重难点突破04 轻松搞定圆锥曲线离心率二十大模型
目录
01 方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 3
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 3
题型二：圆锥曲线第一定义 5
题型三：圆锥曲线第二定义 10
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积） 12
题型五：利用数形结合求解 15
题型六：利用正弦定理 17
题型七：利用余弦定理 23
题型八：内切圆问题 28
题型九：椭圆与双曲线共焦点 31
题型十：利用最大顶角 39
题型十一：基本不等式 43
题型十二：已知范围 45
题型十三： 47
题型十四：中点弦问题 50
题型十五：已知焦点三角形两底角 53
题型十六：利用渐近线的斜率 55
题型十七：坐标法 58
题型十八：利用焦半径的取值范围 62
题型十九：四心问题 64
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题 69
03 过关测试 76
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例1-1】（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为 .
【答案】
【解析】因为，则，
所以为直角三角形，又，
得，.
故答案为：
【典例1-2】（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由以为直径的圆过椭圆的右焦点，得，即，
而，则，又，
由，得，
则，即，因此，
整理得，解得，所以椭圆的离心率为.
故选：C
【变式1-1】（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意，，设，则，
因为为线段的中点，所以，即，则，
因为，所以，即，
又在双曲线上，所以，
结合整理得，所以，
解得或（舍去），由，解得.
故选：A
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，所以圆的方程为，
令，则，由图可知，
令，则或，所以.
设点，因为的面积为，
所以，解得，
又因为直线的方程为，因为点在直线上，
所以令，得，所以，
因为点在椭圆上，所以，即，
所以，化简得，
所以，所以，因为，所以，
所以.
故选：C.
题型二：圆锥曲线第一定义
【典例2-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，显然点不在x轴上，，
则，
由余弦定理得，
因此，而，
于是，整理得，则，
所以的离心率为.
故选：C
【典例2-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【答案】/0.5
【解析】由题意知，
所以，即，
又，即，
所以，
故答案为：
【变式2-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设，因为为等边三角形，则，，
又，
所以双曲线的离心率.
故选：A
【变式2-2】（2024·高三·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以，
由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率.
故选：D.
【变式2-3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设，，延长交于A，
由题意知，O为的中点，故为中点，
又，即，则，
又由，则是等腰直角三角形，
故有，化简得，即，
代入得，
即，由所以，
所以，.
故选：C.
【变式2-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设双曲线右焦点为，连接，
由题意可知关于原点对称，所以，
所以是直角，由，可设，则，即
由双曲线的定义可知：，，
则，，
由是直角得：，
则，解得：，
又由是直角得：，
则，解得：，所以离心率
故选：B.
【变式2-5】（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若的内角平分线与轴的交点平分线段，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【解析】
的内角平分线与轴的交点平分线段，
根据角平分线的性质可得，
根据双曲线的定义，
又，
，
双曲线的离心率为，
故答案为：
题型三：圆锥曲线第二定义
【典例3-1】古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】因为，
所以，
表示点到定点的距离与到定直线的距离比为，
所以.
故选：B
【典例3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】，
，即①，
又②．
由①②解得：，，
又在焦点三角形中：，
即：，即，
解得：，
又，
，
故选：D．
【变式3-1】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
【典例4-1】（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】设点，，，则且，
两式相减，得，所以，
因为，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
因为焦点到渐近线的距离为，
所以，可得，又因为，所以，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
【典例4-2】（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，易知，
则，，
又，
所以.
故选：C
【变式4-1】（2024·江苏·三模）已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则 ；若，则的离心率为 .
【答案】
【解析】设，则，
设，则，则，
故，结合，可得
故答案为：，
【变式4-2】（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意得，
设，可得，
即，
又直线与直线斜率之积为2，
得，
则离心率.
故选：.
【变式4-3】（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线经过原点，设，，.
.
又，，两式相减，得.
，.离心率为.
故选：B.
