重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 4
题型一：三角形的面积问题之 4
题型二：三角形的面积问题之分割法 5
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化 6
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型 9
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型 10
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型 12
题型七：四边形的面积问题之一般四边形 14
03 过关测试 16
1、三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或
（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型
3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直
（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．
题型一：三角形的面积问题之
【典例1-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.
【典例1-2】（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
(1)设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(2)若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
【变式1-1】（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；
(3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程.
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值.
题型二：三角形的面积问题之分割法
【典例2-1】已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．
【典例2-2】（2024·高三·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
【变式2-1】（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程.
，，则，
【变式2-2】设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
【典例3-1】如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【典例3-2】（2024·四川达州·二模）已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知抛物线：，焦点在直线上．过点的直线与抛物线交于，两点，以焦点为圆心，为半径的圆分别与直线、交于、两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求面积的取值范围．
【变式3-2】（2024·河北保定·三模）设椭圆的左 右顶点分别为，离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆上异于的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.直线与轴相交于点，求的面积的最大值.
【变式3-3】（2024·河北保定·三模）已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若，求的值；
(3)若，记，的面积分别为，，求的取值范围.
【变式3-4】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.
(1)求证：；
(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时点的坐标.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
【典例4-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)为直线上一动点，记椭圆的上下顶点为，直线分别交椭圆于点，当与的面积之比为时，求直线的斜率.
【典例4-2】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，证明：是定值；
(3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值．
【变式4-1】（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）.
(1)求的准线方程；
(2)若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值.
【变式4-2】已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于两点，直线与圆E：的另一交点分别为为坐标原点，求与面积之比的最小值．
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
【典例5-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知椭圆过点，且的右焦点为.
(1)求的方程：
(2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点.
（i）证明：到直线和的距离相等；
（ii）若的面积等于的面积，求的坐标.
【典例5-2】在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【变式5-1】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆和圆经过的右焦点，点为的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
【变式5-2】（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
(3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.
【变式5-3】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
【典例6-1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【典例6-2】（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆经过，两点．
(1)求的方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【变式6-1】已知直线与椭圆有且只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.
【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为．
(1)求点的坐标；
(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值．
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
【典例7-1】（2024·辽宁·模拟预测）给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，
(1)若，求线段的长度；
(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
【典例7-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．
(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若，求四边形ABCD的面积．
【变式7-1】（2024·高三·四川达州·开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．
【变式7-2】已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围.
【变式7-3】已知曲线的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数使得，曲线C在点A，B处的切线交于点D．
(1)求点D的轨迹方程；
(2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当时，求四边形ADBE的面积．
【变式7-4】（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.
1．（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
2．（2024·河北·模拟预测）已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设和的面积分别为，求．
4．（2024·高三·山东烟台·开学考试）抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为的直线均过点，且分别与交于和（其中在第一象限），分别为的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点.
(1)求直线的斜率（用表示）；
(2)证明：的面积大于.
5．（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6．
(1)求点到上的点的距离的最小值；
(2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，平面内动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记与的面积分别为和，求的取值范围.
7．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍．
8．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.
9．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．
(1)求直线的方程；
(2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
10．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与交于，两点，设线段的中点为，线段的中点为，求面积的最小值．
11．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
12．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点为点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点G，若，的面积分别记为，，且，点A在第一象限，求点A的坐标．
13．（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．
14．（2024·高三·山东潍坊·开学考试）已知双曲线的焦距为4，离心率为分别为的左 右焦点，两点都在上.
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)若且，求四个点所构成的四边形的面积的取值范围.
15．（2024·湖北·一模）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
16．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，设，，设直线与的交点在曲线上.
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于.
①证明：为定值；
②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 4
题型一：三角形的面积问题之 4
题型二：三角形的面积问题之分割法 10
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化 15
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型 25
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型 30
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型 37
题型七：四边形的面积问题之一般四边形 44
03 过关测试 54
1、三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或
（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型
3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直
（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．
题型一：三角形的面积问题之
【典例1-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.
【解析】（1）由椭圆上顶点为，可得，
因为，，所以，
所以，所以椭圆的方程为.
