2023-2024学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数( )
A. B. C. D.
2.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点在第一象限，，垂足为，直线交轴于点，则( )
A. B. C. D.
5.过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.在形状、大小完全相同的个小球上分别写上位学生的名字，放入袋子中，现在位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有位学生摸到写有自己名字的小球的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在直三棱柱中，，分别为线段，的中点，，平面平面，则四面体的外接球的体积为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列四个命题正确的是( )
A. 函数在上是增函数
B. 函数的图象关于中心对称
C. 不存在斜率小于且与数的图象相切的直线
D. 函数的导函数不存在极小值
11.著名的德国数学家狄利克雷在世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导根据该函数，以下是真命题的有( )
A.
B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于轴对称
D. 存在一个正三角形，其顶点均在的图象上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列中的，是函数的极值点，则 ______．
13.若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则 ______．
14.已知正项数列的前项和满足为正整数，则 ______；记，若函数的值域为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
公差不为的等差数列中，前项和记为若，且，，成等比数列．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，分别是，的中点，．
若平面平面，求点到平面的距离；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．
若蚂蚁爬行次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；
若蚂蚁爬行次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
如图，一张圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线相交于点，当点在圆上运动时，得到点的轨迹，记为曲线建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在上．
求的方程；
若点坐标为，过且不与轴重合的直线交于，两点，设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数有两个零点，
求实数的取值范围；
求证：；
求证：．
参考答案
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15.解：设公差不为的等差数列中，前项和记为．
若，且，，成等比数列，
则，
即有，
由，解得，
则；
由可得，
，
则
．
16.解：以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，设，
因为，，，所以，
则，，，．
设平面的一个法向量，则即，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量，则即，
令，则，，所以．
因为平面平面，所以，所以，即，所以，
所以，所以点在轴上，即平面，
因为平面，所以，又，，所以，
故C到平面的距离为．
由知，由，则，因为，所以，
所以，，所以，
由知平面的一个法向量，平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：记蚂蚁爬行次在底面的概率为，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面，
结合题意易得，，
是等比数列，首项为，公比为，
；
结合题意易得：，，，
当时，蚂蚁第次、第次都在处，
，
当时，蚂蚁第次在处或第次在处，
设蚂蚁第次在处的概率为，
，
设蚂蚁第次在处的概率为，
设蚂蚁不过点且第次在的概率为，设蚂蚁不过点且第次在的概率为，
设蚂蚁不过点且第次在的概率为，由对称性知，，
，又，
得，
，
，
的分布列为：
的数学期望．
18.解：由题意知，以中点为原点，以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
是圆内的一个定点，故圆的半径，
则，，所以，
故点的轨迹为以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
则其焦距为，所以，
又点在上，则，所以，
故C的方程为；
当时，由椭圆对称性得；
当时，设直线的方程为，，，
设，，，，
则，
当时，设直线的方程为，则，
联立，则，
由于直线过椭圆焦点，则必有，故
，
则，
同理当时，设直线的方程为，则，
则，
故
，
当时，，根据椭圆的对称性，不妨设，
则，
，满足，
同理当时，也满足，
故，
当时，，
当时，
且，
当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，
综上取得最大值时，，直线的方程为．
19.解：，
又因为函数单调递增，且，
所以，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，
，
，
所以在和上各有一个零点，
当时，的最小值为，且，
所以在内至多只有一个零点，
综上，实数的取值范围是；
证明：设，，
，
，
当时，，
，
所以，
所以在上单调递增，
当时，，
即当时，，
又因为函数有两个零点，，
由知，，，
所以，
证明：设，
，
，当时，
因为，
令，，
设，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以恒成立，显然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
设的零点为，，，
易知，
所以，
设，
设，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以恒成立，即，
设的零点为，，，
易知，，
所以，
所以，
所以．
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