第07讲 抛物线及其性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：抛物线的定义 4
知识点2：抛物线的方程、图形及性质 4
解题方法总结 5
题型一：抛物线的定义与标准方程 7
题型二：抛物线的轨迹方程 10
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 13
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 21
题型五：焦半径问题 27
题型六：抛物线的几何性质 33
题型七：抛物线焦点弦的性质 39
题型八：抛物线的实际应用 50
04真题练习·命题洞见 54
05课本典例·高考素材 57
06易错分析·答题模板 61
易错点：抛物线焦点位置考虑不周全 61
答题模板：抛物线的标准方程 61
考点要求 考题统计 考情分析
（1）抛物线的定义及其标准方程 （2）抛物线的简单几何性质 2024年北京卷第11题，5分 2024年天津卷第12题，5分 2024年II卷第10题，6分 2023年北京卷第6题，5分 2023年II卷第10题，5分 2023年乙卷（文）第13题，5分 2023年I卷第22题，12分 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用．
复习目标： （1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． （2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． （3）了解抛物线的简单应用
知识点1：抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】由题得，
故焦点到准线的距离为2，
故选：A．
知识点2：抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准 方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【诊断自测】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】直线与坐标轴的交点为以及，
所以抛物线的焦点为或，
当焦点为，此时抛物线方程为，
当焦点为时，此时抛物线的方程为，
故选：C
解题方法总结
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
题型一：抛物线的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·四川南充·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【解析】因为到抛物线焦点的距离为，
所以由抛物线定义知，，解得，
故选：A.
【典例1-2】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解析】因为，得，
即动点到定点的距离等于与到定直线的距离，
直线过点，则轨迹为过点与直线垂直的直线.
故选：A
【方法技巧】
求抛物线的标准方程的步骤为：
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
【变式1-1】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设抛物线方程为或，
依题意知，∴.
∴抛物线方程为.
故选：C.
【变式1-2】设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（ ）．
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】A
【解析】表示点P到直线l的距离，表示点P到点B的距离，
由，得动点P到直线l的距离等于到点B的距离，且点B不在直线l上，故点P的轨迹为抛物线，
故选：B
【变式1-3】已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】由题意得，当时，，解得；
当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.
故选：C.
【变式1-4】以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】直线与轴，轴的交点分别是，
所以抛物线的焦点为或，
即或，
解得：或，
因此，所求抛物线的标准方程为或．
故选：C.
【变式1-5】（2024·陕西西安·二模）设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】由题意，：的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义，可得，
设以为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，
又因为点在上，所以，解得或，
抛物线的标准方程为或.
故选：C.
题型二：抛物线的轨迹方程
【典例2-1】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，，
则，，，
因为， 则，
又因为，则，即，
可得，即．
故点的轨迹方程是．
故答案为：.
【典例2-2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为，
联立抛物线方程，得，，
设，则，
设线段中点，则，
即，故线段中点的轨迹方程为，即，
故答案为：
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
【变式2-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.
故选：C.
【变式2-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】如图，
设，，则，
依题意，四边形为矩形，
则，即，
所以，即，
则，
所以顶点的轨迹方程为，
故答案为:．
【变式2-3】（2024·陕西西安·一模）一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】定圆的圆心，半径为2，
设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，
所以，
化简得：．
∴动圆圆心轨迹方程为．
故选：D．
【变式2-4】到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离，
故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为.
故选：C.
【变式2-5】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的标准方程是，故．
设，，的中点
，即，即
故选：．
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
【典例3-1】已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为 .
【答案】
【解析】设，则，所以，
当时，；
当时，，当且仅当即时取等号，所以，
由上可知，取最小值时，，所以.
故答案为：.
【典例3-2】已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ．
【答案】3
【解析】设为抛物线上任意一点，
圆的圆心,
则，
因为，且在单调递增，
所以当时，.
故答案为：.
【方法技巧】
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
【变式3-1】已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 .
