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《8.4 钉子板上的多边形》教学设计
课题 钉子板上的多边形 单元 第八单元 学科 数学 年级 五年级
教材分析 这是探索规律的专题活动。教材以钉子板上的多边形为研究对象，引导学生通过观察、猜测、验证等活动，探索多边形的面积与边上钉子数、内部钉子数之间的关系。例题从简单的多边形入手，逐步增加难度。例如，先研究内部只有1颗钉子的三角形、四边形等，让学生观察并记录图形的面积和边上钉子数。接着研究内部钉子数增加的情况，引导学生发现规律。
学习目标 1.学习目标描述：使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用含有字母的式子表示关系。2.学习内容分析：在学习本课之前，学生已经认识了多边形，包括三角形、四边形、五边形等，掌握了多边形的基本特征，具备一定的图形观察、分析和计算能力，如计算多边形的面积、周长等。对钉子板有一定的接触和了解，知道可以在钉子板上围出各种图形。教材引导学生通过动手操作、观察比较和分析思考，探索并发现钉子板上围出的多边形面积的一些有趣规律，鼓励他们用含有字母的式子表示发现的规律，帮助他们进一步感受字母表示数的意义和价值，提高对图形与几何问题的学习兴趣。学习本课为进一步学习平面图形的性质和规律奠定基础，如探索更复杂图形的面积计算方法。3.学科核心素养分析：学会在钉子板上绘制和识别多边形，培养学生的空间想象能力，提高学生对几何图形的认知。培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，将数学知识与生活实际相结合，激发学生学习数学的兴趣。
重点 引导学生发现钉子板上多边形的面积与边上钉子数、内部钉子数之间的关系；掌握探究问题的方法和步骤。
难点 发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形内部钉子数之间的规律，对复杂多边形的分析和规律的归纳。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：同学们，知道我们今天要学习什么吗？课件出示：师：这就是一个钉子板，在二年级时我们利用钉子板认识多边形。为了研究方便，我们可以把钉子板简化一下，用这样的点子图来代替钉子板，而且规定两个点子之间的距离是1厘米。课件出示：师指出：每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。课件出示：师：这个图形有几个面积单位？你是怎么知道的？师拿出钉子板说用橡皮筋在钉子板上围出了几个多边形，然后提问：你觉得它们的面积一样吗？课件出示：师：你们觉得钉子板上多边形的面积大小可能与什么有关系？师：大家都觉得围的多边形的面积越大所用的钉子会越多，这只是一种非常好的感觉，但学习数学不能只靠感觉，今天我们就要通过学习活动，来探讨钉子板上多边形的面积与钉子数之间的关系。板书课题：钉子板上的多边形 学生独自观察，然后回答：有4个面积单位，因为这个图形可以分割成4个小正方形。学生独自观察，然后回答：不一样。学生根据自己的认知回答：与钉子板上钉子的数量多少有关。 通过复习旧知，引发学生的感知，并通过判断多边形面积的大小，让学生自然地进入学习的主题，引发学生的思考，激励学生的探究欲望。
讲授新课 任务一：探索多边形内有1枚钉子的规律师：刚才大家都认为钉子板上多边形的面积可能与钉子数有关系，那它们之间存在怎样的关系？这个问题有点复杂。遇到复杂的问题，我们不妨从简单的情况开始研究。课件出示：下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，将结果填入表中，再与同学说说你的想法。师：分小组完成，并把结果填入教材第108页的表格中。师：观察表中的数据，想一想多边形的面积和它边上的钉子数有怎样的关系？分组交流自己的发现。师巡视知道，然后提问：你们发现什么了？师：大家还有什么发现吗？师：这些图形还有什么共同特点？引导学生观察得出：图形内都只有1枚钉子。师：多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数有什么关系？根据学生的回答，课件出示：多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2师：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。当多边形内只有1枚钉子时， 用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？ 学生分小组完成，然后展示。学生分组交流。学生1：这些多边形， 边上的钉子数越多，面积就越大。学生2：图形①边上钉子数是 4，面积是2平方厘米；图形②……学生：这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子数的一半。学生自由说说。学生：S=n÷2。 第一次探究主要是让学生经历观察简单的图形，填表比较。让学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维。尝试用字母表示发现规律，让学生体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
任务二：探索多边形内有2枚钉子的规律师：多边形内有1枚钉子的时候是有规律的，如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数有什么关系呢？回想一下刚才我们的研究过程，你觉得我们可以怎样去研究？师：既然要画图，大家知道画的图有什么要求吗？师：小组合作，先在点子图上确定2个点，然后再用图形把它们围起来，然后数一数边上的钉子数和面积是多少。课件出示——学习任务：小组合作，先在钉子板上围出内部有2枚钉子的不同多边形，再完成教材第109页的表格，并与小组的同伴说说你的发现。 师巡视指导，然后提问：你们小组有什么发现？ 师：当多边形内有2枚钉子时，你能用含有字母的式子把表示多边形面积与它边上钉子数关系的式子填写完整吗？课件出示：当多边形内有 2 枚钉子时，S=_________师：联系上面推想出的规律，如果多边形内有3枚、4枚……钉子，它的面积与它边上钉子数的关系会怎样变化？如果多边形内没有钉子呢？先在小组里说说自己的想法，如果你能推想出规律，那就直接写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚、4枚……钉子的多边形，再数一数、算一算，看看有什么规律。师巡视指导并了解小组完成情况，然后提问：你们得出结论了吗？课件出示——汇报结论的格式：我画出的多边形内的钉子数是（ ），这个图形的面积是（ ），这个图形边上的钉子数是（ ）。确认：当多边形内钉子数是（ ）时，面积S就等于（ ）。师：像这样推理下去，你们有没有想到把这些规律再合成一条规律呢？当多边形内有a枚钉子时，S=？师：同学们，今天我们通过对多边形内有1枚、2枚、3枚、4枚钉子的多边形的研究，发现多边形的面积单位的个数与钉子数之间的关系，并归纳推理出一般公式，当多边形内有a枚钉子时，S=n÷2+（a－1），这一公式对于多边形内有5枚、6枚、7枚……甚至更多钉子时是否成立，我们还需举例验证。 