四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

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蜀光中学高2024级高一上期中考试
数学试卷
本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
【注意事项】1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷上.考试结束后，只将答题卷交回.
2、试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.
3、试卷中的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卷上各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.不能答在试题卷上.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知命题：，，则命题的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
3. 对，使恒成立的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
4. 如图为函数和的图象，则不等式的解集为（　　）
A. B.
C. D.
5. 若，则，，的大小关系是（）
A B. C. D.
6. 若，，，则的最小值为（）
A. 8 B. 9 C. 18 D. 24
7. 已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（）
A. B.
C. D.
8. 已知则下列选项错误的是（）
A.
B
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列运算中正确的是（）
A. B.
C. D. （x，y，）
10. 函数满足：对于定义域内的任意两个实数，都有成立，则称其为函数．下列函数为函数的是（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数，下列说法正确的是（）．
A. 函数的图象恒过定点
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上的最小值为0
D. 若对任意恒成立，则实数取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数经过点，则______.
13. 函数的单调递增区间是________．
14. 若命题“，成立.”是真命题，则实数a的取值范围是________
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设，函数.
（1）若函数是奇函数，求的值；
（2）若，求函数的定义域和值域.
16. 已知关于x的不等式的解集为不等式的解集为A
（1）求集合A;
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
17. 某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元.
（1）该车运输几年开始盈利 （即总收入减去成本及维护费用的差为正值）
（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算 请说明理由.
18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）类比上述推广结论，写出“函数图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论，不需要证明；
（2）若定义在R上的函数的图象关于直线对称，且当时，．
①比较，，的大小；
②求不等式的解集．
19. 已知的定义域为，对，，都有，当时，，且.
（1）求和的值；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围.
蜀光中学高2024级高一上期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】A
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.
【答案】BC
10.
【答案】AB
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义可得，建立方程，解之可得，验证即可；
（2）由题意可得，根据指数函数的性质即可求解.
【小问1详解】
若为奇函数，则，
得，整理得，解得.
经检验，当时，符合题意.
所以.
【小问2详解】
当时，，
由，得，即的定义域为；
，
又，所以，
令，则，得，
解得或，
即的值域为.
16.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程根的关系可得，即可利用因式分解求解，
（2）根据充分不必要条件转化为 ,即可求解.
【小问1详解】
由不等式的解集为可知是的两个实数根，故且，解得，
所以为，变形为，
解得，
故不等式的解为，即
【小问2详解】
由于“”是“”的充分不必要条件，故 ,
若，则，满足，
若，则，则，
则，解得或，
综上可得或或
17.
【解析】
【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利.
（2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算.
【小问1详解】
由题意可得，即，
解得，
，
该车运输3年开始盈利.；
【小问2详解】
该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万）；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万），
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
18.
【解析】
【分析】（1）由已知可类比写出结论；
（2）①根据函数的单调性的定义证得在上递增．再由对称性得在上递减．由此可比较大小.
②由函数的对称性建立不等式，解之可得答案．
【详解】解：（1）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．
（2）①设，则，
∵，∴，，
∴，∴在上递增．
由的图象关于直线对称，∴在上递减．
又，∴．
②因所以，
即，所以不等式的解集为．
19.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法令即可求出，再令，即可求出；
（2）假设且，，赋值，，代入计算得即可证明其单调性；
（3）对原不等式化简整理得，再进行等价转化，代入端点值得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
令代入中，
则；
令，代入中，，
而，则
【小问2详解】
在上单调递增.
证明：假设且，，则，
令，，,
代入中，
故
，
即：.即：函数在上单调递增.
【小问3详解】
由
又且，故：
又因为函数在上单调递增，
故等价于，
使得成立.即：.
令，则，
即：，则.
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