第06讲 双曲线及其性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：双曲线的定义 4
知识点2：双曲线的方程、图形及性质 5
解题方法总结 7
题型一：双曲线的定义与标准方程 8
题型二：双曲线方程的充要条件 13
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 15
题型四：双曲线上两点距离的最值问题 20
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 23
题型六：离心率的值及取值范围 27
方向1：利用双曲线定义去转换 27
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 29
方向3：利用，其中2c为焦距长， 31
方向4：坐标法 33
方向5：找几何关系，利用余弦定理 34
方向6：找几何关系，利用正弦定理 37
方向7：利用基本不等式 39
方向8：利用渐近线的斜率求离心率 41
方向9：利用双曲线第三定义 43
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围 45
题型七：双曲线的简单几何性质问题 47
题型八：利用第一定义求解轨迹 52
题型九：双曲线的渐近线 60
题型十：共焦点的椭圆与双曲线 66
题型十一：双曲线的实际应用 73
04真题练习·命题洞见 77
05课本典例·高考素材 81
06易错分析·答题模板 84
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全 84
答题模板：求双曲线的标准方程 86
考点要求 考题统计 考情分析
（1）双曲线的定义与标准方程 （2）双曲线的几何性质 2024年天津卷第8题，5分 2024年甲卷（理）第5题，5分2023年甲卷（文）第8题，5分 2023年天津卷第9题，5分 2023年北京卷第12题，5分 2023年I卷第16题，5分 双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近线、离心率．
复习目标： （1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． （2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． （3）了解双曲线的简单应用．
知识点1：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
【诊断自测】双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
【答案】A
【解析】是双曲线左支上的一点，
所以，解得：，
由双曲线定义可知，，所以13.
故选：B.
知识点2：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
焦点坐标 ， ，
对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为
点和双曲线 的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程 为切点 为切点
切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
【诊断自测】（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以，双曲线的标准方程是．
故选：A．
解题方法总结
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
题型一：双曲线的定义与标准方程
【典例1-1】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；
必要性：以，为焦点的双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性；
因此“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的必要不充分条件．
故选：B.
【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，双曲线的焦点在轴上，
设双曲线的方程为，
因为双曲线C经过点，所以，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C
【方法技巧】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程．
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．
【变式1-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】双曲线顶点在轴上，可设其方程为，
顶点坐标为，渐近线方程为，即，
，解得：，双曲线方程为：.
故选：A.
【变式1-2】化简方程的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，则由已知得，
即动点P到两个定点A B的距离之差的绝对值等于常数，又，且，
所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线.
设双曲线方程为：，则，所以，
所以，所以双曲线方程为，
即化简方程的结果是.
故选：D.
【变式1-3】双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题，设，，因为，
所以，
因为，
所以，解得，
因为，解得，
所以，双曲线的标准方程为．
故答案为：．
【变式1-4】（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 .
【答案】
【解析】设双曲线的半焦距为，直线过双曲线的焦点，所以双曲线的右焦点为，
所以.因为的渐近线方程为，所以.
结合，解得，所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【变式1-5】若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ．
【答案】
【解析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线C的方程为，又C过点，
所以，，
整理得双曲线C的标准方程是．
故答案为：
【变式1-6】已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上，
对于点，，，所以，，即点不在双曲线上，
所以，点、、都在双曲线上，所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【变式1-7】（2024·江西南昌·一模）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为 .
【答案】
【解析】设双曲线标准方程为
令，则，得，所以，
易知，所以…①，
又…②，…③，联立①②③求解得：，
所以双曲线方程为：.
故答案为：
【变式1-8】（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为 ．
（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为 ．
（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为 ．
【答案】
【解析】（1）由，设，则，．
设所求双曲线的方程为①或②，
把代入①，得，与矛盾，舍去；
把代入②，得．
∴所求双曲线的标准方程为．
（2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①，
将点的坐标代入①式，得，
∴所求双曲线的标准方程为．
（3）设所求双曲线的方程为，
点在双曲线上，
∴，即，
∴双曲线的标准方程为．
故答案为：；；.
题型二：双曲线方程的充要条件
【典例2-1】双曲线方程为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】由方程表示双曲线，可得，
当时，可得，解得或；
当时，可得，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
【典例2-2】（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立；
当时曲线表示焦点在轴上的双曲线，
故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：．
【变式2-1】方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如果方程表示双曲线，则，解得：，
则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含．
只有选项C满足题意．
故选：．
【变式2-2】（2024·广东佛山·二模）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为方程，其中，
所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故选：C.
