重难点突破05 求曲线的轨迹方程
目录
01 方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 3
题型一：直接法 3
题型二：定义法 4
题型三：相关点法 5
题型四：交轨法 6
题型五：参数法 8
题型六：点差法 9
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 10
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹 11
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹 12
题型十：利用韦达定理求轨迹方程 13
题型十一：四心的轨迹方程 14
03 过关测试 16
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·高三·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）
A．
B．（除去两点）
C．（除去两点）
D．（除去两点）
【变式1-1】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】在平面直角坐标系中，若定点与动点满足向量在向量上的投影为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：定义法
【典例2-1】已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
【典例2-2】已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程
【变式2-1】已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】 已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 .
【变式2-3】已知定点，圆，过R点的直线交圆于M，N两点过R点作直线交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
【变式2-4】设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
【变式2-5】（2024·山东青岛·一模）已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】（2024·江苏南通·模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：相关点法
【典例3-1】设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是 ．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·高三·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型四：交轨法
【典例4-1】已知A，B分别为椭圆的左 右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
【典例4-2】已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【变式4-1】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
【变式4-3】已知椭圆经过点，且离心率为.直线与交于两点，连结.
(1)求面积的最大值；
(2)设直线分别与轴交于点，线段的中点为，求直线与直线的交点的轨迹方程.
【变式4-4】抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
【变式4-5】已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程.
【变式4-6】（2024·高三·湖北·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知为上任意一点，求的最小值；
(2)已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
【变式4-7】（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线的左 右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线和交点的轨迹方程.
题型五：参数法
【典例5-1】方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
【典例5-2】已知是坐标原点，点满足，且，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ．
【变式5-2】已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ．
【变式5-3】已知在中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，若，则点P的轨迹方程为 ．
题型六：点差法
【典例6-1】已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．
【典例6-2】已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【变式6-1】我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点.
(1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)当时，求的取值范围；
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，求斜率为0的平行弦中点的轨迹方程.
【变式6-2】已知：椭圆，求：
（1）以为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
【典例7-1】已知点是正四面体内的动点，是棱的中点，且点到棱和棱的距离相等，则点的轨迹被平面所截得的图形为（ ）
A．线段 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【典例7-2】（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹是（ ）的一部分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式7-1】已知直线平面，直线平面，且．若P是平面上一动点，且点P到直线m、n的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式7-2】在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【变式7-3】已知线段AB与平面所成的角为，点B为斜足，在平面上的动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一部分
【变式7-4】已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
【典例8-1】已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】设非零复数是复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（ ）
A．双曲线 B．圆 C．一条直线 D．抛物线
【变式8-2】（2024·陕西咸阳·三模）设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为 .
【变式8-4】设复数z满足，则复数z所对应的点Z在复平面上的轨迹方程为 ．
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
【典例9-1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【典例9-2】O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【变式9-1】在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【变式9-2】（2024·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【变式9-3】已知，，且满足，则点的轨迹方程为 ．
【变式9-4】（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为 ；的最小值为 .
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，M是椭圆C上一点，且面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM，MF，其中直线MF不过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM，MF与椭圆C交于异于点M的E，F两点，直线与直线相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程．
【典例10-2】过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.
【变式10-1】已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【变式10-2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
【变式10-3】已知抛物线，焦点为F
(1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标.
(2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程．
【变式10-4】已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.
【变式10-5】过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
题型十一：四心的轨迹方程
【典例11-1】设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ；
【典例11-2】点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为 .
【变式11-1】已知椭圆C：（，）过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
【变式11-3】求解下列问题：
(1)如图，动圆：，与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点，分别为的左、右顶点．求直线与直线的交点M的轨迹方程．
(2)已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求的重心G的轨迹方程．
【变式11-4】已知的顶点A是定点，边在定直线上滑动，， 边上的高为3，求的外心的轨迹方程．
【变式11-5】（2024·河北石家庄·一模）已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程.
