2022年甲卷（理）第10题，5分 椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．
复习目标： （1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． （2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． （3）掌握椭圆的简单应用．
知识点1：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
【诊断自测】已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
【答案】A
【解析】由题设知，
则动点P的轨迹不存在．
故选：D
知识点2：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆 的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，
且，故，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
解题方法总结
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
题型一：椭圆的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个．
【答案】 或（写一个即可） 2
【解析】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况．
设椭圆方程为（，，）．
当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得
，解得，所以椭圆的方程为．
同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得
，得；
该椭圆的方程为．
故答案为：或（写一个即可）；
【典例1-2】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，结合题设有，，
由，则，
化简得，故的长轴长与焦距的比值为.
故选：D.
【方法技巧】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
【变式1-1】方程表示的曲线是 ，其标准方程是 .
【答案】 椭圆
【解析】方程，
表示点到两点的距离之和等于，而，
所以方程表示的曲线是椭圆，
且长轴长，焦距，所以，
所以半短轴长，
所以其标准方程为.
故答案为：椭圆；.
【变式1-2】已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程得：
，解得，
所求椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题知：，①
又椭圆经过点，
所以，②
又，③
联立解得：，
故椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
【变式1-4】（2024·高三·广东揭阳·期末）已知椭圆E：（），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为 .
【答案】
【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：
由题意知：，直线AB的斜率为，即，
所以，.
由椭圆的性质知：，，则，所以，，
则，故直线AB的方程为.
联立，解得：或，
所以，故，
则，解得：.
又，所以，即，则E的标准方程为.
故答案为：.
【变式1-5】过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ．
【答案】
【解析】由题意设椭圆的方程为，，
将点代入，，
整理可得：，
解得或（舍，
所以椭圆的方程为：，
故答案为：．
【变式1-6】（2024·山西太原·三模）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得，
显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而，
又，于是，，因此，解得，
所以椭圆 的标准方程是.
故选：B
题型二：椭圆方程的充要条件
【典例2-1】（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
【典例2-2】方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】若表示椭圆，则有，
解得或.
故选：D.
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）命题“实数”是命题“曲线表示椭圆”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意“曲线表示椭圆”等价于“曲线表示椭圆”，
而“曲线表示椭圆”，等价于，解得或，
所以命题“实数”是命题“曲线表示椭圆”的一个必要不充分条件.
故选：C.
【变式2-2】（2024·高三·辽宁大连·期末）已知曲线“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若表示焦点在轴上的椭圆，
则有，即，即，
故A、D选项为既不充分也不必要条件，B选项为充要条件，
C选项为充分非必要条件，故C选项符合要求.
故选：C.
【变式2-3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上
【答案】A
【解析】对A，当，即时，曲线的方程为，
此时曲线为两条平行的直线，故A错误；
对B，若为负角，即，则，
此时曲线为双曲线，故B正确；
对C，若为正角，即，当时，，
则曲线的方程为1，是圆，故C错误；
对D，若为椭圆，则，又可变形为，
则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．
故选：B．
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ．
【答案】
【解析】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得
所以，，
所以，
由余弦定理可得，
所以，
故，
因此的面积为，
解得．
故答案为：.
【典例3-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】椭圆的方程为，则，，，
连接，，
则由椭圆的中心对称性可知，
可知为平行四边形，则，
可得的周长为，
当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，
所以周长为．
故选：C.
【方法技巧】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.
【变式3-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 .
【答案】
【解析】由椭圆可知，
故，结合，
可得，而，
故为等腰三角形，其面积为.
故答案为：.
【变式3-2】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ．
【答案】9
【解析】解法一：由，得，则，
设，则由题意得
，
由，得，
所以，得，
所以的面积为
解法二：由，得，
因为
所以由焦点三角形的面积公式得．
故答案为：9
【变式3-3】（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的长半轴为，则
设关于平分线的对称点为Q，
由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且
又因为，所以是正三角形，
设，
由椭圆定义可得，，
又，
所以，
所以，即，，
所以的面积.
故选：C.
【变式3-4】（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为的角平分线交线段于点，
所以，
所以由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，不妨设，如图：
则，解得，
所以，
由题意，，所以，
故选：D
【变式3-5】（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ．
【答案】
【解析】设椭圆的右焦点为，连接，，，
依题意可得长半轴长，半焦距，且，
所以为等边三角形，则直线过，
所以
，即的周长为.