【变式2-3】 “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程表示双曲线，故，
故，
而为的真子集，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】（2024·高三·重庆·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
【答案】2
【解析】
解法一：如图，由可知，
设，由定义
，
的面积为.
解法二：如图，的面积为.
故答案为：2.
【典例3-2】已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 .
【答案】
【解析】由双曲线的定义知，，
两式相加得，又，，
则，
故的周长为.
故答案为：
【方法技巧】
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用．
【变式3-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 ．
【答案】/
【解析】因为双曲线的实轴长，解得，
所以双曲线方程为，则，
根据双曲线的定义可知，，
所以，
解得，，
所以的周长为,
故答案为: .
【变式3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】设，则根据题意可知，，
所以，，又易知，
在中，由勾股定理可得：，
解得，又，
所以，
所以的面积为．
故答案为：
【变式3-3】已知是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，分别是和的内切圆半径，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，得，则，
设圆与分别切于点，连接，
由圆的切线的性质可得，
由双曲线的定义可知，即，
设，则，得，所以，
因为轴，所以的横坐标也为，同理可证得的横坐标也为，
所以轴，且三点共线，
由三角形内切圆的性质可知分别为的角平分线，
所以，
所以∽，所以，
因为，所以，得，
因为双曲线的渐近线为，所以其倾斜角分别为和，
因为直线交双曲线右支于两点，所以直线的倾斜角的范围为，
设直线的倾斜角为，则，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
令，
由对勾函数的性质可知在上递减，在上递增，
因为，，，
所以，
所以，
即的取值范围是为.
故答案为：
【变式3-4】（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ．
【答案】25
【解析】设P在双曲线右支上，则，
由余弦定理得
，
所以，
又
所以，解得，结合，
则，
，
又，
故，
故.
故答案为：25
【变式3-5】（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， .
【答案】 2 18
【解析】
设的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则，
在双曲线右支上，由双曲线定义得，展开即得，
，
又，故，因，则得，
即内切圆的圆心横坐标为，
由，得，
可得，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为；
.
故答案为：2；18.
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，
设点，则，
点到的两条浙近线的距离之积为，
解得：，故双曲线方程为：，
故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为．
故答案为：．
【典例4-2】双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由焦半径公式得，，则当时，.
故选：C.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化．
【变式4-1】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，且，，
又，
又或，
所以
即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值.
故答案为：.
【变式4-2】（2024·高三·浙江台州·期中）已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为 ；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】由，根据双曲线的性质，求出半焦距，即可得出离心率；根据双曲线的性质，由线段长度的最小值为，得出，即可求出结果.因为双曲线，
若，则，所以，因此双曲线的离心率为；
因为为左焦点，所以，其中，
若对于双曲线上任意一点，为使线段的长度最小，则点必在该双曲线的左支上，设，则，，
所以
，因此，解得.
故答案为：；.
【变式4-3】已知 为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为 .
【答案】1
【解析】设内切圆与的三边 的切点分别为 ，根据圆的切线性质，可得，即可得答案.由双曲线，则 .
设内切圆与的三边 的切点分别为 ，
根据圆的切线性质，可得，
又因为，∴，即，
∴内切圆圆心在直线上.又因为圆的圆心为，半径，
∴圆心到圆上任意一点的距离的最小值为.
故答案为：1
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
【典例5-1】若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】双曲线，则，，所以，设右焦点为，
圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
且恰为双曲线的左焦点，，
又点是双曲线右支上的一点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.
故答案为：
【典例5-2】 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时=
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；此时P点坐标为 ．
【答案】 13
【解析】
圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为．
设双曲线的左、右焦点分别为，，连接，，，，
可得，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为13，
此时P点坐标为．
故答案为：
【变式5-2】 是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】过作的垂线，垂足为，如图，
因为与的夹角为，所以，
设的右焦点为，则，
到的距离，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立．
故答案为：.
【变式5-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】依题意，，即.
所以,解得，
所以，，
因为点A在双曲线C的右支上，
所以，即，
所以.
当且仅当点在线段上时等号成立.
故答案为：.