题型五：利用数形结合求解
【典例5-1】（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨设，则，由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故双曲线的离心率为.
故选：B.
【典例5-2】（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由可得，即，可得，
因此以为直径作圆与必有四个不同的交点，
因此中以的三角形有四个，
除此之外以为直角，为直角的各有两个，
所以存在使为直角三角形的点共有8个.
故选：D
【变式5-1】过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，
因为切圆于，则，有，
因为，则有，，
而为的中点，于是，即，，
在中，，整理得，
所以双曲线E的离心率.
故选：C
【变式5-2】已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，以为直径的圆与椭圆相交，所以，
所以，
故选：D.
题型六：利用正弦定理
【典例6-1】（2024·江西赣州·二模）已知，为双曲线的左、右焦点，M为C左支上一点.设，，且，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【解析】
因为，
且，可知，
两边同时乘以可得，
即，
设，
因为M为C左支上一点，由双曲线定义可得，
在中，由正弦定理可得，
即，
又
，
所以离心率，
故选：D.
【典例6-2】（2024·山西晋中·三模）已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设O为坐标原点，由，得，又两渐近线关于轴对称，所以
直线斜率为，则，
令，则，
中，由正弦定理得，
即，解得，故，
所以的离心率
故选：B
【变式6-1】（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设在第二象限，则在等腰中，，如下图所示：
设，则为锐角．
外接圆周长为，
则其半径为，由正弦定理可得，
因此，
设点坐标为，则，
即点坐标为，
由点在双曲线上，得，
整理得，
所以离心率，
故选：C．
【变式6-2】（2024·云南·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【解析】如图，伞的伞沿与地面接触点是椭圆长轴的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为为伞的圆心，为伞柄底端，即椭圆的左焦点，
令椭圆的长半轴长为，半焦距为，由，
得，
在中，，
则，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故答案为：.
【变式6-3】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选：B.
【变式6-4】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
【变式6-5】（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
【变式6-6】（2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，，设，，在中，由正弦定理有：，
离心率，则：解得：，
由于，得，
显然成立，
由有，即，得，
所以椭圆离心率取值范围为．
故答案为：.
题型七：利用余弦定理
【典例7-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设为坐标原点，则，从而.
设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得.
在中，由余弦定理，得，解得.
由，得，解得，
所以.
故选：B.
【典例7-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，过的直线与的左支交于两点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由于，
且，
设，则，故，
可得，故，
在与中由余弦定理可得：
，解得，故，
又根据题意可知，故离心率
故选：B.
【变式7-1】（2024·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由椭圆的性质可得，设，在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，
即，
整理可得，即，故.
又，故，，
故，即，，
故，故离心率.
故答案为：
【变式7-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，因为，所以，，
由对称性可得，又，所以，
所以，，
又，所以，，又，
所以由余弦定理，
所以，的离心率.
故选：A.
【变式7-3】（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，可得，
又由，
在中，由余弦定理，所以，
所以，所以，离心率.
故选：B.
【变式7-4】（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为是线段的中点，且，所以，
又，所以是等边三角形，
设的边长为，由双曲线的定义知，，，
所以，
又，所以，即，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以
即，所以离心率.
故选：C
题型八：内切圆问题
【典例8-1】（2024·高三·广东广州·期中）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 .
【答案】2
【解析】直线分别与内切圆的切点为，如图所示：
由切线的性质可得，
由双曲线的定义可得，即，
所以，即，
又，因此.
设，则，
又，因此.于是，即，
所以由，可得，即.
故答案为：2.
【典例8-2】（2024·安徽六安·模拟预测）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，，由对称性不妨设点在第一象限，此时点也在第一象限，
因为，所以，，
所以，又，
解得：，，
所以，
所以,解得：，所以，
代入双曲线方程得，解得：，，
所以离心率.
故答案为：
【变式8-1】（2024·黑龙江·模拟预测）设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 .
【答案】 6
【解析】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，
则，由双曲线的定义可得，
所以，，由勾股定理得，
即有，∴.