【答案】6
【解析】
抛物线准线方程为,
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
则，
当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时，
最小，且.
故答案为：6.
【变式3-2】已知实数，且函数，则函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
设，，
则点在曲线上，点在抛物线上，
的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和．
设抛物线的焦点为，
则由抛物线的定义知，
所以，
所以，
问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值，
设曲线上的点，到点的距离最小，
则与曲线在点处的切线垂直，
即，
所以，
作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知，两函数图象只有一个交点，
所以方程的解为，则．
所以，
所以函数的最小值为．
故答案为：．
【变式3-3】已知，，则的最小值是 .
【答案】
【解析】令，，，，
则点是半圆上的点，点是抛物线上的点，
而表示点P Q间距离的平方，即.
连接OQ，交半圆于点R，则，
所以，又显然，所以，
等号当且仅当Q是抛物线顶点且P是半圆顶点时成立，故S的最小值是4.
故答案为：.
【变式3-4】（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式3-5】（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ．
【答案】4
【解析】根据抛物线方程，可得，准线方程为，
作准线l，M为垂足，又知，
由抛物线的定义可得，
故当P，A，M三点共线时，取最大值，
最大值为．
故答案为：4.
【变式3-6】（2024·广东梅州·一模）已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为
【答案】
【解析】由抛物线，可得焦点坐标为，
又由圆，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
设定点，满足成立，且，
即恒成立，
其中，代入两边平方可得：
，解得：，，
所以定点满足恒成立，
可得，
如图所示，当且仅当在一条直线上时，
此时取得最小值，
即，
设，满足，
所以，
，
当时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
【变式3-7】（2024·云南昆明·模拟预测）倾斜角为锐角的直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，为线段的中点，为上一点，若的最小值为8，则这条直线的斜率为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线，
显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去并整理得，设,，,，
则，，
因此线段的中点的横坐标，
过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可得，
当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，而取得的最小值为8，
因此，解得，而直线的倾斜角为锐角，则，
所以直线的斜率为.
故答案为：
【变式3-8】（2024·陕西咸阳·二模）P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由已知得点到抛物线准线的距离为，又抛物线焦点，
则.
故答案为：.
【变式3-9】已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，设抛物线上的动点到直线和的距离分别为，，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由椭圆的离心率为，
且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为，
得，
所以，故，
因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
所以，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
则抛物线上的动点到直线的距离，
则，
点到直线的距离，
则，
当且仅当垂直于直线时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式3-10】（2024·高三·河南周口·期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点到轴的距离为2，以为直径的圆的半径为，点在上，且点到的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】设线段的中点为M，过点分别作抛物线准线l的垂线，
垂足为，则，
由于线段的中点到轴的距离为2，以为直径的圆的半径为，，
故，则，则，抛物线方程为，
结合抛物线定义可得，
联立，整理得，，
即直线与抛物线相切，
故的最小值即为F点到直线的距离，此时，
最小值为，
故答案为：3
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
【典例4-1】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】点在抛物线上，为抛物线的焦点，
，解得，
故抛物线的方程为，,，
则的面积．
故选：A．
【典例4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】A
【解析】依题意，，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，
由，得，显然，设，
，，而，同理，
四边形的面积.
当且仅当时，四边形的面积取得最小值32.
故选：B
【方法技巧】
解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
【变式4-1】已知点 M在曲线 上，过M作圆 的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】A
【解析】
如图，设点，连接，四边形MACB的面积为，
而，又点在曲线上，则有，
依题意，，故当且仅当时，，此时四边形MACB的面积取得最小值.
故选:B.