1．已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·江西景德镇·三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知圆，圆，已知为两圆外的动点，过点分别作两圆的割线和，总有，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
13．设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是正方体面内的动点，且点到棱和面的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
15．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
16．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为正方形对角线的交点，动点在圆柱下底面内（包括圆周）．若直线与直线所成的角为，则点形成的轨迹为（ ）
A．椭圆的一部分 B．抛物线的一部分 C．双曲线的一部分 D．圆的一部分
17．在四棱柱中，已知侧棱底面， 为底面上的动点．当的面积为定值时，点在底面上的运动轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
18．已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
19．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
20．设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为 ．
21．设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
22．（2024·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
23．已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破05 求曲线的轨迹方程
目录
01 方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 3
题型一：直接法 3
题型二：定义法 5
题型三：相关点法 10
题型四：交轨法 12
题型五：参数法 23
题型六：点差法 25
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 29
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹 32
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹 34
题型十：利用韦达定理求轨迹方程 37
题型十一：四心的轨迹方程 43
03 过关测试 51
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·高三·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则直线的斜率为，直线的斜率为，
依据题意可知，，化简得：，
因为直线、的斜率存在，所以，
所以，
故选：A.
【典例1-2】已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）
A．
B．（除去两点）
C．（除去两点）
D．（除去两点）
【答案】A
【解析】设点，
由，得，
即，
又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．
故选：B．
【变式1-1】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，设点，且点在的下方，
故点到直线的距离和到点的距离相等，
所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，
所以的轨迹方程为，
故选：D.
【变式1-2】在平面直角坐标系中，若定点与动点满足向量在向量上的投影为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，向量在向量上的投影为，
整理可得.
因此，点的轨迹方程为.
故选：C.
【变式1-3】（2024·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得，平方化简可得，
进而得，
故选:A
题型二：定义法
【典例2-1】已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,
当动圆与圆，圆外切时,,,
所以,
因为圆心,，即，又
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，
所以,则动圆圆心的轨迹方程是；
故答案为：
【典例2-2】已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程
【答案】双曲线的左支
【解析】结合图象可得，|MQ|﹣|MP|=4，可得a=2，c=4，则b=，
M的轨迹为双曲线的左支．
故答案为双曲线的左支．
【变式2-1】已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
【变式2-2】 已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，如图，
∴，
∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
∴，，，
∴其轨迹方程为．
故答案为：．
【变式2-3】已知定点，圆，过R点的直线交圆于M，N两点过R点作直线交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
【解析】因为，即，所以，半径为，
如图，根据题意可知，
又，所以，故，
又，所以，
故动点的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，这里，故，
所以点的轨迹方程为：.
【变式2-4】设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.
故答案为：
【变式2-5】（2024·山东青岛·一模）已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，
而，可知点在的平分线上.
圆，圆心为原点，半径，
连接，延长交于点，连接，
因为且，所以，且为中点，，
因此，，
点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，
可知，由，得，故，
双曲线方程为.
故选：A.
【变式2-6】（2024·江苏南通·模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为，
则，，切点为
因为，所以是的中点，,
所以是梯形的中位线，所以，
又因为圆的方程为，，
所以，所以，
即，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，
所以，，
所以动点的轨迹方程为.
故选：B
题型三：相关点法
【典例3-1】设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设点，则，设，，则，
，，
，，，
又，，，
，即.
故答案为：.
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点、、，
由，
所以，，可得，
因为正方形的面积为，即，即，
整理可得，因此，动点的轨迹方程为.
故选：C.
【变式3-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分别为椭圆的左、右焦点，
设，G点是三角形的重心
则，得，
又是椭圆E上一动点，，即，
又G点是三角形的重心，
所以点G的轨迹方程为
故选：B
【变式3-2】已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于点是椭圆上的动点，设，则，
又于点，则；
设，由，得，
则，代入，得，
即点的轨迹方程为，
故选：A
【变式3-3】（2024·高三·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设、，，
则有，，即，，
由题意可得，即，即.
故选：D.
题型四：交轨法
【典例4-1】已知A，B分别为椭圆的左 右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】因为A，B分别为椭圆的左 右顶点，所以A(-2，0)，B(2，0)，
设MA与NB的交点为P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，
由，，得，，
两式相乘得∶，化解得.