设内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，
则，则,
解之得
又由内切圆圆心的横坐标为2，得，
故.
故答案为：，6
【变式8-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】/
【解析】如图，的内切圆与三边分别切于点，
若，则，
因为，则，可得，
则，可得，
因为，
即，可得，
又因为，
即，可得，
且，解得，
所以椭圆的离心率是．
故答案为：.
【变式8-3】在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】，∴，∴，
∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，
∴．∴，∴，
，，
,∴，于是，
∴为正三角形，．
中，由余弦定理，.
∴.
故答案为：.
题型九：椭圆与双曲线共焦点
【典例9-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】设椭圆与双曲线的焦距，，
由题意可得：，，
，，，
，
，，.
，
，设，则，
，
.
故答案为：.
【典例9-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】D
【解析】设，由余弦定理得，即；
在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此，
在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此，
则．
所以，
当且仅当时等号成立
故选：A
【变式9-1】（多选题）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A．面积为
B．若，则
C．若，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
【答案】DBD
【解析】设，，，，不妨设M在第一象限．
∴，，∴，，．
.
对于A，在中，由余弦定理可得，
，
，A正确．
对于B，在中，由余弦定理可得，
即，
∴．
∴
∴，∴．B正确；
对于C，当时，
即，所以，所以．∵，
∴．设，∴，
所以．C错误；
对于D，，记，
∴，即．D正确；
故选：ABD.
【变式9-2】（多选题）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
【答案】DD
【解析】A.由题意可知，，，
得，故A正确；
B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，
根据余弦定理，，
整理为，
而，故B错误；
C. 若，则，则，
则，
，
当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；
D.在椭圆中，，
，
整理为，
在双曲线中，，
整理为，
所以，即，
而，则，故D正确.
故选：AD
【变式9-3】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
【答案】DBD
【解析】A选项，因为，
所以，
又，
故，
则⊥，
由椭圆定义可得，
由双曲线定义可得，
解得，
由勾股定理得，即，
化简得，
即，
又，所以，A正确；
B选项，若，由余弦定理得，
即，
由（1）得，
代入上式得，即，
即，
因为又，所以，
由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
则的最小值为，B正确；
C选项，过作直线的垂线，垂足为H，延长交于点，
因为平分，由三线合一得，为的中点，
则，
连接，由中位线性质得，
故点H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；
D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
下面证明：上一点的切线方程为，
理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，
，
由
化简得，
因为，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因为，，
所以，
联立，两式相乘得，，
从而，
故，
即，
令，则，即，
解得，即，
故椭圆：在点处的切线斜率为，
双曲线在点处的切线斜率为，
又，故，
化简得，
又，所以，故
则斜率乘积为，
故两曲线在点处的切线互相垂直，D正确.
故选：ABD
题型十：利用最大顶角
【典例10-1】已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
【典例10-2】设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，
由椭圆的对称性得,所以，
所以，
所以椭圆的离心率，
因为椭圆的离心率.
当椭圆的焦点在轴上时，同理可得.
综合得.
故选：B
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，
则由，得，
又，∴．
故选：C．
【变式10-2】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，
，
点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，
又点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即，，
，．
故选：A．
题型十一：基本不等式
【典例11-1】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
【典例11-2】设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，
则，，因为，
所以
，
所以，则，解得，
故选：A.
【变式11-1】（2024·山西运城·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
题型十二：已知范围
【典例12-1】（2024·四川省南充市白塔中学高三开学考试）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知点、、、，则线段的方程为，
在线段上取一点，满足，则，
，，
所以，，
整理可得，
由题意可知，关于的方程在时有两个不等的实根，
则，可得，可得，
所以，.
故选：D.
【典例12-2】已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.
故选：B.
【变式12-1】（2024·全国·高三开学考试）设，分别是椭圆的左 右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，由椭圆的方程可得，，，
则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
所以可得，所以，
由，所以，整理可得：，，
可得：.
