2024-2025学年江苏省苏州市某中学高一（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市某中学高一（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则等于( )
A. B. C. D.
2.设函数，若对于任意实数，在区间上至少有个零点，至多有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设，，其中，，为实数，则下列命题中，正确的是( )
A. 若函数的值域为，则
B. 若函数的值域为，则
C. 存在实数，，且，使函数的值域为
D. 存在实数，，且，使函数的值域为
4.已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5.若正实数，满足，则下列选项正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最大值
6.已知关于的不等式，下列结论正确的是( )
A. 当，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集可以为的形式
C. 不等式的解集恰好为，那么
D. 不等式的解集恰好为，那么
7.已知实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
8.关于的方程，给出下列四个命题，其中真命题的是( )
A. 存在实数，使得方程恰有个不同的实根
B. 存在实数，使得方程恰有个不同的实根
C. 存在实数，使得方程恰有个不同的实根
D. 存在实数，使得方程恰有个不同的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.不等式的解集是______．
10.已知，，则最小值为 ．
11.已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性．
判断下列函数是否具有有界性：；；；
已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围．
13.本小题分
已知函数，，定义函数．
设函数，，求函数的值域；
设函数为实常数，，当时，恒有，求实常数的取值范围．
14.本小题分
已知函数，是偶函数．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若对于任意恒成立，求的取值范围；
Ⅲ若函数，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
15.本小题分
已知函数和的定义域分别为和，若足对任意，恰好存在个不同的实数，，，使得其中，，，，，则称为的“重覆盖函数”
判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
若为的“重覆盖函数”，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，．
若，解不等式；
若函数在上是增函数，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.，
12.解：对于，当时，取得最大值，
所以，故有上界；
对于，所以有下界；
对于，所以没有上界也没有下界，故不具有有界性，
故具有有界性，不具有有界性．
函数是由和复合而成，
在上单调递减，
而在上单调递增，所以在上单调递减，
故当时，有最大值，
所以，若为函数的上界，则．
13.解：因为在单调递增，在单调递减，
且，所以，
因为时，
时，所以函数的值域为
由当时，恒有可得：当时，
，
即当时恒成立．
即当时恒成立．
即当时恒成立．
即当时恒成立．
即当时恒成立．
因为在单调递增，所以在时取得最大值，
因为在单调递减，所以在时取得最小值，
所以．
14.解：Ⅰ函数，是偶函数，
则满足，
所以，
即，
所以，解得；
Ⅱ由可知，，对于任意恒成立，
代入可得，所以对于任意恒成立．
令，
因为，可得，
所以；
Ⅲ，，且，
代入化简可得，
令，因为，所以，
则
当，即时，在上为增函数，
所以，解得，不合题意，舍去；
当，即时，在上为减函数，在上为增函数，
所以，解得，所以；
当，即时，在上为减函数，
所以，
解得不合题意，舍去，
综上可知，存在实数，使得的最小值为．
15.解：是，，理由如下：
由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，，，，
使得其中，，，，，
即，
由，
故当时，，
此时不存在使成立，
当时，，
且在上单调递增，
故对于任意，
都有唯一一个，使得，
综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，
所以是的“重覆盖函数”，且；
由，可得，故，
所以函数的定义域为．
，
即，存在个不同的实数，，使得，其中，，
当时，，
故，即，
故，
故对任意，，
，
即对任意，都有个实根，
当时，，且在上单调递增，
故时，都有唯一确定的实根，
故当时，也有且有一个实根，
当时，，
且在上单调递减，符合题意；
当时，为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去；
当时，则需对称轴，且，
即，且，即，
综上，实数的取值范围是
16.解：当时，，，
当时，即，此不等式无解，
当时，，解得或，即，
故不等式的解集为．
当时，的对称轴为：；
当时，的对称轴为：；
当时，在上是增函数，
即时，函数在上是增函数．
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