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）设为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点．若的面积是的面积的3倍，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
由双曲线的对称性，不妨设、分别在第一、四象限，设，
其中，．由题意得，直线的斜率存在且不为0，
所以设直线的方程为，易知．
联立抛物线方程与直线方程，得整理，得，
则，．由的面积是的面积的3倍，
得，则，所以，，则，
所以，解得（负值已舍去），所以．
由与抛物线的定义可知，
所以．根据的几何意义可知．
故选：B．
【变式4-3】（2024·四川泸州·三模）已知抛物线C：y =8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意得：抛物线C：y =8x的焦点为，准线为，
设准线l与x轴的交点为，
由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得，
不妨令直线，设，
联立方程，消去x得，解得或，
即，可得，
所以．
故选：C.
【变式4-4】（2024·安徽淮南·二模）抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】根据抛物线的定义可知，，又，，
故是等边三角形，又的面积是，
故可得，
故.
故选：B.
【变式4-5】（2024·广东广州·一模）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为， ，，，不妨设，则，
所以，解得：，则，解得：，则，
所以，解得：，则直线AB为，
所以当时，即，解得：，则，
联立与得：，则，
所以，其中.
故选：C
【变式4-6】（2024·高三·江苏南京·开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接、，
圆的圆心为，半径为，易知圆心为抛物线的焦点，
设点，则，则，
当且仅当时，等号成立，此时点与坐标原点重合，
由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，
则，所以，，
所以，，
此时点与坐标原点重合，且圆关于轴对称，此时点、也关于轴对称，
则轴，
在中，，，，则，
所以，，因此，直线的方程为.
故选：C.
题型五：焦半径问题
【典例5-1】已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】因为是抛物线上一点，所以，得，
则抛物线的方程为．
设，不妨设，设直线的方程为，
联立得，
所以，故，
则，
当且仅当且，即时，等号成立．
故的最小值为9.
故选：D．
【典例5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
如图，，直线的方程为：代入中，消去，可整理得，，
显然设，由韦达定理可得：（*）
因，由，
将（*）代入可得，，解得.
故选：D.
【方法技巧】
（1）．
（2）．
（3）．
【变式5-1】（2024·高三·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，则，
由，得，则，
由，得，得，
联立解得，，所以.
故选：C
【变式5-2】已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，
分别设四点横坐标为，
由得焦点，准线，
由定义得，，又，
所以，同理：
由消去y整理得，
设，则，即.
故选：A
【变式5-3】（2024·高三·河北·开学考试）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则 ．
【答案】/
【解析】设，，抛物线的焦点为，准线为，
因为，，根据抛物线的定义可得，，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，所以，
所以，即，解得．
故答案为：．
【变式5-4】（2024·河南·二模）抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ， .
【答案】
【解析】抛物线的焦点为,，准线方程为，
设，则，，
当位于第一象限时，,．
是等边三角形，，
设,，
则，
，
化简得，解得，
当时，，
当时，，
此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去，
当位于第四象限时，,．
是等边三角形，，
设,，
则，
，
化简得，解得，
当时，，
此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去，
，
当时，，，
综上可得，直线的斜率为，或
故答案为：；．
【变式5-5】已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 .
【答案】6
【解析】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，
所以．
故答案为：6.
【变式5-6】已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 .
【答案】
【解析】第一空，如图，设，，，，
故，，，
而，故，
可得，，即有，
由，所以，
所以，所以.
第二空，，故，
而，故，即，
又，
故，
即，，故得的最小值为.
故答案为：；.
题型六：抛物线的几何性质
【典例6-1】（多选题）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【答案】AD
【解析】对选项A，，开口向左，故A正确；
对选项B，，焦点为，故B错误；
对选项C，，准线方程为，故C错误；
对选项D，，对称轴为轴，故D正确.
故选：AD
【典例6-2】（多选题）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AC
【解析】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，
则焦准距，故其方程为，故A正确；
抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；
由知 ，故C正确；
当点在曲线上时，由于抛物线开口向上，
当点位于原点时，到直线l的距离最小为1，
故点P到直线l的距离 ，所以D错误，
故选：.
【方法技巧】
在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算．
【变式6-1】（多选题）（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
【答案】AC
【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，
所以抛物线的方程为，
则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；
抛物线关于轴对称，故B错误；
抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.