【变式5-4】已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因为双曲线的焦点为,
圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点,
，
(当且仅当三点共线时取等号)，
(当且仅当,,三点共线时取等号),
，
的最小值为.
故答案为：.
【变式5-5】 P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 .
【答案】5
【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，
两圆的半径分别为，，易知，，
故的最大值为.
故答案为：5
【变式5-6】已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由题意可得，，即，则，的坐标分别为，，
由双曲线的定义，得，
又是圆上的点，设圆的圆心为，半径为，
由图可知，，
所以，
当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【变式5-7】 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 .
【答案】/
【解析】设双曲线的左右焦点为，则，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，由圆的对称性可得，，所以，即|PM|－|PN|的最大值为.
故答案为：
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
【典例6-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线的定义可知得
因为，，
设，则，
，
，
为直角三角形
，
，即，
，
故选：D
【典例6-2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意，由，
得，即的平分线与直线PQ垂直，
设的平分线与直线PQ交于点D，如图，
则，，又，
所以，所以，．
由题得，，设，，，
在中，，，则，，
由双曲线的性质可得，解得，
则，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
故选：A
【变式6-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设，因为为等边三角形，则，，
又，
所以双曲线的离心率.
故选：A
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例7-1】已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，则有，
即，解得，
又，故.
故选：C.
【典例7-2】若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，
所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．
故选：B．
【变式7-1】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，，
又，，则，即，解得，
由，即，得，所以．
故选：A
方向3：利用，其中2c为焦距长，
【典例8-1】已知分别是双曲线的左 右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题可知，
又因为，所以，
因为直线的斜率为，所以，
设为的中点，连接，易知，
所以，则，解得，
所以双曲线的离心率为．
故选：A.
【典例8-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】如图，设交y轴与A，A为的中点，
因为O为的中点，故为的中位线，
则，而，则,
因为直线的斜率为，故中，，
故设，则，
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有，
则，
故选：C
【变式8-1】已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设双曲线的半焦距为，则，
由题意可得：，
因为，整理得.
故选：D.
方向4：坐标法
【典例9-1】已知双曲线的左焦点为为双曲线的虚轴的一个端点，直线与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为为坐标原点，由，得是的中点，
在中，为中位线，则，即轴，不妨设点在第一象限，
由，解得，，，
所以.
故答案为：
【典例9-2】（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意，，设，则，
因为为线段的中点，所以，即，则，
因为，所以，即，
又在双曲线上，所以，
结合整理得，所以，
解得或（舍去），由，解得.
故选：A
【变式9-1】（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，则，
不妨取一条渐近线为，则，
联立方程，解得，
由对称性可知：点为线段的中点，
则，
即，解得，则，
所以C的离心率为.
故选：B.
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 .
【答案】2
【解析】由以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，可得，又，
在中，由余弦定理，得，所以，
根据直线OP为渐近线可得，所以，离心率.
故答案为：2.
【典例10-2】已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
由题意，，所以，，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，且面，
所以平面，又平面，所以，
所以，
，
因为，
所以由余弦定理有，
即，
所以，即，
所以或，又离心率，
所以，
故答案为：.
【变式10-1】（2024·高三·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以，
由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率.
故选：D.
【变式10-2】已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】设，又，，
中，由余弦定理有，
即，解得，
则，，
由双曲线定义，
解得．∴双曲线的离心率．
故答案为：．
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
【解析】∵，则离心率，则排除A；
记，，，
则，
由正弦定理结合分比定理可知：，
则，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
【典例11-2】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
【变式11-1】已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到，
又因为得，
又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化简得.
故选：D.
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离率为______．
【答案】
【解析】如图，
根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
【典例12-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设点，其中，易知点、，且有，则，
，
当点在第一象限时，，，则，，且，
由基本不等式可得，
因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即，
.
故答案为：.
【变式12-1】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】设点，其中，
易知点，，且有，则，
，
当点P在第一象限时，，，
则，，且，
由基本不等式可得，
∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，
则，即，
∴.
故答案为：．
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
【典例13-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ ，2]
【答案】A
【解析】由题意得，渐近线,
将代入得坐标为,所以,
因为轴，所以,
由已知可得,
两边同时除以得,
所以，即，
解得,所以，
而双曲线的离心率，
故选：A.
【典例13-2】若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率，
所以.