（2）设，，
则椭圆C在点的切线方程分别为，，
又在两条切线上，则，，
则直线的方程为，
由整理得，
则，
则
，
又点P到直线的距离，
则的面积为，
令，，则，，
则在上单调递减，则在上单调递增，
所以，当且仅当即点P坐标为时等号成立，
则面积的最小值为.
【典例1-2】（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
(1)设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(2)若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
【解析】（1）由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角，
设直线、的倾斜角分别为、（、），
直线、关于直线对称，，
．
（2）联立，
双曲线在点处的切线方程为．
不妨设直线为，，，
联立得，
整理得，将等式看作关于的方程：
两根之和，两根之积，
而其中，
由（1）得，
直线为，过定点，
又双曲线在点处的切线方程为，过点，，
．
【变式1-1】（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；
(3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程.
【解析】（1）由题知，，解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）因为点在椭圆上，所以，即，
联立消去整理得，
即，即，显然方程有唯一解，
所以直线与椭圆相切.
（3）设，
将代入，解得，
因为点在椭圆外，所以或，所以，
由（2）可得，切线的方程分别为，
因为点在切线上，所以，
所以点在直线，即直线的方程为，
联立得，，
则，
所以
记点到直线的距离分别为，
则，
因为和的面积之和为1，
所以，
解得，所以的方程为或.
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值.
【解析】（1）由题意可得，即，所以抛物线方程为
设，则，
因为，所以，
及，又由题意可知，所以
又，且
所以，
即，
又因为点D在直线AB上，且，
所以，即，
所以，
由①②式可得，
当时，，解得；，此时；
当时，消可得，，即，
点同样满足该方程，
显然D与O不重合，所以，
综上，点D的轨迹E的方程为；
（2）因为，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，
设切线的斜率为，的斜率分别为，则
切线方程为，即，
令，得，
，
又，消元得
因为相切，所以，
即
易知的斜率分别为是方程③的两个根，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
，当且仅当，即时，取等号.
综上，面积的最小值为8.
题型二：三角形的面积问题之分割法
【典例2-1】已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．
【解析】（1），
设椭圆的标准方程为，即，
过点，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，且不过点，
设直线的方程为，，
由消去整理得，
，，
，
，
，
，
将，代入整理得，
，
又因为，
解得：，
三角形的面积，
令，
导函数，
当，，
当，，
增区间为，减区间为，
当时，三角形的面积取得最大值，最大值为18．
【典例2-2】（2024·高三·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆的标准方程为．
（2）如图：
①设直线的方程为，并记点，，，
由消去，得，
易知
则，．
由条件，，，直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上．
②
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
【变式2-1】（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程.
【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，依题意，，，又，
解得，，，
所以椭圆C的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率不为，故可设直线l的方程为，
，，则，
联立直线l与椭圆C的方程，得，
由于直线过椭圆内一点，故必有，则．
又，，
易知与同号，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为，此时直线l的方程为．
【变式2-2】设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
【解析】（1）设，则，
化简得，，
当时，，轨迹为一条直线；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的双曲线；
综上：当时，轨迹方程为，轨迹为一条直线，
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线；
（2）当时，，
当直线斜率不存在时，又与相切，故此时直线，此时三点共线，不合要求，舍去，
设直线，联立得，
由得，显然，
联立得，，
由，结合，解得，
设，
则，
设直线与轴交于点，则，
则
，
将代入得，
因为，令，则，
，
设，则设，则
，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故最大值为.
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
【典例3-1】如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，
又因为，，，
因为，所以，，轴，
点的横坐标为，所以，，，可得，即点，
过点且与渐近线平行的直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，点到直线的距离为，
且，因此，四边形的面积为；
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
设点，双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为
，且，
因此，（定值）.
【典例3-2】（2024·四川达州·二模）已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求.
【解析】（1）设，
，
，故，
，，
，
（2），∴，
故，
成等差数列，成等差数列.
