2024-2025学年甘肃省白银市靖远一中高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年甘肃省靖远一中高三（上）月考数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
3.如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数如，，，当中间数为或时，那么所有凸数的个数为( )
A. B. C. D.
4.在中，若，且，则( )
A. B. C. D.
5.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图图、“后”从事快递行业岗位分布条形图图，则下列结论中错误的是( )
A. 快递行业从业人员中，“后”占一半以上
B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数超过总人数的
C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“后”的人数比“前”的多
D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数比“后”的多
6.已知抛物线：，若抛物线上的点处的切线恰好与圆：相切，则( )
A. B. C. D.
7.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较
常用的一种，其解析式为关于函数，则下列结论正确的是( )
A. 的值域为 B. 是偶函数
C. 不是周期函数 D. 是单调递减函数
8.已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，从而得到函数的图象，若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，若实数，满足：对任意的，都存在，则称是集合的“围栏实数对”若集合，则下列集合中存在集合的“围栏实数对”的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B.
C. D. 为奇函数
11.如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是( )
A.
B. 平面
C. 平面
D. 三棱锥与三棱锥公共部分的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若：：：：，则双曲线的离心率为______．
14.设，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”若，与为自然对数的底数互为“度零点函数”，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若数列是公比大于的等比数列，且，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱台中，平面，，，，．
记平面与平面的交线为，证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．
当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程；
直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值．
18.本小题分
已知函数．
当时，证明：函数在区间上单调递增．
证明：当时，．
证明：对正整数恒成立．
19.本小题分
在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，，，，定义随机变量的信息量，和的“距离”．
若，求；
已知发报台发出信号为和，接收台收到信号只有和现发报台发出信号为的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号接收台收到信号为的概率为，发出信号接收台收到信号为的概率为．
(ⅰ)若接收台收到信号为，求发报台发出信号为的概率；用，表示结果
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．
参考答案
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15.解：设等比数列的公比为，
由，，得，
解得，则；
，，
则数列的前项和，
，
两式作差可得，
，
则．
16.解：证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以，
在中，，，
由余弦定理可得
，
所以，所以，
又，，平面，
所以平面，
所以平面．
因为，平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，
所以，
又是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：因为为垂直平分线上的点，
所以，
因为，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，
解得，，
则，
故动点的轨迹方程为；
证明：设，，
当直线斜率不存在时，
由椭圆的对称性可知，，，
因为以为直径的圆经过坐标原点，
所以，
此时，
即，
因为点在曲线上，
所以，
所以，
则点到直线距离；
当直线斜率存在时，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
此时，
因为以为直径的圆过坐标原点，
所以，
所以，
即，
因为，，
整理得，
则点到直线的距离为．
综上可知，点到直线的距离为定值，定值为．
18.证明：由题意，，
令，则，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
函数在区间上单调递增；
当时，，由知，当时，，
即，；
由知，，对于恒成立，
由此，，，，，，，
，
故．
19.解：因为，所以，
所以的分布列为：
所以；
记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，
则，，，，
所以
，
所以；
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知，则，
则，
设，则，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，即当且仅当时取等号，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以．
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