故选:：D
【变式13-1】（2024·四川·一模）若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，由题知，
所以离心率，
故选：B.
【变式13-2】（2024·新疆·二模）过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，知双曲线的渐近线方程为．
设双曲线的半焦距为，则右焦点到渐近线的距离．
设点，则，即．
又，
所以，
解得．
故选：A．
方向9：利用双曲线第三定义
【典例14-1】（多选题）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的渐近线方程为，不妨设过左焦点F的直线与直线平行，交C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，过点与直线平行的直线的方程为，与联立，解得，
设，由，可得，
所以，
所以，即，
所以双曲线的离心率为，故选项A正确；
对于B：由，可得，所以，
所以渐近线方程为，故选项B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积，故选项C错误；
对于D：，
所以，
所以，故选项D正确．
故选：ABD.
【典例14-2】双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意知：，，
若为坐标原点，则，，四边形为平行四边形，
，即，；
设，则，
，
双曲线的离心率.
故答案为：.
【变式14-1】设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意可知点关于原点对称，设，则有，，
都在双曲线上，有，，两式相减得，
则，得，即，
又由，则.
故选：.
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
【典例15-1】（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接、、，则，，
由切线长定理可知，，又因为，
所以，，所以，，
则，
设点，则，且，所以，
，
所以，，故.
故选：B.
【典例15-2】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，又，
所以，所以离心率，又双曲线的离心率大于1，所以．
故选：D．
【变式15-1】已知双曲线，的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的定义可得，
因为，所以，，
因为点在双曲线的右支上，所以，即，
所以，所以离心率，
所以双曲线的离心率的最大值为，
故选：B.
【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，不妨设点在的右支上，由双曲线的定义可得，
即，
由，可得，即，
又由的最小值为（当点P为双曲线右顶点时取得最小值），可得，即．
当，即时，显然成立；
当，即时，，可得．
综上可知，双曲线的离心率的取值范围为．
故选：D.
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
【典例16-1】（多选题）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【答案】ACD
【解析】对于A，C的焦点和顶点分别为，
从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率为，故B正确；
对于C，显然异于，不妨设，
注意到都在双曲线上面，且，
所以直线与的斜率之积为，故C正确；
对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，，
而点到直线的距离是，故D正确.
故选：BCD.
【典例16-2】（多选题）（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知双曲线，则的（ ）
A．焦点在轴上 B．焦距为3
C．离心率为 D．渐近线为
【答案】AC
【解析】因为双曲线，
所以的标准方程为，
故焦点在轴上，，
故焦距为，离心率为，渐近线为，
故A，C正确，B，D错误.
故选：AC
【方法技巧】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【变式16-1】（多选题）（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为
C．点是它的一个焦点 D．
【答案】ABD
【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，
容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，
所以，其中一个焦点坐标应为而不是，
由双曲线定义可知．
故选：ABD.
【变式16-2】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
【答案】AB
【解析】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得．，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，．
设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．
故选：AB
【变式16-3】（多选题）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点
【答案】ABD
【解析】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
【变式16-4】（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解析】设，则，，，
则，得或，
当时，，此时，
当时，，此时．
故选：AB．
【变式16-5】（多选题）（2024·河北沧州·三模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
【答案】ACD
【解析】由题意，
在中，
∵关于的平分线的对称点恰好在上，
∴，，三点共线，且，
∵，∴.
设，，
根据双曲线定义可得，，
解得，，即，∴.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
∴的实轴长为2，所以A正确；
又，，∴的离心率为，所以B不正确；
的面积为，∴C正确；
∵，∴，
∵，易得的平分线的倾斜角为，
∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确.
故选：ACD.
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例17-1】（2024·高三·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设点，则的斜率为，的斜率为，
故，
所以，故D正确.
故选：D
【典例17-2】已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圆M：，得圆心，半径，
由圆N：，得圆心，半径．
设圆P的半径为r，则有，．
两式相减得，
所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，
又，所以C的方程为．
故选：B．
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
【变式17-1】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为，
设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，
由圆O与圆C外切，得，又，，
则，
因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，，
所以双曲线方程：．
故选：C
【变式17-2】已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆：，圆心，半径 ，
圆：，圆心，半径 ，
设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，
得，则，
因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，
即，半焦距，虚半轴长，
所以动圆圆心的轨迹方程是.