故选：AC
【变式6-2】（多选题）已知为抛物线上的三个点，且，当点与原点О重合时，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．抛物线方程为
B．直线AB的倾斜角必为锐角
C．若线段AC的中点纵坐标为，AC的斜率为
D．当AB的斜率为2时，B点的纵坐标为
【答案】ABD
【解析】对于A中，当点与原点重合时，直线的斜率为，
设，则，可得，
将代入抛物线方程，可得，解得，
所以抛物线方程为，所以A正确；
对于C中，因为，
若的中点纵坐标为，则，所以C错误；
对于B中，设直线的斜率为，则，，
则，，
因为，可得，所以B正确；
对于D中，由可得，，
即（*），
由，可得（*）式等价于，即，
化简得，当时，，所以D正确.
故选：ABD．
【变式6-3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ）
A．若为直角三角形，则圆的面积为
B．
C．直线PM与抛物线C相切
D．直线PN与抛物线C有两个交点
【答案】ABC
【解析】记抛物线C的焦点为，坐标原点为O，
则圆的圆心为F，半径．
对于选项A：由抛物线与圆的对称性可知，点M，N关于x轴对称，
若为直角三角形，则，
则直线MN过焦点F且与x轴垂直，则，圆的面积为，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C，D：设，由抛物线定义可知，，
又因为，则，所以直线PM的方程为，
与抛物线C：联立可得，，则，
故，所以直线PM与抛物线C相切，
由抛物线与圆的对称性可知直线PN也与抛物线C相切，故C正确，D错误．
故选：ABC．
【变式6-4】（多选题）（2024·吉林通化·模拟预测）已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（ ）
A．当点在轴上时，
B．当点在轴上时，点A的坐标为
C．当点A与点关于轴对称时，
D．若，则点A与点关于轴对称
【答案】ABC
【解析】因为，所以为等边三角形，
对于A，当点在轴上时，又三点顺时针排列，所以大致图像如图，
此时所在直线方程为，与联立，消去得，
解得或，所以，故A正确；
对于B，当点在轴上时，又三点顺时针排列，
所以此时A点在轴下方，且所在直线方程为，
与联立，消去得，解得或，
当时，，即A点坐标为，故B正确；
对于C，当点A与点关于轴对称时，又三点顺时针排列，
所以此时A点在轴上方，且所在直线方程为，
与联立，消去得，解得或，所以，故C正确；
对于D，当时，得A点横坐标为，此时A点可能在轴上方，也可能在轴下方.
因为三点顺时针排列，
所以当A点在轴上方时，可得点A与点关于轴对称；
当A点在轴下方时，可得此时点在轴上，点A与点不关于轴对称；故D错误；
故选：ABC.
【变式6-5】（多选题）（2024·广东佛山·二模）如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A． B．四边形的面积为100
C． D．的取值范围为
【答案】ACD
【解析】设直线与直线分别交于，由题可知，
所以，，故A正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
连接，因为，所以，
所以，
故，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，
所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，当，
即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
题型七：抛物线焦点弦的性质
【典例7-1】（多选题）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）
A．点的纵坐标的取值范围是
B．等于点到抛物线的准线的距离
C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2
D．周长的取值范围是
【答案】ACD
【解析】如下图所示：
∵圆的圆心为，半径，
因此圆与轴正半轴的交点为，
∵抛物线的焦点为，准线方程为，
由，得，故点的纵坐标，故A错误；
由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；
易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；
的周长为，故D正确.
故选：BCD
【典例7-2】（多选题）已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．Q是线段的一个三等分点 D．
【答案】ABD
【解析】如图，由抛物线的定义，
对于A，得，，又，则，A正确；
对于B，由，，得，所以.
而，所以，所以，
可知，所以，B正确；
对于D，在中，，可知，所以，D正确；
对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确.
故选：ABD.