，，故，
，即，
.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知抛物线：，焦点在直线上．过点的直线与抛物线交于，两点，以焦点为圆心，为半径的圆分别与直线、交于、两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求面积的取值范围．
【解析】（1）由题可得焦点在轴的正半轴，在直线上，令，解得，
即焦点坐标为，所以，解得，
所以抛物线的方程为：
（2）设过点的直线的方程为：，，，
联立：，可得，
所以，
以焦点为圆心，为半径的圆的方程为：
直线的方程为：,
联立：，解得，
同理可得，
设直线与轴的交点为，所以，
由于，，
所以，
化简可得：，
由于，所以，解得，
则直线恒过点，
所以，
将，代入化简可得：
，
令，则，
因为在上单调递增，
所以，则，
所以，即.
故面积的取值范围为.
【变式3-2】（2024·河北保定·三模）设椭圆的左 右顶点分别为，离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆上异于的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.直线与轴相交于点，求的面积的最大值.
【解析】（1）因为，
所以解得
所以椭圆的标准方程为；
（2）由可得点，
设，直线，直线，
联立消去得，解得.
联立消去得，解得.
因为，且，
此时，
设，由三点共线，所以，
则
，
所以.
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最大值为.
【变式3-3】（2024·河北保定·三模）已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若，求的值；
(3)若，记，的面积分别为，，求的取值范围.
【解析】（1）由抛物线上一点到坐标原点的距离为，
可得，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）由题意，设直线的方程为，且，.
联立方程组，消去整理得，
则，所以，，
因为，，所以，所以，
又因为，所以，则，
因为，所以，则.
（3）根据抛物线对称性，不妨令，
由（2）中，，得直线的方程为，
令，得，同理可得，
则，，
且，，
故
，
令，则，
显然在上恒成立，所以在上单调递增，
由，，可得的取值范围为.
【变式3-4】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.
(1)求证：；
(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时点的坐标.
【解析】（1）设点，则.因为点在第一象限，
可设函数，则，所以，
所以直线方程为，令，则，即点.
设直线，与联立得，所以，同理.
因为，，所以，则，
设直线，与联立得，
又因为直线与抛物线交于两点，所以.
因为点，所以，代入抛物线，
又因为在第四象限，可知.
因为，，
所以，
即，原命题得证.
（2）由（1）知，所以，得，即.
所以，
另由（1）知，，，
所以，即；
，，
设函数，，
则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取得最小值为，此时点的坐标为.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
【典例4-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)为直线上一动点，记椭圆的上下顶点为，直线分别交椭圆于点，当与的面积之比为时，求直线的斜率.
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
因为，
设，
则直线的方程的方程为，
联立，消去可得，
，
解得，代入直线方程可得，故，
直线的方程为，由，消去可得，，
解得，故，
设与的面积分别为，则，
因为，且三点共线，三点共线，结合距离公式化简可得
，
由，化简解得，
当时，，的斜率为，
当时，，的斜率为，
综上，直线的斜率.
【典例4-2】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，证明：是定值；
(3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值．
【解析】（1）由双曲线的焦距为，得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，设直线的方程为，，
由消去x并整理得，
由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ，
解得，
则，，即，而，
所以
为定值.
（3）由（2）知，直线：，直线：，
则点的横坐标为，
于是
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【变式4-1】（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）.
(1)求的准线方程；
(2)若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值.
【解析】（1）将代入，则，
由，故为等腰直角三角形，故，即，
所以，故准线方程为.
（2）设，直线，联立抛物线得，
所以，则，故，
由，则，故，直线，
令，则，故，
设直线，联立抛物线得，
所以，则，故，
综上，直线，令，则，故，
由直线的倾斜角为锐角，故，则，，
所以，令，则，
则，仅当，即时等号成立，
所以与面积之比的最大值.
【变式4-2】已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于两点，直线与圆E：的另一交点分别为为坐标原点，求与面积之比的最小值．
【解析】（1）依题意得，解得，所以抛物线方程为.
（2）抛物线的焦点为，直线与轴不重合，
设直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，则，
所以，
所以.
，由，而，
故解得.同理可求得.
，
同理，
所以
，
故当时，取得最小值为.