故答案为：
【变式3-6】设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．设，则．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故选：D．
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知为椭圆上一点，若的右焦点的坐标为，点满足，，若的最小值为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
如图，∵，∴，
又∵，∴，即，，
∴，
∴当点为椭圆的右顶点时，取最小值，，
此时的最小值，
解得（舍）或，∴，
∴椭圆的方程为.
故选：B.
【典例4-2】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
故选：C.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化.
【变式4-1】如果点P是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，那么的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 10 2
【解析】由椭圆方程可得，，则.
则当点位于右端点时，；
当点位于左端点时，.
故答案为：10；2
【变式4-2】已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，
椭圆的焦点为，，
因为，
即求焦半径的最小值.
先证焦半径公式：
设是椭圆上任一点，
是椭圆的两焦点，
则
因为，所以，.
由焦半径公式知，则当时，
取得最小值，
则.
故答案为：
【变式4-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，连接，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，结合椭圆的性质分析运算.
因为为菱形，则为线段的垂直平分线，故，
所以，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆，
可得，即，
所以的最大值为.
故答案为：3.
【变式4-4】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图，设点在圆上，设，而,
则，
故, 此时，
又因为，
所以的最大值是.
故答案为：.
【变式4-5】已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】设，
，
，
，
当时，取得最大值，
故答案为：
【变式4-6】已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】如图，
设圆的半径为，则，，
则，
的轨迹为椭圆，焦点为，，
，即，，．
椭圆方程为：．
由，得，故，
，要使的值最大，则最大，
为椭圆的左焦点，故
即．
故选：D．
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
【典例5-1】已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，C正确，
故选：C
【典例5-2】已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】若为椭圆左焦点且，则，故，
所以，
而，所以，仅当共线时取等号，
综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间.
故选：B
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，
根据椭圆的定义可知，所以，
则，
所以最小时，即最小，
定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段，
根据点到直线的距离公式可得，
所以.
故选：C
【变式5-2】已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【解析】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，
则，
如图：
当点P在位置M时，取到最大值，
当点P在位置N时，取到最小值，
所以的取值范围是，即，
所以的最大值，最小值，
所以.
故选：C.
【变式5-3】设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（ ）
A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11
【答案】B
【解析】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为，
由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和，
由椭圆定义可知：，
所以的最大值为，的最小值为.
故选：C
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
【典例6-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设，，延长交于，
由题意知，为的中点，故为中点，
又，即，则，
又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形，
因此，
则，
可得，，
又，则，
因此可得，
又在中，，则，
将， 代入得，
即，由所以，
所以，.
故选：A.
【典例6-2】椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，设双曲线的实轴长为，
因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，
则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，
因为，则，故.
故选：B.
【变式6-1】椭圆C：的左、右焦点分别为、，直线过且与椭圆交于A、B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
则，故，
由椭圆的定义知，，
设，则，故，
所以，解得（正值舍去），
所以，
如图，作，M为垂足，由，得为的中点，
所以，则，故.
故选：A
【变式6-2】已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
【答案】/
【解析】取椭圆的左焦点，连结，
由为等边三角形，则，
可知为直角三角形，且，
设，则，，
可得，则，
所以椭圆的离心率是.
故答案为：.
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式
【典例7-1】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知椭圆的左 右焦点分别为上一点满足，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
在中，，
则，
即，
整理得，
所以的离心率.
故选：D.
【典例7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，，
当分别位于的左、右顶点时，有最大值，
又因为不重合，所以，即，
解得，
所以的离心率的取值范围为．
故选：C．
【变式7-1】已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，不妨设直线经过椭圆的右焦点，因垂直于轴，由图形对称性知，椭圆经过点，
代入椭圆方程可得，，整理得，，
把代入整理得，，
两边同除以，即得，，解得或，
因，故得，.
故选：C.
【变式7-2】已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】由，得，则，则，
则，即，解得，
则，
因为，所以，
即，整理得，
则，解得或，
故或．
故选：B.
方向3：利用最大顶角满足
【典例8-1】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，
，
点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，
又点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即，，
，．
故选：A．
【典例8-2】设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
【答案】
【解析】设点，易知，，则，
故点的轨迹为圆，由题意可知，圆与椭圆相交，
由图可知，即，可得，又因为，故．
故答案为：．
【变式8-1】已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据椭圆的几何意义可知
椭圆的离心率最小值为
根据椭圆离心率的取值范围可知
故答案为：
【变式8-2】（2024·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
故，
所以，，解得：.