故答案为：.
【典例4-2】已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【解析】（1）
根据题意可得，解得，
∴求椭圆C的方程为
（2）根据题意可得直线AE：，BF：，
由可得，
所以，故，故，
同理，，故，
因为三点共线，故共线，
而，
故，整理得到：或，
若，则由可得，这与题设矛盾，故.
联立方程，解得，
∴P点的轨迹方程为
【变式4-1】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如图，设直线与的交点为，则
∵共线，故①，又∵共线，故②.
由①，② 两式相乘得（*）,
因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：，
化简得：，即P的轨迹方程为.
故选：C.
【变式4-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
【解析】（1）由题意可得，，，
则，
，
又是，的等差中项，
，
整理得点的轨迹方程为．
（2）
由（1）知，
又，平移公式为即，
代入曲线的方程得到曲线的方程为：，
即．
曲线的方程为．
如图由题意可设M，N所在的直线方程为，
由消去得，
令，，则，
，，
又为锐角，，即，
，又，
，得或．
（3）当时，由（2）可得，对求导可得，
抛物线在点，
，处的切线的斜率分别为，
，
在点M，N处的切线方程分别为，，
由，解得交点的坐标．
满足即，点在定直线上．
【变式4-3】已知椭圆经过点，且离心率为.直线与交于两点，连结.
(1)求面积的最大值；
(2)设直线分别与轴交于点，线段的中点为，求直线与直线的交点的轨迹方程.
【解析】（1）由题知，，解得，
所以的方程为，
由，消并整理得，
由，解得，
设，则（※），
又直线过点，
所以的面积，
将（※）代入，得，
设，则，
又，当且仅当，即，时取等号，所以，
故面积的最大值为（当且仅当即时取得）.
（2）直线的方程为，令，得到，
所以，同理可得
故点的横坐标.
由（1）知（※），
将（※）代入，得，故，
法1：又，所以直线的斜率，因为，所以，
设，则直线与的交点在以为直径的圆上.
以为直径的圆的方程是，即.
又点在椭圆内，所以，由，
消得，解得，
所以点的轨迹方程是.
法2：又，所以直线的方程为.
与联立，解得交点的坐标为.
因为，所以，即，
又由，两式相乘，得.
所以点的轨迹方程是.
【变式4-4】抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
【解析】（1）因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上，直线与轴的交点为，
所以，所以，解得，所以抛物线的方程为：．
（2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
设，联立直线与抛物线方程：，可得：，
且，解得：且，
因为，即，则有，
整理可得：，即，
所以，又点在直线上，
所以，消得，
由且得且，
所以的轨迹方程为：（且）．
【变式4-5】已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程.
【解析】依题意，，
设点，由，得，即，
由，得，即，
当时，直线，直线，
联立消去参数得，即，
当时，得交点，满足上述方程，
所以直线与直线交点的轨迹方程:不含点.
【变式4-6】（2024·高三·湖北·期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知为上任意一点，求的最小值；
(2)已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
【解析】（1）设双曲线的方程为，其上焦点坐标为，
一条渐近线方程为，则，解得，
所以的方程为.
设，则，要使最小，由题意知.
则
，
①当，即时，在内单调递增，
可知当时，；
②当，即时，在内单调递减，在内单调递增，
可知当时，；
综上所述：.
（2）（i）联立得，，
由题意知，
则，解得，
且，即，
所以直线的方程为，
令得，；令得，，即，
因为，即，
可得，
所以点的轨迹方程是，方程表示去除上下顶点的双曲线.
（ii）联立得，，
由题意知，
则，解得，
且，即，
所以直线的方程为，
令得，；令得，，即，
因为，即，
可得，即，
点的轨迹方程是.
【变式4-7】（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线的左 右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线和交点的轨迹方程.
【解析】（1）
故当直线过与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行
设直线，即，则点到直线的距离为
即双曲线的标准方程为：.
（2）（i）由题可知，直线斜率不为0
设直线
由得：
成立
.
所以存在实数，使得成立.