故选：B
题型十三：
【典例13-1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
设点，可得，
则，解得，
由椭圆的几何性质可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
【典例13-2】已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则根据椭圆的焦半径公式可得 ，
所以根据题意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因为P在椭圆上，
所以 ，即，
因为 ，所以，
即 ，解得 ，
而椭圆离心率范围为 ，故 .
故选：A
【变式13-1】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
【变式13-2】已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 .
【答案】 3
【解析】由题意知M在双曲线右支上，，
设，设点，则，
即，
则，
即，
又，
所以，所以，所以.
点在双曲线C右支上，所以，所以.
由对称性可得为的中点，
在中，，
即，
又在中，，
所以，
由于，故，
故，
所以双曲线的离心率的最小值为.
故答案为：.
题型十四：中点弦问题
【典例14-1】（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
【答案】/
【解析】，
设，
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为，
所以，
则，
由直线l与C相交于A，B两点，
得，
两式相减得，
即，
所以，
即，所以，
则，
所以，
所以离心率.
故答案为：.
【典例14-2】已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设，由题意可知直线的方程为，
线段的中点是直线与直线的交点，
联立，解得，所以，
另一方面，联立，得.
易知，由韦达定理得，解得，
所以，故离心率，故D正确.
故选：D.
【变式14-1】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B
【变式14-2】（2024·全国·高三开学考试）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
题型十五：已知焦点三角形两底角
【典例15-1】已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，且满足，所以，，所以、，所以，所以；
故选：B
【典例15-2】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
【解析】∵，则离心率，则排除A；
记，，，
则，
由正弦定理结合分比定理可知：，
则，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
【变式15-1】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
题型十六：利用渐近线的斜率
【典例16-1】（2024·山东淄博·二模）若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（a＞0，b＞0）渐近线方程为，则.
离心率.
故选：B.
【典例16-2】（2024·新疆·二模）过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，知双曲线的渐近线方程为．
设双曲线的半焦距为，则右焦点到渐近线的距离．
设点，则，即．
又，
所以，
解得．
故选：A．
【变式16-1】（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点，则，即，
又两条渐近线方程为，即，
故有，
所以．
故选：B．
【变式16-2】（2024·福建泉州·模拟预测）设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、．若，则E的离心率等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】设双曲线的方程为，且，
则E的两条渐近线方程分别为，．
设直线的倾斜角为，则，
易得≌，所以，且，
从而，
所以，故，即，
整理，得，
故E的离心率等于．
故选：C
【变式16-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）设为双曲线的左、右焦点，直线过左焦点且垂直于一条渐近线，直线与双曲线的渐近线分别交于点，点在第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于渐近线的方程分别为，且，
直线，所以，
由于，
所以,
所以是的中点，结合可得,
又，所以，
故，所以，
即，故，
故选：B
题型十七：坐标法
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形．若直线的倾斜角，则的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
如图所示，由双曲线的对称性可知也在双线的渐近线上，且在第二象限，
由轴可知轴，设．
又在渐近线上，
所以，则，
因为，所以，
故，
故答案为：.
【典例17-2】（2024·吉林延边·二模）已知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为，，
不妨设点在第二象限，则，
由D为的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分，
则，有，且，
解得，，所以，
将即，代入双曲线的方程，
得，化简可得，即；
当点M在第三象限时，同理可得．
故答案为：.
【变式17-1】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以 为直径的圆的方程为，
联立，解得，
所以，
又，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或（舍去）.
所以.
故椭圆的离心率为.
故选：D.
【变式17-2】（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：
设、，，双曲线其中一条渐近线为，
直线的方程为，①
由，得，即直线的斜率为，直线方程为，②
由点在双曲线上，得，③
联立①③，得，联立①②，得，
则，即，因此，
所以离心率．
故选：C
【变式17-3】（2024·山西临汾·二模）已知点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段MF与圆相切于点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设为椭圆的左焦点，且其焦距为，连接，
设圆的圆心为，半径，
作图如下：
由，，，
则，，所以，
因为，所以，
因为与圆，所以，即，
易知，则，可得，则，
在中，，则，
由，则，所以.