故答案为：
方向4：坐标法
【典例9-1】焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的标准方程为，
不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），
联立，则，解得：，，
所以矩形的面积为：，
当且仅当时取等，
因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，
所以，则，即，
，即，
解得：，即.
故选：C.
【典例9-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，所以圆的方程为，
令，则，由图可知，
令，则或，所以.
设点，因为的面积为，
所以，解得，
又因为直线的方程为，因为点在直线上，
所以令，得，所以，
因为点在椭圆上，所以，即，
所以，化简得，
所以，所以，因为，所以，
所以.
故选：C.
【变式9-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ；
【答案】/
【解析】
因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知，可设，
则，则，的坐标为，
所以，所以，
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
【变式9-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，点M，N在C上，且满足且，若，则C的离心率为 .
【答案】/
【解析】如图所示，设，且，，
由，得，，
所以，即①，
又，可化为，
将①式代入得，，
即，配方整理得，，
所以，即，则，
又由，，得，，
因为，所以，
所以，根据余弦定理，
，
，
所以，解得，所以.
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
我们首先来证明一个引理：若，则，
证明如下：设，则由余弦定理有
，即，
所以，
所以，从而引理得证；
根据题意可得， ，解得，
因为，所以，解得，
由，，可得三角形为等边三角形，
所以，所以，
所以，所以是的中点，
所以，所以，即，
所以.
故选：C.
【典例10-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，显然点不在x轴上，，
则，
由余弦定理得，
因此，而，
于是，整理得，则，
所以的离心率为.
故选：C
【变式10-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，因为，所以，，
由对称性可得，又，所以，
所以，，
又，所以，，又，
所以由余弦定理，
所以，的离心率.
故选：A.
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
【典例11-2】已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【答案】A
【解析】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.
因为为椭圆上一点，所以，即，
整理得，所以，解得.故选D.
【变式11-1】过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
【变式11-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选：B.
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，点为椭圆上的一点，
由椭圆的定义，可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
又，所以，可得，
因为，可得，
则，其中，
当或时，，
又，所以，可得，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：C.
【典例12-2】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
【变式12-1】设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，
则，，因为，
所以
，
所以，则，解得，
故选：A.
【变式12-2】（2024·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
方向8：利用焦半径的取值范围为
【典例13-1】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，
解得，，
由题意可得，解得，又，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：.
【典例13-2】（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】设点的横坐标为，，
则由椭圆的定义可得，
，由题意可得，
，
，，
则该椭圆的离心率的取值范围是，，
故答案为：，．
【变式13-1】已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由P为椭圆上一点，.
又，所以
又，即.
即 ，得，即
故选：D
【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆经过左焦点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，
因为以为直径的圆经过点，所以，所以四边形为矩形，
故．
设，则．
在中，，
所以，所以，
所以．令，得，
由，得．
因为函数在上单调递增，所以，
即，则，故，
所以，
所以椭圆的离心率的取值范围是,
故答案为：.
方向9：利用椭圆第三定义
【典例14-1】已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
【典例14-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，
由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，
所以且，
由题意知：，两式相减得：
，
即，
又，
由椭圆的离心率的取值范围是，
即，
所以，
即，
故选：D.
【变式14-1】（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，椭圆的左顶点为，
因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则，
所以，可得，
又因为，即，
代入可得，所以离心率为.
故选：D.
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
【典例15-1】（多选题）（2024·高三·广西南宁·开学考试）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8
C．椭圆C的离心率为 D．的面积为
【答案】ABD
【解析】由题意可知，，，
故为等边三角形，则，，
又，
所以，，，
所以焦距，A正确；
离心率，C错误；
由椭圆定义可知，的周长，B正确．
设，则，又，
由余弦定理可得，
所以，D正确，
故选：ABD．
【典例15-2】（多选题）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
【答案】AD
【解析】椭圆，则
对于A：，故A错误；
对于B：的周长为，故B正确；
对于C：的最小值为，故C错误；
对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BD．
【方法技巧】
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长，短轴长
离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁）
【变式15-1】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个
【答案】ACD
【解析】由原方程可得椭圆标准方程为，
，，故A错误；
由椭圆定义可知，故B正确；
由椭圆的性质知，故C正确；
易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确.