（ii）直线，直线
联立得：
所以直线和交点的轨迹方程为：
题型五：参数法
【典例5-1】方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
【答案】
【解析】圆化为，它表示以为圆心，为半径的圆，
设圆心坐标为，于是得(t为参数)，消去t得：，
所以所求圆心轨迹方程是.
故答案为：
【典例5-2】已知是坐标原点，点满足，且，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，由题意可知，
，
所以，消去参数，得点的轨迹方程为．
故选：D．
【变式5-1】已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】因为，，
所以中点坐标为，
即，
设点为线段的中点轨迹上任一点的坐标，
，，
，
即当时，线段的中点轨迹方程为，
故答案为：
【变式5-2】已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设
则，
由题意可得，
消参可得：
所以点的轨迹方程为．
故答案为：
【变式5-3】已知在中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，若，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由题得
，
则，即，
又，为的内角，则，则有，故，
由题可设，，，则，
所以且，则，即.
故答案为：
题型六：点差法
【典例6-1】已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设这组平行直线的方程为，
联立方程组，整理得，
由可得，
则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为，
即这些点均在轨迹上，
即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是.
故答案为：．
【典例6-2】已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
【变式6-1】我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点.
(1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)当时，求的取值范围；
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，求斜率为0的平行弦中点的轨迹方程.
【解析】（1）因为是边长为1的等边三角形，
所以，，，
所以，，
故“果圆”的方程为，
（2），
又，，，
因此，
所以；
（3）当，时，
当，时，
的中点，
即斜率为0的平行弦中点的轨迹方程为：.
【变式6-2】已知：椭圆，求：
（1）以为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
【解析】（1）设弦的端点，，
可得：， ，
相减可得：，
把，， 代入可得： ．
∴以为中点的弦所在直线的方程为：，化为： ．
（2）设直线方程为：，弦的端点， ，中点．
联立，化为 ，
，化为： ，
∴，化为： ．
得，
∴
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
【典例7-1】已知点是正四面体内的动点，是棱的中点，且点到棱和棱的距离相等，则点的轨迹被平面所截得的图形为（ ）
A．线段 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】D
【解析】在正四面体中，是棱的中点，
所以，，又，平面，
所以平面，
又点的轨迹被平面所截，即点在平面内，
∴点到棱的距离为．
在平面内过点作，则为点到棱的距离，
又点到棱和棱的距离相等，即，
因此，在平面内，动点到棱和到定点的距离相等．
由抛物线的定义得，动点的轨迹是抛物线.
故选：D．
【典例7-2】（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹是（ ）的一部分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【解析】由题意知，以D为原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，
则，设，
所以，
因为到的距离是到的距离的2倍，
所以，即，
整理，得，
所以点P的轨迹为双曲线.
故选：C
【变式7-1】已知直线平面，直线平面，且．若P是平面上一动点，且点P到直线m、n的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【解析】如图：
不妨设n在平面α内射影为b，则m与b相交，m与b垂直，
设直线n与平面α的距离为d，
则在平面α内，以m为x轴，b为y轴建立平面直角坐标系，
则P到m的距离为，P到b的距离为，从而P到直线n的距离为
所以，即，故轨迹为双曲线．
故选：C．
【变式7-2】在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】D
【解析】如图所示，在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，
所以，点到直线的距离等于，
又因为点到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，
所以点到线的距离与到对角线所在直线距离相等，
过点作的角平分线，类比到角平分面，此面与底面的交的是直线，
又由点在矩形内（包含边线）运动，所以点的轨迹是线段.
故选：A.
【变式7-3】已知线段AB与平面所成的角为，点B为斜足，在平面上的动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一部分
【答案】B
【解析】因为平面上的动点满足，可理解为在以为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段与平面所成的角为，可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点的轨迹是椭圆．
故选：C.
【变式7-4】已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
【答案】D
【解析】过点在平面内作，垂足为点，连接，
在正方体中，平面，平面，则，
因为点P到直线的距离与到直线的距离相等，即，
即点到直线的距离等于点到点的距离，
由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线.
故选：A.
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
【典例8-1】已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，表示点，
故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.