故选：B
【变式17-3】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如图，设直线与的交点为，则
∵共线，故①，又∵共线，故②.
由①，② 两式相乘得（*）,
因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：，
化简得：，即P的轨迹方程为.
故选：C.
【变式17-4】已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可得圆圆心，半径为；圆圆心，半径为
由图设动圆P与圆，圆外切切点分别为A，B.则共线，共线.
则，注意到，
则，又，则点P轨迹为以为焦点双曲线的右支.
设双曲线方程为：，由题可得.
故相应轨迹方程为：.
故选：A
【变式17-5】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为双曲线与直线有唯一的公共点，
所以直线与双曲线相切，
联立，消去并整理得，
所以，即，
将代入，得，
得，因为，，所以，
所以，，即，
由可知，
所以过点且与垂直的直线为，
令，得，令，得，
则，，
由，得，，
代入，得，即，
故选：D
【变式17-6】（2024·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以.
因为 ，所以直线的方程为 ①，
因为 ，所以直线的方程为 ②.
由①可得 ，代入②化简可得 ，
结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ，
所以点的轨迹方程为 ，
故答案为：
【变式17-7】已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得，
则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，
所以M的轨迹方程为.
故答案为：.
【变式17-8】已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 .
【答案】
【解析】连接，如下图所示：
因为为的中点，所以，
由垂直平分线的性质可知：，
所以，
所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线，
所以，所以，
所以轨迹方程为，
故答案为：.
【变式17-9】已知椭圆的方程为，其左 右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知，
设直线为，，
由三点共线及三点共线，
得，
两式相乘化简，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
【变式17-10】已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设直线l的方程为，直线m的方程为，
所以，
不妨设点，，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
即．
故答案为：
题型九：双曲线的渐近线
【典例18-1】（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为，连接，
由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形，
又，，则有，，
又由双曲线的定义得，解得，
再由余弦定理：，
即，得，
再由，
故渐近线方程为：，
故答案为：.
【典例18-2】（2024·云南大理·模拟预测）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ．
【答案】/0.5
【解析】抛物线，即的焦点为，双曲线的渐近线方程为，
所以点到直线的距离．
故答案为：
【方法技巧】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长．
【变式18-1】（2024·山东烟台·三模）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 .
【答案】
【解析】因为双曲线：（，）的渐近线方程为，依题意有，
即，又右焦点为，且轴，所以，
所以，
故答案为：.
【变式18-2】（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是 ．
【答案】
【解析】由任意点线段上，端点除外，在上存在关于轴对称得两点使得为等边三角形，
即存在点使得，所以存在点使得，
由双曲线的其中一条渐近线方程为，
则满足的斜率大于或等于，即，所以，
又由，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式18-3】（2024·河南·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于轴上方的两点，为原点，若直线垂直平分，则 .
【答案】
【解析】
因为垂直平分，
所以，又，
所以，
故，
因为分别为，的中点，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
【变式18-4】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）设O为坐标原点，双曲线的左焦点为F，过F的直线与的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则C的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】如图所示，由，不妨设，则，
双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，，
由得，，则，①
在中，，②
在中，，③
由①②得，，所以，④
由①③得，，所以，⑤
由④⑤得，故，
故的渐近线方程为.
故答案为：
【变式18-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 .
【答案】
【解析】由题意，得双曲线的渐近线方程为.
不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线，
则直线的方程为，联立，
解得，即.
同理，联立，解得，即，
所以.
故答案为：.
【变式18-6】（2024·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且轴，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于，两点，若四边形的面积为，则的面积为 .
【答案】
【解析】由已知得，所以，且，
所以双曲线的两条渐近线是，所以四边形是矩形，
且
所以四边形的面积，
所以，所以，
所以的面积为，
故得解.
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
【典例19-1】已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为 .
