2024-2025学年江西省上饶四中高二（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年江西省上饶四中高二（上）月考数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
2.如图，已知半椭圆：与半椭圆：组成的曲线称为“果圆”，其中，“果圆”与轴的交点分别为，，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点不与重合，若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知过抛物线：的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则( )
A. B. C. D.
4.若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. ， D.
5.已知，则点关于平面的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.某人下午：下班，他所积累的资料表明：
到家时间 ：到： ：到： ：到： ：到： 迟于：
乘地铁到家的概率
乘汽车到家的概率
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是：到家的，则他乘地铁回家的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，直线：则以下几个命题正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
10.下面四个结论不正确的是( )
A. 已知，，若，则的夹角为钝角
B. 已知，，则在上的投影向量是
C. 若直线经过第三象限，则，
D. 设是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
11.下列命题正确的是( )
A. 设，是两个随机事件，且，，若，则，是相互独立事件
B. 若，，则事件，相互独立与，互斥有可能同时成立
C. 若三个事件，，两两相互独立，则满足
D. 若事件，相互独立，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，在上，且，，则的离心率为______．
13.已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为______．
14.若，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：．
求的范围，并证明圆过定点；
若直线：与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值．
16.本小题分
已知双曲线的离心率为，实轴长为．
求双曲线的标准方程．
设直线：与双曲线交于，两点，是否存在满足其中为坐标原点，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
若，求点坐标；
求的值．
18.本小题分
某种产品的加工需要经过道工序．
若其中某道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序？
若其中某道工序必须相邻问有多少种加工顺序？
若其中某道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序？
19.本小题分
某工厂生产一批机器零件，现随机抽取件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如表：
性能指标
产品件数
求该项性能指标的样本平均数的值若这批零件的该项指标近似服从正态分布，其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的倍，甲机床生产的零件的次品率为，乙机床生产的零件的次品率为，现从这批零件中随机抽取一件．
求这件零件是次品的概率；
若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
若从这批机器零件中随机抽取件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望精确到整数．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由圆：，整理可得：，
可得，
即，，，
所以的范围为；
证明：整理圆的方程：，
由，得，
所以圆恒过定点；
解：设点，，
联立，整理可得：，
，
且，，
因为以弦为直径的圆过原点，
所以，即，
即，整理可可得，
即，
于是，解得，满足，
所以的值为．
16.解：双曲线的离心率为，实轴长为．
，，，
，
故所求双曲线方程为．
如图，

设，，
由，消元可得，，
当，即时，
，，
，
，解得，
此时不满足，
故不存在，使得成立．
17.解：因为，
所以，，，
则，
设，则，
由，
可得，
即，解得，
则；
因为，
，，分别为棱，，的中点，
所以，，，，
由可知，，
所以．
18.解：先从另外道工序中任选道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法，
再将其余的道工序全排列，有种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序．
先排这道工序，有种不同的排法，
再将它们看作一个整体，与其余的道工序全排列，有种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序．
先排其余的道工序，有种不同的排法，有个空档，
再将这道工序插入空档，有种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序．
19.解：由题意可知，，
又因为，
所以，，
则；
设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，，
则；
；
由及可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以．
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