故选：C
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
故选：C．
【变式8-1】设非零复数是复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（ ）
A．双曲线 B．圆 C．一条直线 D．抛物线
【答案】A
【解析】因为，所以，代入，得，
两边同乘，得，所以在复平面上的轨迹形状是以为圆心，为半径的圆.
故选:B
【变式8-2】（2024·陕西咸阳·三模）设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由在复平面内对应的点为，且复数满足，
由复数的模的几何意义可得：在复平面内对应的点到复数在复平面内对应的点的距离为1，即，
则点的轨迹方程为，
故选：D.
【变式8-3】设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意，，故，故的轨迹方程为
故答案为：
【变式8-4】设复数z满足，则复数z所对应的点Z在复平面上的轨迹方程为 ．
【答案】或
【解析】设，，
复数满足，，
化为：，
，解得，．
①时，可得：，解得：，此时复数所对应的点在复平面上的轨迹方程为．
②，可得：，解得：，此时复数所对应的点在复平面上的轨迹方程为．
故答案为：或.
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
【典例9-1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，∴动点的轨迹一定通过的重心，如图，故选A．
【典例9-2】O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【解析】由题设，
而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且，
所以P的轨迹一定通过的重心.
故选：D
【变式9-1】在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】设线段的中点为，则、互为相反向量，
所以，，
因为，即，
所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分线段，
因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.
故选：D.
【变式9-2】（2024·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【解析】设，，
以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，
，
，，
则，，，，则，
设，则，
，
，即，
即点的轨迹方程为，
而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，
故选：A.
【变式9-3】已知，，且满足，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，
由可得，，
上式的几何意义是：
与点，的距离之和是，且，
即，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，
则，，
所以点的轨迹方程为：.
故答案为：.
【变式9-4】（2024·湖北咸宁·模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为 ；的最小值为 .
【答案】
【解析】根据题意不妨设，，
则，，
由可得；
而，由题意得，
如图所示，设则，问题式即求抛物线上一点到直线距离最小值，由对称性不妨求到直线距离最小值即.
即的最小值为.
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，M是椭圆C上一点，且面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM，MF，其中直线MF不过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM，MF与椭圆C交于异于点M的E，F两点，直线与直线相交于点D，直线OD与直线MF相交于点N，求点N的轨迹方程．
【解析】（1）由题可知，，解得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由（1）知，，设，，则，
设直线的方程为，
由消去x并整理得，
∴，
∴，，且，∴，
设点，由三点共线得，即，
由三点共线得，即，
∴
，
所以直线的斜率，
∴直线的方程为，
由解得，，
∴点的轨迹方程为．
【典例10-2】过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.
【解析】设，，，
由题意过点的直线的斜率存在，设直线的方程为，
与抛物线方程联立，可得，，
且可得且，
所以由可得，
因为四边形是平行四边形，所以，
即，可得，
因为，而且，可得或，
所以的轨迹方程为（或）.
【变式10-1】已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【解析】（1）设，BC中点为()，F(2，0)，
则有，，
两式相减，得 ，
即， ①
F(2，0)为三角形重心，所以由，得；由，得，代入①得 ，素以直线BC的方程为.
（2）由AB⊥AC得，所以 ②
设直线BC方程为，与椭圆方程联立消元，得，
所以，， ，
代入②式得，解得(舍)或，
所以，所以直线过定点，
设，则，即，
所以所求点D的轨迹方程是.
【变式10-2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为，
联立抛物线方程，得，，
设，则，
设线段中点，则，
即，故线段中点的轨迹方程为，即，
故答案为：
【变式10-3】已知抛物线，焦点为F
(1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标.
(2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程．
【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标，
解得，即点P的横坐标为3；
（2）
因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为，
设，
联立抛物线方程得，
，由，解得，
所以，所以，
所以点M的轨迹方程为.
【变式10-4】已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.
【解析】设直线为，设，
由，得，
因为点在抛物线上，
所以，
所以，解得或（舍去），
由，得，
由，得，
则，得，
所以直线恒过定点，
设，则，
因为点在抛物线上，
所以，
两式相减得，
当时，，即，
因为直线恒过定点，所以，
所以，所以，
当，亦满足上式
所以所求为.