故选：BCD
【变式15-2】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆的左 右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ）
A．存在点，使
B．
C．的最小值为
D．周长的最大值为8
【答案】ACD
【解析】
对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误；
对于B，设，则，，且，即，又,
则，
又，故，则B正确；
对于C，，，，
则当时，取最小值为，故C正确；
对于D，设椭圆的右焦点为,
的周长为：,
当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确，
故选：BCD.
【变式15-3】（多选题）（2024·高三·安徽合肥·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A． B．的最大值为8
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】BD
【解析】由椭圆定义得，，，A错误；
，当时取等号，B错误；
，设，则，，，
，由，得，C正确；
，，D正确.
故选：CD
【变式15-4】（多选题）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为 D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知，斜椭圆关于和对称，联立直线与，可得，联立直线与，可得，所以两焦点所在直线方程为，A选项错误；
由可知，与相交的两点之间距离等于短轴为，与相交的两点之间距离等于长轴为，故焦距为，故的离心率为，选项正确；
旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在轴上，曲线方程为选项正确；
因为，关于的方程有解，所以，解得，所以选项正确，
故选：BCD．
【变式15-5】（多选题）已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．的最大值为8
C．离心率为
D．椭圆上不存在点，使得
【答案】AD
【解析】
易知当轴时，即线段为通径时，最短，，解得，椭圆方程为，
对于，椭圆的短轴长为，故A错误；
对于，因为的周长为，且，故B正确；
对于C，离心率，故C错误；
对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确，
故选:BD.
【变式15-6】（多选题）（2024·江西南昌·三模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．椭圆的离心率为
C．是椭圆的一个焦点 D．
【答案】ACD
【解析】椭圆上所有的点绕原点旋转角，
得到椭圆的方程：，
设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有
，即，则该对称点位于椭圆方程上，
同理其关于的对称点代入椭圆方程有
，即，则该对称点位于椭圆方程上，
则关于对称，
所以，故D正确；
将代入可得，
可得椭圆长轴的顶点为，所以，故A正确；
将代入可得，
可得椭圆长轴的顶点为，所以，
则，则，故B错误；
所以焦点坐标为或，所以C正确；
故选：ACD
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例16-1】动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】因为动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，
所以，即，
整理可得：，即，
故答案为：.
【典例16-2】 中，，，AC，AB边上的两条中线之和为39，则的重心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】根据题意，设的重心为，因为，边上的两条中线之和为39，所以，根据椭圆定义可知，点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，因此的重心的轨迹方程为.
故答案为：.
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
【变式16-1】已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.
【变式16-2】一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，
所以，所以圆心的轨迹为椭圆.
其中，，故，
因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.
故答案为：.
【变式16-3】已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ．
【答案】（）．
【解析】设，
因为椭圆的长轴端点为，
设直线和的交点为，
因为三点共线，所以，，
因为三点共线，所以，
两式相乘得，（）,
因为，所以，即，
所以，整理得（），
所以直线和的交点的轨迹方程（）.
故答案为：（）.
【变式16-4】已知在中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，若，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由题得
，
则，即，
又，为的内角，则，则有，故，
由题可设，，，则，
所以且，则，即.
故答案为：
【变式16-5】已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为
【答案】
【解析】设动圆P的圆心为，半径为，
由题意得，
所以，
所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，
则，即，，则，
所以动圆圆心的轨迹方程为，
故答案为：
【变式16-6】（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，因为，所以是的重心，
因为，所以，
所以, 所以点在的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点为的内心.
所以点，即，
又，所以与轴平行，又，
所以,
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当是椭圆的短轴的端点时，与已知存在非零实数，使得矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为.
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
【变式16-7】（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点P到，的距离之和为，若存在一点P满足的面积为，写出满足条件的一个动点P的轨迹方程 ．
【答案】
【解析】由题可知，动点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
椭圆方程可设为，
椭圆的焦点三角形面积，
所以题中所谓的焦点三角形面积，
即，
所以，
所以椭圆方程为，
写出一个符合题意的椭圆方程，则可以是，
故答案为：.
【变式16-8】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设圆的半径为，则，则，
所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则，所以，
所以动圆的圆心的轨迹方程为．
故答案为：.
【变式16-9】已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】.
【解析】设点，
由得点，而点P为椭圆上的任意一点，
于是得，整理得：，
所以点M的轨迹方程是.