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
【典例5-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知椭圆过点，且的右焦点为.
(1)求的方程：
(2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点.
（i）证明：到直线和的距离相等；
（ii）若的面积等于的面积，求的坐标.
【解析】（1）根据题意有，
且由椭圆的几何性质可知，
所以.
所以的方程为.
（2）（i）显然的斜率存在，设的方程为，代入的方程有：
，其中.
设，则，
若到直线和的距离相等，则直线平分，
易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0.
设的斜率分别为，则：
，
，
代入，
有，故命题得证.
（ii）由（i）知直线平分，即.
因为的面积等于的面积，
故，即，故.
故在线段的垂直平分线上.
易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，
故的坐标为或.
【典例5-2】在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为.
设点P的坐标为，则由直线与的斜率之积等于，得，
化简得，故动点P的轨迹方程为.
（2）若存在点P使得与的面积相等，
设点P的坐标为，则，
因为，所以，即.
作直线，作于，于，则，
所以，同理，所以可得，
整理得，解得；
因为，所以.
故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.
【变式5-1】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆和圆经过的右焦点，点为的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
【解析】（1）设椭圆焦距为，
由题意可得，有①，
又因为直线方程为，
所以②，
联立①②解得：，，
故椭圆方程为.
（2）①当斜率不存在时，易知；
②当斜率存在时，设，
，，
由，得，
显然，
所以，
因为，
，
所以，
因为，
又，
设，则，
解得且，
所以，
综上可得的取值范围为．
【变式5-2】（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
(3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.
【解析】（1）因为若当点P的纵坐标为时，,
不妨设，则，即，
代入抛物线方程有，所以；
（2）由（1）知，C的准线，
不妨设，，
若平行于x轴，则，
所以，整理得，
联立方程有，
又在抛物线C和直线上，即，
则有，此时，即，
则S在抛物线C上，证毕；
（3）在（2）的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知Q为线段的中点，
同（2），仍设，，
则，
联立，
所以，
且，
则，
可知，整理得，
设，
与C联立有，
所以，即，
由于Q为线段的中点，所以到直线的距离相等，
则，
设，
若，则，显然，所以；
若，则；
若，则，所以；
综上.
【变式5-3】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．
【解析】（1）由离心率为，且经过点可得，又，
解得，所以椭圆；
（2）设，则，，
令，，
可得，
代入，得，
又，得，
设，，
可得，
代入，得，
又，得，
∵，∴，
∵，，∴．
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
【典例6-1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为，
因为点B、F都在直线上，所以，，又，
所以，，，
所以椭圆的方程为：，
（2）
由题知的斜率存在且不为0．
设．
因为与圆相切，所以，得．
联立与的方程，
可得，
设，，
，
则，．
所以，
将代入，可得．
用替换，可得．
四边形的面积．
令，则，可得，
再令，，则，
可得，等号成立当且仅当，即，即，
即四边形面积的最小值为．
【典例6-2】（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆经过，两点．
(1)求的方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）因为过点，，
所以解得
故的方程为．
（2）由题知的斜率存在且不为0．
设．
因为与圆相切，所以，得．
联立与的方程，可得，
设，，则，．
所以，
将代入，可得．
用替换，可得．
四边形的面积．
令，则，可得，
再令，，则，可得，
即四边形面积的最小值为．
【变式6-1】已知直线与椭圆有且只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.
【解析】（1）联立，消去得
直线与椭圆有且只有一个公共点，
，解得
即椭圆的方程为；
（2）假设存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，
设，
联立，消去得，
则，解得，
由韦达定理得，
，
，
，
存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，且的取值范围是.
（3）椭圆的左焦点为，
当对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时，
，
当对角线与的斜率即存在，又不为零时，
设，
则，
联立，消去得，
则，
，
同理：，
令，
则，
因为，
，
综合得，当且仅当时，等号成立.
即的最小值为.
【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
【解析】（1）设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以椭圆的方程为.
①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积.
②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以.
所以.
设的方程为，同理可得.
所以四边形的面积
，
因为，当且仅当时取等号.所以，即此时.
由①②可知，四边形面积的范围为.