【变式10-5】过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，所以，，
设线段的中点为，则，，则，
所以，，化简可得.
因此，线段的中点的轨迹方程为.
故选：D.
【变式10-6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】或
【解析】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.
由可得，故，
故在处的切线方程为，即，
同理在点处的切线方程为，
联立，即.
联立直线与抛物线方程：，消去得，
由题或.
由韦达定理，，
得，其中或，故点的轨迹方程为：或.
故答案为：或
题型十一：四心的轨迹方程
【典例11-1】设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ；
【答案】
【解析】设点，则的重心，
∵是不等边三角形，∴，
再设的外心，
∵已知，∴MN∥AB，∴，
∵点N是的外心，∴，
即，
化简整理得轨迹E的方程是.
∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．
故答案为：.
【典例11-2】点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为 .
【答案】
【解析】如图，设的内心为，连接交轴于点，连接
在中是的角平分线.
根据内角平分线性质定理得到.
同理可得.
所以，根据等比定理得：
在椭圆中，
所以
设，则
同理
又，则，可得
所有
由，得，
所以，代入椭圆方程.
得，由，则.
所以的内心轨迹方程为：
故答案为：
【变式11-1】已知椭圆C：（，）过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上．
【解析】（1）依题意有，解得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，
联立，消整理得，
则，解得，
可得，，
所以，
所以，
所以，
又，
所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴，
所以的内心在定直线上．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
【解析】（1）因为双曲线经过点，所以，解得，
所以的离心率，
（2）易知.设.
因为△的重心为 ，所以,解得,
因为，所以，即.
因为不共线，所以 且，
所以的轨迹不含两点.
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为.
（3）因为为△的垂心，所以，
设，
当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，
此时点与点重合，不合题意，舍.
当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，
则，
由（2）知，则，
则.
因为，所以，
，则，得，
则，因为构成三角形，故不能在轨迹上，
综上，动点的轨迹方程为（去除点）.
【变式11-3】求解下列问题：
(1)如图，动圆：，与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点，分别为的左、右顶点．求直线与直线的交点M的轨迹方程．
(2)已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求的重心G的轨迹方程．
【解析】（1）由椭圆：，知，.
设点A的坐标为，由曲线的对称性，得点B的坐标为.
设点M的坐标为，则直线的方程为①；
直线的方程为②.
由①②相乘得③.
又点在椭圆C上，所以④.
将④代入③得（，）.
因此点M的轨迹方程为（，）
（由于A，B仅在y轴的左侧，因此点M的轨迹只能在第三象限）.
（2）依题意知点，，设点，.
由三角形重心坐标关系可得即代入，
得的重心G的轨迹方程为.
【变式11-4】已知的顶点A是定点，边在定直线上滑动，， 边上的高为3，求的外心的轨迹方程．
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题意可设：，的外心，
则线段的中点，线段的中点，
则，，，
由题意可知：，
则有，消去可得：，
所以的外心的轨迹方程为：.
【变式11-5】（2024·河北石家庄·一模）已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程.
【解析】（Ⅰ）由已知可得：且，
即，，所以双曲线的方程为；
（Ⅱ）设，，且由已知得，渐近线方程为，
联立，解得：，所以；
联立，解得：，所以；
法一：设的外心，则由得：
即——①，同理——②，
①②两式相乘得，
又∵
所以的外心的轨迹方程为；
法二：设的外心，
线段的中垂线方程为：，线段的中垂线方程为：，
联立，解得
∵，
即，
代入得
所以的外心的轨迹方程为；
1．已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】动点满足，则，其中，
化简可得．
故选：B．
2．在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点的坐标为，点的坐标为，
依题意点在圆上，可得，
所以点的轨迹方程为.
故选：D.
3．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，由题意可得，整理可得，
即动点的轨迹方程为，
故选：A．
4．已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，
由点是的中点，得，可得，
又点在圆上运动，所以，
将上式代入可得，，
化简整理得点的轨迹方程为：.