【方法技巧】
抛物线焦点弦性质总结：抛物线任意一条焦点弦两端点与抛物线顶点连线斜率之积为-1；焦点弦被焦点平分且被其垂直平分；过焦点弦两端点作准线垂线，垂足间距离等于焦点弦长。
【变式7-1】（多选题）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误；
设，联立直线与抛物线方程，
消去可得，则，
所以，故C正确；
又，
则
，故D错误；
故选：AC.
【变式7-2】（多选题）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．线段的中点到x轴的距离为2
【答案】AC
【解析】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点，
联立方程组，整理得到，显然，
设，可得，
对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确；
对于B中，由 ，
所以与不垂直，所以B错误；
对于C中，由，可得，
由抛物线定义，可得，
则，所以C正确；
对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误.
故选：AC.
【变式7-3】（多选题）（2024·黑龙江大庆·一模）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
【答案】ABD
【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，
设，
则，可得，
因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
【变式7-4】（多选题）（2024·高三·安徽蚌埠·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为．过点，分别向的准线作垂线，垂足分别为点，，过点向的准线作垂线，交抛物线于点，交准线于点，为坐标原点，则（ ）
A．以为直径的圆与直线相切 B．
C．当时，点，，共线 D．
【答案】ABC
【解析】如图：
设直线：，带入，并整理得：.
设，，则，，.
所以，，，， .
则，
.
所以，，所以以为直径的圆与直线相切，故A正确；
又，，所以，故B正确；
，，因为，所以直线与直线不平行，所以不成立，故D错误；
对D：如图：
当时，因为，所以为等边三角形，又，所以或，
当时，，则，，，
所以，，
因为,所以点，，共线；
当时，同理可证点，，共线.
故C正确.
故选：ABC
【变式7-5】（多选题）（多选）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若轴上存在点，使得，则的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】AD
【解析】
由题意，，则以为直径的圆过点，，
设点，由抛物线定义知，可得，
因为圆心是的中点，
所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，
由已知可得圆的半径也为，
据此可知该圆与轴相切于点，
故圆心纵坐标为2，则点纵坐标为4，即点，
代入抛物线方程得，解得或.
故选：AD.
【变式7-6】（多选题）已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则
C．若三点共线，则
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】对A，把点代入抛物线，得，
所以抛物线的准线方程为，故A正确；
对B，因为，，，，
所以，，，
又由，得，
所以，故B正确；
对C，因为三点共线，所以线段是焦点弦，
设直线：，
联立得，
所以，故C不正确；
对D，设的中点为，
因为，，
所以，得，
即的中点到轴距离的最小值为，故D正确.
故选：ABD
【变式7-7】（多选题）（多选）已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线与相交于两点，与相交于两点，直线为抛物线的准线，则（ ）
A．有可能为锐角 B．以为直径的圆与相切
C．的最小值为32 D．和面积之和的最小值为32
【答案】ACD
【解析】，故焦点坐标为，准线方程为．
设，，
则．
联立消去得，
有，
则，
故恒为钝角，故A错误．
设线段的中点为，由题可得点的坐标为，
，
故，，
则以为直径的圆是以为圆心，为半径，
圆心到的距离为，与半径相等，故以为直径的圆与相切，故B正确．
由B中分析得，
同理可得，
即，当且仅当时，等号成立，故C正确．
由，得，
同理可得，
即
当且仅当时等号成立，
当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，即可同时取等，故D正确．故选:BCD．
【变式7-8】（多选题）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ）
A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零，
设直线为，，
由，得，
因为，
所以，
所以，
所以，
对于A，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，所以A错误，
对于B，因为线段的中点为，，则
到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为，
所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确，
对于C，因为
，所以C正确，
对于D，因为
，所以D错误，
故选：BC
【变式7-9】（多选题）（2024·河北衡水·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点.设的中点为，直线的斜率分别为，则（ ）
A．点在上
B．过点且与相切的直线与直线平行
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
由题意知直线的方程为，
联立，得，
设，，
则，则，
即，由轴，得，
则的中点为，满足方程，故点在上，故A正确；
由，得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以，故B正确；
由抛物线的定义，得，
，
所以，故C错误；
由，同理可得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
题型八：抛物线的实际应用
【典例8-1】省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米
【答案】
【解析】建利坐标系如图，设抛物线方程为且，
则根据题意可知图中坐标为，
所以，可得，
所以抛物线方程为，
令，代入方程，解得，
可得到水面两点坐标分别为
所以水面的宽度为米．
故答案为：
【典例8-2】在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
【答案】60
【解析】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴，
和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为，由题意可知，
代入可得，
即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米，
故答案为：60
【方法技巧】
抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要的实用价值。
【变式8-1】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 米．（结果用，表示）
【答案】
【解析】如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，
结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：．
.