【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为．
(1)求点的坐标；
(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）由题意知，，解得，，，
所以椭圆的方程为，，
将代入椭圆方程得，
不妨取，
设椭圆在点处的切线方程为，
联立，得，
所以，
整理得，解得，
所以在点处的切线方程为，
由椭圆的对称性知，点在轴上，
令，则，
即点的坐标为,．
（2）根据题意可设直线的方程为，,，,，
联立，得，
所以，，，
所以，
因为轴，且点的纵坐标为，所以,，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
同理可得，，
所以，
故为定值．
故,当且仅当时等号成立，
由于故，即,
故，当且仅当时等号成立，
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
【典例7-1】（2024·辽宁·模拟预测）给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，
(1)若，求线段的长度；
(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
【解析】（1）由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，
设，因为，，
不妨设，则方程为，即，，，
所以线段CF的长度为.
（2）设，直线，
联立，可得.
在轴两侧，，，
所以点处的切线方程为，整理得，
同理可求得点处的切线方程为，
由，可得，
又在直线上，，直线过定点.
（3）由（2）可得在曲线上，.
由（1）可知，
，
令在单调递减，
四边形的面积的范围为
【典例7-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．
(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若，求四边形ABCD的面积．
【解析】（1）因为当经过抛物线的焦点F且垂直于x轴时，且，
可得，解得，所以抛物线的标准方程为.
（2）①设是抛物线上任意两点，
则，所以，
同理设是抛物线上任意两点，
则，所以，
又因为，可得，所以，
同理，令，可得，
，令，可得，
所以点，H，N三点共线.
②由①知，同理，
所以，可得
，可得
两式相减，可得，可得，（交于），
因为且，所以，
可得，又为中点，则平分，
所以，且，
所以.
【变式7-1】（2024·高三·四川达州·开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．
【解析】（1）由题，椭圆的另一焦点为，
因此，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设“共轭点对”中点的坐标为，
根据“共轭点对”定义：
点的坐标满足所以或
于是有两个点满足，且点的坐标为．
（3）设．
设所在直线为，则的方程为．
设点，则
两式相减得．
又，于是，则，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
设点到直线的距离为，
则四边形的面积．
又，则有．
设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值．
由消去得
令，解得．
当时，方程为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，
从而直线与不可能相切，
即小于直线和平行直线（或）的距离，
所以．
【变式7-2】已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围.
【解析】（1）由得，且，
令代入椭圆方程可得，故，
所以，，
所以椭圆.
（2）由题可知，设直线，
由消得，
恒正，，，
，
又，
，（此处也可以用点差法，由得，
，所以）
由，得，，即为，两点的坐标，
所以点，到直线的距离之和为
，
则
，
因为，
所以的取值范围.
【变式7-3】已知曲线的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数使得，曲线C在点A，B处的切线交于点D．
(1)求点D的轨迹方程；
(2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当时，求四边形ADBE的面积．
【解析】（1）曲线就是抛物线，它的焦点坐标为，
存在实数使得，则、、三点共线，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去，整理得，，设，，
则，，由，求导得，切线斜率，
曲线在点处的切线方程是，即，
同理得曲线在点处的切线方程是，
由，得，因此点的坐标为，
所以点的轨迹方程为.
（2）当时，由，得，则，
于是，解得，，，由对称性不妨取，
，
设的中点为，则，，
由点在以点为直径的圆上，得，
设，则，即，解得，则，
将直线的方程，即，
则点到的距离，
因此，
由（1）点，即，点到的距离
因此，
显然、在两侧，所以四边形ADBE的面积．
【变式7-4】（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.
【解析】（1）设，因为，
，代入椭圆得：，
点的轨迹方程为：.
（2）
设，由（1）则，
①当直线不与坐标轴重合时，由，知为中点，
，
直线：，
代入椭圆：的方程得：
即：，设，，
由根与系数关系，
，
设表示点到直线的距离，表示点到直线的距离，
；
它法：利用比例关系转化：，酌情给分.
②当直线与坐标轴重合时，
不妨取，，，
或，，，
综上所述：四边形的面积是.