故选：B.
题型十八：利用焦半径的取值范围
【典例18-1】已知双曲线的左 右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故答案为：
【典例18-2】（2024·吉林长春·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义可知，，，结合 可得，从而，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
【变式18-1】设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件得，所以，即，
又因为，所以，
即，得，
又，所以．
故选：C
【变式18-2】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，
解得，，
由题意可得，解得，又，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：.
【变式18-3】已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】设：与x轴的交点为P，Q，不妨设，，，
根据阿波罗尼斯圆的定义，得到，又，则，
设与轴正方向形成的角为，则，，代入得 ，
在中，，
由余弦定理得，解得，即.
故答案为：.
题型十九：四心问题
【典例19-1】（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 .
【答案】2
【解析】不妨取的中点.
因为的重心为，且在中线上，
所以.
由中点弦结论知，，
，
，
因为，
所以，
，
又由，可得的外心为的中点，
于是由中点弦结论知，又，
所以，即.
由得，，
解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：2.
【典例19-2】（2024·福建龙岩·一模）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】取的中点，依题意，点是中点，点分别在上，
设，由两式相减得，
直线斜率，直线斜率，则，
直线的斜率分别为，同理，又，
因此，解得，
所以椭圆的离心率.
故答案为：
【变式19-1】已知点，分别为双曲线的左，右焦点，点，在的右支上，且点恰好为的外心，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图，
连接，∵点恰好为的外心，∴，
由，得，同理，
又，∴，∴△是等边三角形，
∴，∴，解得．
故答案为：
【变式19-2】双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ．
【答案】
【解析】
设，，.
由于，故的外心就是线段的中点，即.
而三角形重心的坐标就是三个顶点的平均值，故，.
所以.
而都在上，，故，.
这就得到.
而的斜率为，故，所以.
由又可以得到，，.
从而，，.
故，所以.
这就得到，所以离心率.
故答案为：.
【变式19-3】已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，设的垂心为，则有,
不妨设,则，
因为在渐近线上，所以，
直线与交于，两点，
所以，解得，
所以
又因为,
所以，
整理得，，所以，
故答案为: .
【变式19-4】（2024·河南新乡·三模）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
【答案】
【解析】设的垂心为，则，
不妨设，则，代入渐近线方程，解得，
则，因为直线与双曲线交于点，，
则，两点的坐标分别为：，，
因为，
化简可得，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：．
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题
【典例20-1】“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，由于，所以，在等边三角形中，
点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知，
，连接，延长与交于点，
由于为中点，所以在中，，
由勾股定理可得，
在中，，，，由余弦定理可得
，
在中，由于，所以，
于是有，
设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于，
由于，所以，
由于为圆锥母线，所以，
从而有，
在中，由勾股定理可得，
所以在椭圆中，，，
则，
则离心率为.
故答案为：.
【典例20-2】（2024·江西南昌·一模）用平面截圆锥面，可以截出椭圆 双曲线 抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为 .
【答案】/
【解析】如图，是圆锥与球的切点，是球心，P是截口上任一点，
连接，则，所以，，
所以是矩形，
连接，则，
因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为，即，
所以，
根据对称性得 ,
所以，故两圆的公切线长为6
连接，PA，OP，设OP与球的切线交于K，与球的切线交于H，则，
所以 ，得，
在中，，
所以，得
曲线的离心率为
故答案为：
【变式20-1】（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面 截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【解析】令两个球分别与截面相切于点，在截口曲线上任取一点，过点作圆锥的母线，
分别与两个球相切于，均为球的切线，则，同理，
因此，由切点的产生方式知，长为定值，
于是截口曲线上任意点到定点的距离和为定值，该曲线是以点为焦点的椭圆，
作出几何体的轴截面，如图，设，依题意，，
则，椭圆的长轴长，半焦距为c，
则，因此，所以离心率.