【变式8-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 ，杯深 ，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为 .
【答案】/
【解析】由题可知，设抛物线方程为，
因为，所以，
解得，所以抛物线方程为，
在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，
设玻璃球截面所在圆的方程为，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，
即，则有恒成立，可得，
解得，所以玻璃球的半径的取值范围为.
故答案为：.
【变式8-3】上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为 .（精确到0.01）
【答案】4.59
【解析】以为原点，方向分别为轴正向，建立如下图所示的直角坐标系：
由题意，，所以，，
又抛物线开口向下，所以设，将点的坐标代入，
解得，所以抛物线方程为，
又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知有14个空格，
因此每一个空格的长度为，所以，所以设点，
又因为点在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得.
故答案为：4.59
【变式8-4】有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
【答案】3.8
【解析】由题意，如图建系：
则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，
.
故答案为：3.8.
1．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
4．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
1．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．
【解析】不妨假设点M在第一象限， 设M(a,b)(b> 0),
抛物线在第一象限内的解析式为(x>0),从而有
记抛物线在点M处的切线为直线l，过点M且垂直于切线l的直线记为m，则直线l的斜率是，直线m的斜率是，
所以直线m的方程为，
设点F关于直线m的对称点为N(s,t),线段FN的中点为Q，则点Q在直线m上,
且直线FN⊥m，由题意可知,则，
从而有①
因为FN⊥m，所以直线FN的斜率②，由②可得③,
将③代入①可得，
化简得④，
因为点M(a, b)在上，所以,将代入④可解得t = b，所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FN//x轴,
即符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
2．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．
【解析】设，
则，
整理，得，．
动点的轨迹方程是，．
故答案为：，．
3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长.
【解析】设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点、，
则，，
又，∴，即，
∴，又∵，，，
∴，由此可得，即线段关于轴对称，
∵轴垂直于，且，
∴，
∵，
∴，
∴.
4．从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
【解析】设抛物线上的点M(x0，y0)，过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点P(x，y)，
于是有，而，即，从而得，
当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，
所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.
5．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水位下降1米后，则水面宽多少米？
【解析】如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为
由题意可得,将点A代入抛物线，得 ，
所以方程为：,
设点，则，解得，
所以水面宽为米．
6．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．
【解析】由得，设，
则有，，，即，
所以.
7．图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，求．
【解析】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：
则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，，
由抛物线定义知，，而，
则，解得，
所以=4.