1．（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
【解析】（1）由题意知，
解得，
则椭圆的方程为．
（2）易知四边形为平行四边形，设，
联立直线与椭圆消去并整理得，
由韦达定理得
，
因为与平行，所以这两条直线的距离，
则平行四边形的面积．
2．（2024·河北·模拟预测）已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.
【解析】（1）设,则,化简可得
（2）以为邻边作平行四边形,则直线与x轴不重合,设直线的方程为，直线的方程与椭圆方程联立，
设，，
联立，消去x得，
所以，
则.
求得O到直线的距离，
因为平行四边形的对角线互相平分
所以
所以在椭圆上，可得
所以平行四边形面积
所以四边形面积是.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设和的面积分别为，求．
【解析】（1）由抛物线的焦点为，知，
所以抛物线方程为，准线方程为，
因为，所以，得，
所以，所以，
所以点的坐标为，点在椭圆上，
所以，，
所以，，
化简整理得，
所以，，
解得（舍去），或，
所以；
（2）由（1）知，则，
所以椭圆方程为，
因为的坐标为，，
所以，
所以直线为，
由，得，
化简整理得，
所以，得，或，
所以，，
所以.
4．（2024·高三·山东烟台·开学考试）抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为的直线均过点，且分别与交于和（其中在第一象限），分别为的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点.
(1)求直线的斜率（用表示）；
(2)证明：的面积大于.
【解析】（1）抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为，
设直线的方程为，
联立得，
由已知方程的判别式，
设，
则，，
所以
故中点的坐标为，
同理可得，
故.
（2）设直线的倾斜角分别为，
则有，
的倾斜角为，斜率为，
故FQ：，
当时，，
故.
，
即，
当，且时，
令可得，，
所以，
，
当时，点的坐标为，
点的坐标为，
此时，
所以，当且仅当时取等号.
记点到的距离为，
当时，由于，
故，故，又，
故此时的面积；
当时，，又，
故此时的面积；
综上所述，的面积大于.
5．（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6．
(1)求点到上的点的距离的最小值；
(2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．
【解析】（1）设是椭圆上一点，则，所以，
所以（），
因为，所以当时，，
，解得或（舍去），
所以，所以当时，．
（2）①证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（），
，，，联立直线和的方程，
得消去并化简，得，
所以，
解得，且．
又点在点的右侧，则，且，，
所以直线的方程为，
所以，
因为
，
所以，所以直线过定点．
②由①知直线的方程为，设，则，
，将，代入，
可得，由，且，
得的取值范围为．
由消去并化简得，
则，
，．
，
原点到直线的距离为，
所以，
令，由的取值范围为，得的取值范围为．
又函数在上单调递增，所以，的值域为．
所以的取值范围是，
所以面积的取值范围为．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，平面内动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记与的面积分别为和，求的取值范围.
【解析】（1）设点的坐标为.
由题意，
由，得，
化简得
所求曲线的方程为.
（2）因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、，所以的斜率不为零，
故设直线的方程为
联立方程组，消并整理得，
设，，，，
于是，，，
由于，不妨设直线的斜率为，
则，
所以，即，
进而，
整理得，
将，代入可得，
化简得，
由于，所以，
则直线方程为，
故直线过定点，
（3）由题意可知，则直线方程为，且，
，其中分别为到直线的距离，
所以
代入，，，
由于且，故，
解得或，故，
故.
.
7．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍．
【解析】（1）当垂直轴时，由直线与直线的斜率之积为，故，
设，则，解得，
即，则，解得，
故的方程为；
（2）（2）①设，
由知，
将得，
即．
由为上点，则
．
又直线与直线的斜率之积为，故，即．
因此；
②由题直线斜率不为0，设
由①联立，
消去得，
，
由，
即，
即．
因此有．
面积，
四边形的面积，
即若要证，只需证．
设，故只需证即可．
直线，
联立解得，
同理得．
故故问题得证．
8．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.