故答案为：
【变式20-2】（2024·广东广州·一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .
【答案】
【解析】设，
由，解得，
所以，
所以，
设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，
则，
两式相加得，即，
过作，垂直为，
则四边形为矩形，所以，，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
【变式20-3】如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/0.75
【解析】依题意，作截面，如图所示，
圆是内切圆，圆切于，切于，，圆半径即球半径为，
所以，，
则在中，，所以，
故在中，，
所以，即，
根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点可知：为椭圆的一个焦点，
又因为，所以，故，
所以该椭圆的离心率为.
故答案为：.
.
1．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，则，
不妨取一条渐近线为，则，
联立方程，解得，
由对称性可知：点为线段的中点，
则，
即，解得，则，
所以C的离心率为.
故选：B.
2．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为，
所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以，
因为，所以OD垂直平分弦，因为，，
所以，所以，
由椭圆定义可得，，
所以，解得，，
所以离心率为，
故选：A．
3．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】
因为的垂直平分线经过点，
则，
记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为
由椭圆定义得，所以，
由双曲线定义知：，所以，
故，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：B.
4．（2024·江西新余·二模）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，令，则，故，
过点作轴于点，则，
由，轴，故与相似，
故，及，
即.
又，所以，所以，
即，则．
其中双曲线上一点的切线方程，证明如下：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由，得，所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：，
又有，化简即可得切线方程为：．
故选：B.
5．（2024·四川自贡·三模）设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，上焦点，下焦点，
由，解得，不妨取，
则直线的方程为，即，
又点到的距离为，则，
即，又，所以，即，
所以离心率.
故选：B
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【解析】由双曲线的几何性质知道，，，
∵，
∴，∴离心率.
故选：D.
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上，
故，结合对称性可知四边形为矩形，有，
有，又，
由，则，，
由椭圆定义可得，
故，
则.
故选：C.
8．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左右焦点分别为，
点，且，设，
则有，解得，
由，所以，又，所以，
又椭圆在处的切线方程为，
所以，所以，所以，
所以，所以，解得,
所以椭圆的离心率为.
故选：B.
9．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据双曲线定义知：的周长为，而，
所以，而的周长为，
所以，即，所以，解得，
双曲线离心率的取值范围是.
故选：D
10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知分别为双曲线的左 右焦点，为坐标原点.以为圆心作与双曲线的两条渐近线都相切的圆，切点分别为，记四边形的面积为，过右焦点作直线垂直于轴，交双曲线于两点，记的面积为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，知双曲线的左焦点（为半焦距）到渐近线的距离为，
所以四边形的面积.
将代入双曲线的方程，得，
即，所以.
由，知，即，所以.
又，所以，两边同时除以，并整理，得，
解得，所以（负值舍去）.
故选：D.
11．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，直线与C分别交于两点（A在x轴上方），与y轴交于点为坐标原点．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，直线l过点F，如图所示，
所以，而，
所以．
由
．
解得．
设C的右焦点为，
在中，由余弦定理可得
，
解得．
由椭圆的定义知，
则C的离心率．
故选：D．
12．（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接、、，则，，
由切线长定理可知，，又因为，
所以，，所以，，
则，
设点，则，且，所以，
，
所以，，故.
故选：B.
13．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上的一点，满足，以点为圆心、为半径的圆与线段相交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以是直角三角形，
过点O作于点C，又，
在中，由勾股定理得
易得,，所以是的中位线，所以
由双曲线第一定义可知：，所以，
在中，由勾股定理得，，即，又因为双曲线中，所以，
所以.
故选：D.
14．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设且，则，
因为，所以，得，
设直线的方程为，，
由，得，
由，得，
所以，
所以，①
，
因为，是线段的中点，
所以，即，化简得，
由①，得，所以，
所以，
所以离心率，
故选：B
15．（2024·陕西铜川·三模）已知为椭圆的左 右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线 线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知及平面几何知识可得圆心在的角平分线上.