易错点：抛物线焦点位置考虑不周全
易错分析： 在处理抛物线问题时，焦点位置的考虑至关重要。若焦点位置分析不周全，易导致解题方向偏差，如误判抛物线的开口方向、顶点坐标及准线位置等。因此，需准确判断焦点位置，结合抛物线性质全面分析，避免陷入易错陷阱。
答题模板：抛物线的标准方程
1、模板解决思路
解决抛物线标准方程问题，首先判断其开口方向和顶点坐标。根据开口方向设定标准方程形式，然后利用已知条件如顶点、焦点或准线求解参数p，最后代入得到抛物线的标准方程。
2、模板解决步骤
第一步：确定开口方向与顶点，选对应方程形式；
第二步：利用已知条件（焦点、顶点、准线）求p；
第三步：代入求得的p值，写出最终的标准方程。
【易错题1】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【解析】当时，抛物线开口向上，准线方程，
点到准线的距离为，解得，
所以抛物线方程为；
当时，抛物线开口向下，准线方程，
点到准线的距离为，解得或（舍去），
所以抛物线方程为．
所以抛物线的方程为或．
故选：C
【易错题2】顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】设出抛物线方程为或，代入点的坐标求出参数值可得．设抛物线方程为，则，，方程为，
或设方程为，则，，方程为．
所以抛物线方程为或．
故选：D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第07讲 抛物线及其性质
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：抛物线的定义 4
知识点2：抛物线的方程、图形及性质 4
解题方法总结 5
题型一：抛物线的定义与标准方程 7
题型二：抛物线的轨迹方程 8
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 9
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 10
题型五：焦半径问题 11
题型六：抛物线的几何性质 12
题型七：抛物线焦点弦的性质 14
题型八：抛物线的实际应用 16
04真题练习·命题洞见 18
05课本典例·高考素材 19
06易错分析·答题模板 21
易错点：抛物线焦点位置考虑不周全 21
答题模板：抛物线的标准方程 21
考点要求 考题统计 考情分析
（1）抛物线的定义及其标准方程 （2）抛物线的简单几何性质 2024年北京卷第11题，5分 2024年天津卷第12题，5分 2024年II卷第10题，6分 2023年北京卷第6题，5分 2023年II卷第10题，5分 2023年乙卷（文）第13题，5分 2023年I卷第22题，12分 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用．
复习目标： （1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． （2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． （3）了解抛物线的简单应用
知识点1：抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
知识点2：抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准 方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【诊断自测】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
解题方法总结
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
题型一：抛物线的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·四川南充·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【典例1-2】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【方法技巧】
求抛物线的标准方程的步骤为：
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
【变式1-1】顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（ ）．
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【变式1-3】已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式1-4】以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式1-5】（2024·陕西西安·二模）设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
题型二：抛物线的轨迹方程
【典例2-1】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
【典例2-2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
【变式2-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
【变式2-3】（2024·陕西西安·一模）一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-5】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
【典例3-1】已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为 .
【典例3-2】已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ．
【方法技巧】
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
【变式3-1】已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 .
【变式3-2】已知实数，且函数，则函数的最小值为 ．
【变式3-3】已知，，则的最小值是 .
【变式3-4】（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
【变式3-5】（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ．
【变式3-6】（2024·广东梅州·一模）已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为
【变式3-7】（2024·云南昆明·模拟预测）倾斜角为锐角的直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，为线段的中点，为上一点，若的最小值为8，则这条直线的斜率为 .
【变式3-8】（2024·陕西咸阳·二模）P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为 ．
【变式3-9】已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，设抛物线上的动点到直线和的距离分别为，，则的最小值为 ．
【变式3-10】（2024·高三·河南周口·期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点到轴的距离为2，以为直径的圆的半径为，点在上，且点到的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 .
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
【典例4-1】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【典例4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【方法技巧】
解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
【变式4-1】已知点 M在曲线 上，过M作圆 的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）设为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点．若的面积是的面积的3倍，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式4-3】（2024·四川泸州·三模）已知抛物线C：y =8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【变式4-4】（2024·安徽淮南·二模）抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【变式4-5】（2024·广东广州·一模）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【变式4-6】（2024·高三·江苏南京·开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型五：焦半径问题
【典例5-1】已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【典例5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【方法技巧】
（1）．
（2）．
（3）．
【变式5-1】（2024·高三·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【变式5-2】已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2024·高三·河北·开学考试）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则 ．
【变式5-4】（2024·河南·二模）抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ， .
【变式5-5】已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 .
【变式5-6】已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 .