【答案】
【解析】因为椭圆与双曲线共焦点，
所以有，
因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形，
所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，，
设，由椭圆和双曲线的定义可知：，
由余弦定理可知：，
所以有，
因此的面积为，
故答案为：
【典例19-2】设椭圆双曲线共焦点，，离心率分别为，，其中．设曲线，在第一、三象限的交点分别为点，，若四边形为矩形，则 ．
【答案】
【解析】如图所示：
由椭圆和双曲线的定义得，
设，
所以，，
因为，所以，
即，得，
又因为，解得．
故答案为：
【方法技巧】
椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为：．
【变式19-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
【变式19-2】（2024·宁夏中卫·三模）已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆上一点的切线与轴、轴分别交于、两点（、为椭圆的两个焦点）．又为坐标原点，当的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 ．
①；
②当点在第一象限时坐标为；
③直线的斜率与切线的斜率之积为定值；
④的角平分线（点在上）长为．
【答案】①④
【解析】对于①，双曲线的焦点坐标为，所以，，，，①正确；
对于②，由于椭圆的对称性，设点为第一象限内的点，
设点，则，先证明椭圆在其上一点处的切线方程为.
联立，可得，即，解得.
所以，椭圆在其上一点处的切线方程为.
所以点、，由基本不等式可得，可得，
，
当且仅当时，等号成立，此时，，②错误；
对于③，，，所以，，③错误；
对于④，以为直径的圆的方程为，
，则点在圆上，则，
，由等面积法可得，解得.
故答案为：①④.
【变式19-3】（2024·陕西榆林·三模）椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，利用余弦定理得到，再根据椭圆和双曲线的定义，得到，代入求解.设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
交点到两焦点的距离分别为，焦距为，
则，
又，，故，，
所以，
化简得，
即 .
故选：B
【变式19-4】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
故焦点坐标为、，
则椭圆的离心率为，
由，，则，
过点作于点，由为中点，
故，，
由，故，
则，，
由双曲线定义可知，，
故，则离心率为，
故与的离心率之和为.
故选：B.
【变式19-5】（多选题）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，椭圆，双曲线，
由椭圆 双曲线的定义可知，，解得，故A正确；
对于B，令，
由余弦定理得，
当时，，即，因此，故B正确；
当时，，即，有，
而，则有，解得，故C错误；
，
，解得，
而，因此，故D正确.
故选：ABD.
【变式19-6】（多选题）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A．， B．
C．若，则 D．若，则的最小值为2
【答案】AC
【解析】依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
因为在椭圆中，在双曲线中，，
所以，故B选项正确；
当时，，即，
所以，即，
所以，，故C选项正确；
当时，，即，
所以，，有，
因为，
所以，，解得，D不正确；
故选：BC
题型十一：双曲线的实际应用
【典例20-1】（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，
由直线，其中，
联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，
根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为.
故答案为：.
【典例20-2】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O .
【答案】
【解析】设该双曲线的方程为.
因为渐近线相互垂直，所以.
由题意知，，
解得，
故该双曲线的一个焦点位于点O以下.
故答案为：
【方法技巧】
双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响.
【变式20-1】如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外形轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，，设该双曲线的中心在原点，实轴在轴上，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】根据题意，设双曲线的方程为，则，
因为，所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【变式20-2】如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是 ．（结果精确到）
【答案】
【解析】以双曲线的对称轴为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设双曲线方程为，
顶点为，，
将点的坐标代入双曲线方程得，，解得，
水面下降米后，即，
代入双曲线方程得，解得，
宽度为.
故答案为：.
【变式20-3】若 是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 .
【答案】
【解析】由题意，点，，即，
则线段的中点为，直线的斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率，
所以线段的垂直平分线的方程为即，
设，由可得点在线段的垂直平分线上，
又，所以点在以 为焦点的双曲线的左支上，
该双曲线的方程为，
所以，解得.
所以点的坐标为.
故答案为：.
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
2．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
5．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
1．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
【解析】联立方程可得，
因为有唯一公共点且，则，
整理得，可解得点坐标为，即，其中，
于是，过点M且与l垂直的直线为，
可得，即，
则，即，其中，
所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），
如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）.
2．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围．
【解析】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为，
所以，则，
所以，
3．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．
【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，
所以点到直线的距离，到直线的距离，
即
所以动点M的轨迹方程：.
4．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解析】设动点，设d为点M到直线l的距离，
由题意得，即，
左右同时平方，化简可得，
所以，
令，
所以，即，
所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为的双曲线.
5．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
【解析】以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则，设爆炸点为，
则，
根据双曲线的定义可得，M在双曲线上，且，
所以，
所以，
所以点M的轨迹方程为：.
6．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
【解析】连接QA，如图所示：
因为l为PA的垂直平分线，
所以，
所以为定值，
又因为点A在圆外，所以，
根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线.