【解析】（1）由题意可得，注意到，，解得，故椭圆方程为；
（2）
由题意，
因为点不与椭圆顶点重合，所以直线斜率存在且不为0，且不等于，
所以设，
联立，显然，
由韦达定理可知，从而，
所以，
在中令，得，所以，
易知，联立，所以，
注意到直线的斜率为，
所以，
联立，所以，
记点到的距离、点到的距离依次为，
则，
同理，
综上所述，与的面积相等，命题得证.
9．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．
(1)求直线的方程；
(2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
【解析】（1）由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
（2）（i）方法1：因为，所以
设，则，
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以设，
由，
由韦达定理得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上．
（ii）由（i）可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由，
由，
由韦达定理得．
点到直线的距离，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．
10．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与交于，两点，设线段的中点为，线段的中点为，求面积的最小值．
【解析】（1）由题意可设点，则，得，①
因为，所以由抛物线的定义得，得．②
将②代入①中，得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）
如图，易得，不妨设直线的方程为，代入，得，
设，，点坐标为
则，，
从而，
因直线，故直线的方程为，
则同理可得．
所以的面积为
，当且仅当，即时取等号，
故面积的最小值为4．
11．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，
所以的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，
①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点A和点B在曲线E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直线斜率存在时，则可设方程为，、，
联立，
则即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
综上，.
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立得，设、，
则，
，，
故，
因为P是中点，所以即，
同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，
，
Q到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.
12．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点为点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点G，若，的面积分别记为，，且，点A在第一象限，求点A的坐标．
【解析】（1）由，可知焦点．
不妨设点P在第一象限，由题意可知点．由点P在椭圆上，得．
又因为，即，则，可得，解得．
所以，，椭圆的标准方程为．
（2）设点，由得，，所以切线l的方程为
，即．
代入椭圆方程，得．
由，得．
设点，，，则．
，
则GE的方程为，即，
令，得．
在直线l的方程中令，得．
，，
，，可得．于是，
可得．
化简得，解得，
符合．
所以（舍去），进而，可得点A的坐标为．
13．（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．
【解析】（1）依题意，，，令椭圆半焦距为c，由，得，，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，
由消去得：，
则，解得，，又，
由（1）知，，，
由，得，
即，解得，满足，
所以直线的方程.
14．（2024·高三·山东潍坊·开学考试）已知双曲线的焦距为4，离心率为分别为的左 右焦点，两点都在上.
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)若且，求四个点所构成的四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）由题意可得，解得，
故曲线的方程为，
（2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，
得，都在右支上，
由，消去可得，
易知，其中恒成立，
，
代入，消元得，
所以，解得，满足，
所以直线的方程为，
（3），，则分别在两支上，且都在的上方或的下方，不妨设都在的上方，又，则在第二象限，在第一象限，如图所示，
延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点，由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2被，由题设直线的方程为，直线的方程为，
由第（2）问易得，
因为，所以，
两条直线与间的距离，
所以，
令，，
所以，
设，则，在上恒为减函数，
所以在上恒为增函数，
当时即，取得最小值为12，
所以当且，求四个点所构成的四边形的面积的取值范围为.
15．（2024·湖北·一模）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
【解析】（1）由题意得，又，解得，
椭圆的标准方程为
（2）（i）由（1）可得，
连接，因为，，
所以，
，
，所以，
所以直线的方程为，联立，
解得或（舍去），
.
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又，，直线的方程为，
由，解得，
所以，
由，得，
由，
则，所以，
则，
，
依题意、不重合，所以，即，
所以，
直线的方程为，
令即，解得，
，
，
为定值.
16．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，设，，设直线与的交点在曲线上.
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于.
①证明：为定值；
②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由.
【解析】（1）显然，设，
由，得，由，得，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立消去得，即，
所以曲线的方程为.
（2）①显然直线不垂直于轴，设直线，，而，
显然，由，得，
则，
整理得，
又直线与直线的斜率之积为，则，即，
因此，所以，即为定值.
②由①，消去并整理得，
，，
，即有，则，
，
的面积，
四边形的面积，
设，则，
直线，直线，联立解得，
同理，
，因此，
所以存在常数，使得四边形的面积是面积的倍，.
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