题型六：抛物线的几何性质
【典例6-1】（多选题）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【典例6-2】（多选题）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【方法技巧】
在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算．
【变式6-1】（多选题）（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
【变式6-2】（多选题）已知为抛物线上的三个点，且，当点与原点О重合时，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．抛物线方程为
B．直线AB的倾斜角必为锐角
C．若线段AC的中点纵坐标为，AC的斜率为
D．当AB的斜率为2时，B点的纵坐标为
【变式6-3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ）
A．若为直角三角形，则圆的面积为
B．
C．直线PM与抛物线C相切
D．直线PN与抛物线C有两个交点
【变式6-4】（多选题）（2024·吉林通化·模拟预测）已知点A是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（ ）
A．当点在轴上时，
B．当点在轴上时，点A的坐标为
C．当点A与点关于轴对称时，
D．若，则点A与点关于轴对称
【变式6-5】（多选题）（2024·广东佛山·二模）如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A． B．四边形的面积为100
C． D．的取值范围为
题型七：抛物线焦点弦的性质
【典例7-1】（多选题）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）
A．点的纵坐标的取值范围是
B．等于点到抛物线的准线的距离
C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2
D．周长的取值范围是
【典例7-2】（多选题）已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．Q是线段的一个三等分点 D．
【方法技巧】
抛物线焦点弦性质总结：抛物线任意一条焦点弦两端点与抛物线顶点连线斜率之积为-1；焦点弦被焦点平分且被其垂直平分；过焦点弦两端点作准线垂线，垂足间距离等于焦点弦长。
【变式7-1】（多选题）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（多选题）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．线段的中点到x轴的距离为2
【变式7-3】（多选题）（2024·黑龙江大庆·一模）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
【变式7-4】（多选题）（2024·高三·安徽蚌埠·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为．过点，分别向的准线作垂线，垂足分别为点，，过点向的准线作垂线，交抛物线于点，交准线于点，为坐标原点，则（ ）
A．以为直径的圆与直线相切 B．
C．当时，点，，共线 D．
【变式7-5】（多选题）（多选）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若轴上存在点，使得，则的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式7-6】（多选题）已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则
C．若三点共线，则
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
【变式7-7】（多选题）（多选）已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线与相交于两点，与相交于两点，直线为抛物线的准线，则（ ）
A．有可能为锐角 B．以为直径的圆与相切
C．的最小值为32 D．和面积之和的最小值为32
【变式7-8】（多选题）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ）
A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切
C． D．
【变式7-9】（多选题）（2024·河北衡水·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点.设的中点为，直线的斜率分别为，则（ ）
A．点在上
B．过点且与相切的直线与直线平行
C．
D．
题型八：抛物线的实际应用
【典例8-1】省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米
【典例8-2】在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
【方法技巧】
抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要的实用价值。
【变式8-1】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 米．（结果用，表示）
【变式8-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 ，杯深 ，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为 .
【变式8-3】上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为 .（精确到0.01）
【变式8-4】有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
1．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
1．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．
2．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．
3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长.
4．从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
5．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水位下降1米后，则水面宽多少米？
6．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．
7．图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，求．
易错点：抛物线焦点位置考虑不周全
易错分析： 在处理抛物线问题时，焦点位置的考虑至关重要。若焦点位置分析不周全，易导致解题方向偏差，如误判抛物线的开口方向、顶点坐标及准线位置等。因此，需准确判断焦点位置，结合抛物线性质全面分析，避免陷入易错陷阱。
答题模板：抛物线的标准方程
1、模板解决思路
解决抛物线标准方程问题，首先判断其开口方向和顶点坐标。根据开口方向设定标准方程形式，然后利用已知条件如顶点、焦点或准线求解参数p，最后代入得到抛物线的标准方程。
2、模板解决步骤
第一步：确定开口方向与顶点，选对应方程形式；
第二步：利用已知条件（焦点、顶点、准线）求p；
第三步：代入求得的p值，写出最终的标准方程。
【易错题1】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【易错题2】顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
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