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑双曲线焦点位置时，易错点在于未全面分析双曲线的实轴、虚轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断双曲线的实轴、虚轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 .
【答案】或2
【解析】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为，
若双曲线为时，渐近线为且，
所以圆心到双曲线渐近线的距离为，
由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，
所以，故.
若双曲线为时，渐近线为且，
所以圆心到双曲线渐近线的距离为，
由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，
所以，故.
综上，双曲线的离心率为或2.
故答案为：或2.
【易错题2】若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为
由，解得，此时双曲线的方程为
故选：C
答题模板：求双曲线的标准方程
1、模板解决思路
求双曲线的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在x 轴上还是在y轴上，再设出相应的标准方程，由已知条件确定的值.
2、模板解决步骤
第一步：根据条件判断双曲线的焦点位置，设出双曲线的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出双曲线的方程.
【典型例题1】已知双曲线：（，）的焦距为6，且直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】解法一 由题，双曲线的半焦距，故双曲线的左、右焦点分别为，,
当双曲线的离心率最小时，取得最大值，
设直线与双曲线的右支的一个交点为，则最大．
记点关于直线的对称点为，则，解得，
所以．因为，又，
所以，所以，则双曲线的标准方程为．
解法二 由于双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大，离心率越小，双曲线的开口越小，
要保证直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，与双曲线的右支相切,
与，联立得：，
则，解得，又，所以，，
则双曲线的标准方程为．
故答案为：.
【典型例题2】已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，焦距为8，且的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则的标准方程为 .
【答案】
【解析】设的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，
由已知得，即，又焦距为8，
所以，，，
所以的标准方程为．
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 双曲线及其性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：双曲线的定义 4
知识点2：双曲线的方程、图形及性质 4
解题方法总结 7
题型一：双曲线的定义与标准方程 7
题型二：双曲线方程的充要条件 10
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 11
题型四：双曲线上两点距离的最值问题 13
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 14
题型六：离心率的值及取值范围 16
方向1：利用双曲线定义去转换 16
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 17
方向3：利用，其中2c为焦距长， 18
方向4：坐标法 19
方向5：找几何关系，利用余弦定理 19
方向6：找几何关系，利用正弦定理 20
方向7：利用基本不等式 21
方向8：利用渐近线的斜率求离心率 22
方向9：利用双曲线第三定义 23
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围 24
题型七：双曲线的简单几何性质问题 25
题型八：利用第一定义求解轨迹 27
题型九：双曲线的渐近线 31
题型十：共焦点的椭圆与双曲线 32
题型十一：双曲线的实际应用 35
04真题练习·命题洞见 38
05课本典例·高考素材 39
06易错分析·答题模板 41
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全 41
答题模板：求双曲线的标准方程 41
考点要求 考题统计 考情分析
（1）双曲线的定义与标准方程 （2）双曲线的几何性质 2024年天津卷第8题，5分 2024年甲卷（理）第5题，5分2023年甲卷（文）第8题，5分 2023年天津卷第9题，5分 2023年北京卷第12题，5分 2023年I卷第16题，5分 双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近线、离心率．
复习目标： （1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． （2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． （3）了解双曲线的简单应用．
知识点1：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
【诊断自测】双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
知识点2：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
焦点坐标 ， ，
对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为
点和双曲线 的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程 为切点 为切点
切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
【诊断自测】（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
解题方法总结
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
题型一：双曲线的定义与标准方程
【典例1-1】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程．
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．
【变式1-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】化简方程的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ．
【变式1-4】（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 .
【变式1-5】若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ．
【变式1-6】已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ．
【变式1-7】（2024·江西南昌·一模）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为 .
【变式1-8】（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为 ．
（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为 ．
（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为 ．
题型二：双曲线方程的充要条件
【典例2-1】双曲线方程为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【典例2-2】（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：．
【变式2-1】方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·广东佛山·二模）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】 “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】（2024·高三·重庆·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
【典例3-2】已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 .
【方法技巧】
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用．
【变式3-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 ．
【变式3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ．
【变式3-3】已知是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，分别是和的内切圆半径，则的取值范围是 .
【变式3-4】（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ．
【变式3-5】（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， .
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ．
【典例4-2】双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
利用几何意义进行转化．
【变式4-1】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .
【变式4-2】（2024·高三·浙江台州·期中）已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为 ；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为 .