故答案为:
题型九：椭圆的实际应用
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，
设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，
依题意，，整理得，即，
而，解得，
此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为.
故选：C
【典例17-2】开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为，
则由已知可得，
两式相加可得，两式相减可得，
则，，
所以离心率.
故选：A.
【方法技巧】
椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。
【变式17-1】（2024·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，
由室内地面是面积为的圆，故，①对；
且，则，又不全相等，故，②错；
若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；
若，则，故，④对.
故选：B.
【变式17-2】 2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【答案】A
【解析】设椭圆的方程为（），
由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为，最大值为，
根据题意可得近火点满足①，
远火点满足②，
由得，
故选：A
【变式17-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为
则
故选：B
【变式17-4】（2024·云南曲靖·模拟预测）某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径 下口直径 母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于 .
【答案】
【解析】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面，则是椭圆的长轴，是椭圆的短轴.是圆台的轴线，作于，则
，
，
记与的交点为的中点为，则，
，
，
，
由实际情形知，点在圆台的过轴线的中点且与轴线垂直的截面圆上，.由垂径定理知垂直平分，
，
记椭圆的离心率为，长半轴长 短半轴长 半焦距为，
则.
故答案为：.
【变式17-5】（多选题）（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，椭圆的离心率为
B．当椭圆的离心率最大时，
C．当椭圆的焦距为4时，
D．当时，椭圆的焦距为6
【答案】AD
【解析】过作于，如图，
由，当时，在中，，
所以椭圆中，，故A正确；
因为椭圆的短轴长为定值6，，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大，
由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B错误；
当椭圆的焦距为4时，，即，
所以，所以，故C错误；
当时，，所以，
由勾股定理可得，即，，
所以，所以焦距，故D正确.
故选：AD
【变式17-6】甲 乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲 乙两人分别站在洞内如图所示的A B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲 乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 .
【答案】
【解析】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，，
则，
因为，
故，
所以，
.
故答案为：.
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
2．（2023年高考全国甲卷数学真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.
故选：A
1．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得：
（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
【解析】设椭圆上点，
则点到直线距离
，其中，
（1）当时，，
此时，即，
所以，，
所以存在点到直线距离最小，最小值为；
（2）当时，，
此时，即，
所以，，
所以存在点到直线距离最大，最大值为；
2．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上．
【解析】由题得，，所以，
所以直线的方程为，（1）
由题得，所以，
所以直线的方程为，（2）
联立方程（1）（2）解之得
所以直线的交点为，
代入椭圆方程得，
所以直线的交点在椭圆上.
同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上．
3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线
【解析】设动圆圆心为，半径为，
设圆和圆的圆心分别为、，
将圆的方程分别配方得：圆，圆
当动圆与圆相外切时，有 …①
当动圆与圆相内切时，有…②
将①②两式相加，得，
∴动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；
∴，
∴
∴
∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
4．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解析】设点的坐标为，点，由题意可知，
则由题可得，即，
点P在圆上运动，
，
即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点.
5．如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
【解析】连接、，如下图所示：
因为线段的垂直平分线和半径相交于点，
由中垂线的性质可得，
因为点在半径为的圆内，则，
因为，
由椭圆的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆.
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑椭圆焦点位置时，易错点在于未全面分析椭圆的长短轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断椭圆的长轴、短轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据焦距可得，再由，可得，由即可求解.由题意可得，解得，
又，可得，
，
焦点在轴上，
椭圆的方程是.
故选：C
【易错题2】已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】∵椭圆的长轴为8，离心率是，
∴，，解得，，，
因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为；
当椭圆的焦点在y轴上时，其方程为．
故选：B．
答题模板：求椭圆的标准方程
1、模板解决思路
求椭圆的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在x 轴上还是在y轴上，再设出相应的标准方程，由已知条件确定的值.
2、模板解决步骤
第一步：根据条件判断椭圆的焦点位置，设出椭圆的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出椭圆的方程.
【典型例题1】中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得，
因为，由椭圆的对称性可知，
所以，解得，所以，
又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故答案为：.
【典型例题2】已知是椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且.若坐标原点到直线的距离为3，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】由可得，
由可得，则△是等边三角形，
设，则①，
∴直线的方程为，即，
∴到直线的距离为②，
又③，
联立①②③，解得，，故椭圆方程为.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