如图，设圆与轴的切点分别为，由平面几何知识可得，
直线为两圆的公切线，公切点也在的角平分线上，
则，所以，
由椭圆的定义知，则，
，
，
.
又圆与圆的面积之比为圆与圆的半径之比为3，
所以，即，故椭圆的离心率.
故选：A
16．（2024·高三·江苏南京·期中）已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则，则，故，
因为线段的中点为
所以，
故，
又，则，即，
因为，即，
故椭圆的离心率，
故椭圆离心率范围为.
故选：D.
17．已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的定义，可知，
所以当最小时，最大，
由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时，
由解得，此时的离心率.
故选：A.
18．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，结合双曲线的对称性可知，
存在以点为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点，
所以当双曲线上的点到点P的距离最小时，点Q不可为双曲线的右顶点，
设点，则，
又因为由，可得，
所以，
要使最小，，则，解得，
所以，
又因为双曲线中，所以.
故选：A
19．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交．
显然满足的直线有1条为x轴，为左右顶点，长度为实轴长，.
当直线过，刚好垂直x轴时，令，可求得.此时直线只有1条.
加上前面的1条，总共2条，不满足题意.
如图，
运用双曲线对称性知道时，刚好有2条，总共3条，满足题意.
即.则.又由于，
则双曲线的离心率的取值范围为.
故答案为：.
20．（2024·江苏南通·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设,因,故，
又，
由余弦定理，，
即，
设椭圆中心为，作圆锥的轴截面，与底面直径交于，与椭圆交于，，
连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系，
过点作，
则，
，
则，
，
则，
又由得：，
,
从而，
则得，
不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，
解得，
则，
故.
故答案为：.
21．如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【解析】令，则，又，，的长度成等比数列，
所以，即，
由题意，显然，在直角△中，则，
所以△为等腰直角三角形，故圆锥轴截面为等腰直角三角形且，
所以，即椭圆长轴长，则，
轴截面如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过作交于，交于，则，
为中点，所以为中点，即为椭圆中心，
过作交于，
综上，有△△均为等腰直角三角形，故，则，
同理△△，故，则，
所以，即，
综上，椭圆离心率为.
故答案为：
22．（2024·四川德阳·一模）已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么 （点为坐标原点）．
【答案】
【解析】设椭圆的长半周长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为，
并设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理得，
即
在中，由余弦定理得，
即
又由,
两式相加，则，
又由，所以，
所以，即.
23．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破04 轻松搞定圆锥曲线离心率二十大模型
目录
01 方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 3
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 3
题型二：圆锥曲线第一定义 4
题型三：圆锥曲线第二定义 5
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积） 5
题型五：利用数形结合求解 6
题型六：利用正弦定理 7
题型七：利用余弦定理 9
题型八：内切圆问题 10
题型九：椭圆与双曲线共焦点 10
题型十：利用最大顶角 12
题型十一：基本不等式 13
题型十二：已知范围 13
题型十三： 14
题型十四：中点弦问题 14
题型十五：已知焦点三角形两底角 15
题型十六：利用渐近线的斜率 16
题型十七：坐标法 17
题型十八：利用焦半径的取值范围 17
题型十九：四心问题 18
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题 19
03 过关测试 22
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例1-1】（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为 .
【典例1-2】（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型二：圆锥曲线第一定义
【典例2-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【变式2-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2-2】（2024·高三·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式2-3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若的内角平分线与轴的交点平分线段，则双曲线的离心率为 ．
题型三：圆锥曲线第二定义
【典例3-1】古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．5
【典例3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式3-1】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
【典例4-1】（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为 ．
【典例4-2】（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·江苏·三模）已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则 ；若，则的离心率为 .