【变式4-3】已知 为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为 .
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
【典例5-1】若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
【典例5-2】 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；此时P点坐标为 ．
【变式5-2】 是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ．
【变式5-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ．
【变式5-4】已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【变式5-5】 P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 .
【变式5-6】已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ．
【变式5-7】 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 .
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
【典例6-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（ ）.
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式6-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例7-1】已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方向3：利用，其中2c为焦距长，
【典例8-1】已知分别是双曲线的左 右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式8-1】已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
方向4：坐标法
【典例9-1】已知双曲线的左焦点为为双曲线的虚轴的一个端点，直线与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
【典例9-2】（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式9-1】（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 .
【典例10-2】已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为 ．
【变式10-1】（2024·高三·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式10-2】已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 .
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
【典例11-2】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离率为______．
【典例12-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【变式12-1】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
【典例13-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ ，2]
【典例13-2】若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】（2024·四川·一模）若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】（2024·新疆·二模）过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向9：利用双曲线第三定义
【典例14-1】（多选题）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
【典例14-2】双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
【变式14-1】设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
【典例15-1】（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例15-2】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-1】已知双曲线，的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
【典例16-1】（多选题）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【典例16-2】（多选题）（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知双曲线，则的（ ）
A．焦点在轴上 B．焦距为3
C．离心率为 D．渐近线为
【方法技巧】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【变式16-1】（多选题）（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为
C．点是它的一个焦点 D．
【变式16-2】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
【变式16-3】（多选题）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点
【变式16-4】（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式16-5】（多选题）（2024·河北沧州·三模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例17-1】（2024·高三·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例17-2】已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
【变式17-1】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-2】已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-3】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-4】已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-5】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-6】（2024·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【变式17-7】已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【变式17-8】已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 .
【变式17-9】已知椭圆的方程为，其左 右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【变式17-10】已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ．
题型九：双曲线的渐近线
【典例18-1】（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
【典例18-2】（2024·云南大理·模拟预测）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ．
【方法技巧】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长．
【变式18-1】（2024·山东烟台·三模）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 .
【变式18-2】（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是 ．
【变式18-3】（2024·河南·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于轴上方的两点，为原点，若直线垂直平分，则 .
【变式18-4】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）设O为坐标原点，双曲线的左焦点为F，过F的直线与的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则C的渐近线方程为 .
【变式18-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 .
【变式18-6】（2024·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且轴，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于，两点，若四边形的面积为，则的面积为 .
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
【典例19-1】已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为 .
【典例19-2】设椭圆双曲线共焦点，，离心率分别为，，其中．设曲线，在第一、三象限的交点分别为点，，若四边形为矩形，则 ．
【方法技巧】
椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为：．
【变式19-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【变式19-2】（2024·宁夏中卫·三模）已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆上一点的切线与轴、轴分别交于、两点（、为椭圆的两个焦点）．又为坐标原点，当的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 ．
①；
②当点在第一象限时坐标为；
③直线的斜率与切线的斜率之积为定值；
④的角平分线（点在上）长为．
【变式19-3】（2024·陕西榆林·三模）椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式19-4】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式19-5】（多选题）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
【变式19-6】（多选题）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A．， B．
C．若，则 D．若，则的最小值为2
题型十一：双曲线的实际应用
【典例20-1】（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．
【典例20-2】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O .
【方法技巧】
双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响.
【变式20-1】如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外形轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，，设该双曲线的中心在原点，实轴在轴上，则该双曲线的渐近线方程为 .
【变式20-2】如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是 ．（结果精确到）
【变式20-3】若 是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 .
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
2．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围．
3．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．
4．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
5．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
6．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑双曲线焦点位置时，易错点在于未全面分析双曲线的实轴、虚轴与坐标轴的关系。若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断双曲线的实轴、虚轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 .
【易错题2】若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
答题模板：求双曲线的标准方程
1、模板解决思路
求双曲线的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在x 轴上还是在y轴上，再设出相应的标准方程，由已知条件确定的值.
2、模板解决步骤
第一步：根据条件判断双曲线的焦点位置，设出双曲线的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出双曲线的方程.
【典型例题1】已知双曲线：（，）的焦距为6，且直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，双曲线的标准方程为 ．
【典型例题2】已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，焦距为8，且的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则的标准方程为 .
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