故选：B
5．已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
不妨设，则满足；
易知，
又线段的中点为，可得；
即，代入方程可得，
整理得.
故选：D
6．当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，，
为中点，，则，即，
又在椭圆上，，即，
点轨迹方程为：.
故选：D.
7．如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，,，则,．
为线段的中点，
，即，．
又点在圆上，
，即．
故点的轨迹方程为．
故选：A
8．已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，
设动圆的半径为，则，，
则，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支.
因为，
所以.
故动圆圆心的轨迹方程为.
故选：D.
9．（2024·江西景德镇·三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：，又，
直线方程为：，即；
由得：或，
即或，
为靠近轴的切点，；
设飞行轨迹的抛物线方程为：，则，
在点处的切线斜率为，，解得：，
，解得：，，
即抛物线方程为：.
故选：A.
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为，
联立，消去得，
则，
即，两切线垂直故其斜率之积为-1，则由根与系数关系知，即.
当切线斜率不存在或为0时，此时点坐标为，，，，满足方程，故所求轨迹方程为.
故选：A.
11．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线与直线有唯一的公共点，
所以直线与双曲线相切，
联立，消去并整理得，
所以，即，
将代入，得，
得，因为，，所以，
所以，，即，
由可知，
所以过点且与垂直的直线为，
令，得，令，得，
则，，
由，得，，
代入，得，即，
故选：D
12．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知圆，圆，已知为两圆外的动点，过点分别作两圆的割线和，总有，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
由，可得，
所以，即，
由割线定理可知，过的切线是到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，
过分别做圆的切线，切点为，
则，，所以，
连接，
则，，
所以，
即，所以，
即，
设，则，
化简可得，
所以点的轨迹方程是，
故选:A
13．设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：，设，
因为，所以，
解得：，
因为，所以
所以，
因为，
所以，
即.
故选：D
14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是正方体面内的动点，且点到棱和面的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】B
【解析】如图：连接，过做于点.
因为是正方体，点在平面上，所以，所以线段的长度为点到棱的距离，
又，平面，平面平面，
平面平面，所以平面，所以线段的长度为点到平面的距离.
在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，且，所以点的轨迹为抛物线.
故选：C
15．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，则，
如图，在平面上，分别以为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
由，得，
即，整理得，
设直线与交于点，
则点在内部(含边界)，即满足条件的点构成的图形为及其内部，
易知，∴，
∴．
故选：A．
16．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为正方形对角线的交点，动点在圆柱下底面内（包括圆周）．若直线与直线所成的角为，则点形成的轨迹为（ ）
A．椭圆的一部分 B．抛物线的一部分 C．双曲线的一部分 D．圆的一部分
【答案】A
【解析】由直线与直线所成的角为，得直线在以直线为轴的圆锥面上，
与轴成角的平面截圆锥面所得交线为抛物线，因此点形成的轨迹为抛物线的一部分.
故选：B
17．在四棱柱中，已知侧棱底面， 为底面上的动点．当的面积为定值时，点在底面上的运动轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】D
【解析】如图所示，侧棱底面，为底面上的动点，
因为的面积为定值，的长度恒定，
所以点到线段的距离为定值，
则点在以为轴的圆柱的侧面上，
又点在平面上，所以点的轨迹为椭圆.
故选：A．
18．已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，，，
故点的轨迹方程为．
故答案为：
19．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设线段中点为，， 则，
即，
因为点为圆上的点，所以
所以，化简得：
故答案为：
20．设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为 ．
【答案】
【解析】对椭圆，其左焦点的坐标为，设点的坐标分别为，
因为点是线段的中点，故可得，即，
又点在椭圆上，故，即，整理得：.
故答案为：.
21．设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.
故答案为：
22．（2024·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以.
因为 ，所以直线的方程为 ①，
因为 ，所以直线的方程为 ②.
由①可得 ，代入②化简可得 ，
结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ，
所以点的轨迹方程为 ，
故答案为：
23．已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】．
【解析】设，则，
设，
由为的角平分线，
可得，
即有，
可得,，
即，，
可得，，
则，
即为．
故答案为：．
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