【变式4-2】（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式4-3】（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用数形结合求解
【典例5-1】（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式5-1】过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用正弦定理
【典例6-1】（2024·江西赣州·二模）已知，为双曲线的左、右焦点，M为C左支上一点.设，，且，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【典例6-2】（2024·山西晋中·三模）已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·云南·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为 .
【变式6-3】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-5】（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【变式6-6】（2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为 ．
题型七：利用余弦定理
【典例7-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，过的直线与的左支交于两点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 ．
【变式7-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·山东·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式7-4】（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
题型八：内切圆问题
【典例8-1】（2024·高三·广东广州·期中）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 .
【典例8-2】（2024·安徽六安·模拟预测）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为 ．
【变式8-1】（2024·黑龙江·模拟预测）设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 .
【变式8-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ．
【变式8-3】在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为 ．
题型九：椭圆与双曲线共焦点
【典例9-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 .
【典例9-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【变式9-1】（多选题）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A．面积为
B．若，则
C．若，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
【变式9-2】（多选题）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
【变式9-3】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
题型十：利用最大顶角
【典例10-1】已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例10-2】设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十一：基本不等式
【典例11-1】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2024·山西运城·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
题型十二：已知范围
【典例12-1】（2024·四川省南充市白塔中学高三开学考试）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2024·全国·高三开学考试）设，分别是椭圆的左 右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型十三：
【典例13-1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例13-2】已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 .
题型十四：中点弦问题
【典例14-1】（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
【典例14-2】已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（2024·全国·高三开学考试）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
题型十五：已知焦点三角形两底角
【典例15-1】已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例15-2】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
【变式15-1】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十六：利用渐近线的斜率
【典例16-1】（2024·山东淄博·二模）若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【典例16-2】（2024·新疆·二模）过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-2】（2024·福建泉州·模拟预测）设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、．若，则E的离心率等于（ ）
A． B． C． D．3
【变式16-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）设为双曲线的左、右焦点，直线过左焦点且垂直于一条渐近线，直线与双曲线的渐近线分别交于点，点在第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：坐标法
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形．若直线的倾斜角，则的离心率的取值范围是 ．
【典例17-2】（2024·吉林延边·二模）已知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 ．
【变式17-1】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式17-2】（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式17-3】（2024·山西临汾·二模）已知点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段MF与圆相切于点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型十八：利用焦半径的取值范围
【典例18-1】已知双曲线的左 右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【典例18-2】（2024·吉林长春·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【变式18-1】设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式18-2】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【变式18-3】已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是 .
题型十九：四心问题
【典例19-1】（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 .
【典例19-2】（2024·福建龙岩·一模）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 .
【变式19-1】已知点，分别为双曲线的左，右焦点，点，在的右支上，且点恰好为的外心，若，则双曲线的离心率为 ．
【变式19-2】双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ．
【变式19-3】已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
【变式19-4】（2024·河南新乡·三模）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题
【典例20-1】“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ．
【典例20-2】（2024·江西南昌·一模）用平面截圆锥面，可以截出椭圆 双曲线 抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为 .
【变式20-1】（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面 截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ．
【变式20-2】（2024·广东广州·一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .
【变式20-3】如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为 ．
1．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
2．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
4．（2024·江西新余·二模）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川自贡·三模）设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知分别为双曲线的左 右焦点，为坐标原点.以为圆心作与双曲线的两条渐近线都相切的圆，切点分别为，记四边形的面积为，过右焦点作直线垂直于轴，交双曲线于两点，记的面积为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，直线与C分别交于两点（A在x轴上方），与y轴交于点为坐标原点．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上的一点，满足，以点为圆心、为半径的圆与线段相交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
14．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
15．（2024·陕西铜川·三模）已知为椭圆的左 右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线 线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·高三·江苏南京·期中）已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．
17．已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
18．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 .
20．（2024·江苏南通·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．
21．如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为 ．
22．（2024·四川德阳·一模）已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么 （点为坐标原点）．
23．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
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