学生：要先画图，再填表，然后观察比较，发现规律。 学生：多边形内要有2枚钉子。学生分组完成，并交流自己的发现。学生：我发现多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2 +1。学生：S=n÷2+1。学生分组交流，并进行验证或算一算。学生分组汇报。学生独自思考，然后回答：S=n÷2+（a－1）。 这次主要研究图中有2枚钉子的规律，首先教师带领学生回忆一下第一次探究的过程，让学生了解自己的活动过程。同时设计增加了教师指导学生画图的环节，让学生知道自己如何才能画出符合要求的多边形，提高活动的有效性。这次探究是在第一次由教师引导的探究逐步到半扶半放的状态，给学生充足的活动时间和空间，鼓励学生独立思考交流。 借助学生已有的知己经验，引导学生从点到面进行探究，让学生经历“猜想——验证——得出结论”的过程发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形内部钉子数之间的规律，使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，提高学习数学的兴趣和积极性。
任务三：反思总结师：回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？ 学生1：要善于从不同的多边形中找到它们的相同点。学生2：用含有字母的式子表示规律，简明易记。学生3：探索规律时，要认真观察、反复比较，发现规律后要验证。 引导学生回顾探索和发现规律的过程，说说自己的体会，帮助他们进一步明确多边形的面积与边上钉子数和多边形内部钉子数之间的规律，初步总结探索规律的方法和要注意的地方。
课堂练习 基础题：1.下面是用橡皮筋在钉子板上围成的图形， 每个图形的内部都只有1枚钉子。用式子表示图形的边经过的钉子数n和图形的面积S之间的关系。2. 下面每个图形的内部都只有2枚钉子。 用式子表示图形的边经过的钉子数n和图形的面积S之间的关系。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固并进行有效应用。
提高题：3.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。已知钉子板上的六边形边上共有6枚钉子，且内部只有2枚钉子，则该六边形的面积是多少平方厘米？
拓展题 4.下图钉子板中多边形的面积是多少平方厘米？代入公式算算。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 钉子板上的多边形当多边形内只有1枚钉子时，S=n÷2当多边形内有2枚钉子时，S=n÷2+1当多边形内有3枚钉子时，S=n÷2+2……当多边形内有a枚钉子时，S=n÷2+（a－1） 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.如果多边形内有4枚钉子，它的面积S与边上的钉子数的关系是（ ）。A.S=n÷2 B.S=n÷2+1 C.S=n÷2+2 D.S=n÷2+32.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。已知钉子板上的多边形边上共有10枚钉子，且内部只有3枚钉子，则该多边形的面积是多少平方厘米？选做题：1.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。已知钉子板上的多边形边上共有13枚钉子，且内部只有6枚钉子，则该多边形的面积是多少平方厘米？2.每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米，钉子板上的十二边形内部有4枚钉子，其面积为12平方厘米。该十二边形边上有多少枚钉子？
【综合实践类作业】动手围一围，如果用4枚钉子，在钉子板上围一个多边形，你能围出几种不同的图形，面积是多少？
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8.4
钉子板上的多边形
（苏教版）五年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
任务一
04
任务二
05
拓展延伸
06
课堂练习
07
课堂小结
08
作业布置
09
板书设计
01
教学目标
使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系,并尝试用含有字母的式子表示关系。
01
02
学会在钉子板上绘制和识别多边形，培养学生的空间想象能力，提高学生对几何图形的认知。
03
培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，将数学知识与生活实际相结合，激发学生学习数学的兴趣。
02
新知导入
这就是一个钉子板，在二年级时我们利用钉子板认识多边形。
02
新知导入
为了研究方便，我们可以把钉子板简化一下，用这样点子图来代替钉子板，而且规定两个点子之间的距离是1厘米。
小
提
示
每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。
02
新知导入
这个图形有几个面积单位？你是怎么知道的？
这个图形可以分割成4个小正方形
这个图形有4个面积单位。
02
新知导入
1 cm
1 cm
你觉得它们的面积一样吗？
不一样。
02
新知导入
你们觉得钉子板上多边形的面积大小可能与什么有关系？
与钉子板上钉子的数量多少有关。
学习任务一
探索多边形内有1枚钉子的规律
03
任务一
下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，将结果填入表中，再与同学说说你的想法。
03
任务一
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
③
④
2
4
3
6
3.5
7
4
8
03
任务一
观察表中的数据，想一想多边形的面积和它边上的钉子数又怎样的关系？
这些多边形，边上的钉子数越多，面积就越大。
03
任务一
观察表中的数据，想一想多边形的面积和它边上的钉子数又怎样的关系？
图形①边上钉子数是 4，面积是2平方厘米；图形②……
03
任务一
×2
这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子数的一半。
03
任务一
这些图形还有什么共同特点？
图形内都只有1枚钉子。
03
任务一
多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数有什么关系？
多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2
当多边形内只有1枚钉子时， 用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么：
S=n÷2
学习任务二
探索多边形内有2枚钉子的规律
04
任务二
如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又什么关系呢？
回想一下刚才我们的研究过程，你觉得我们可以怎样去研究
画图
填表
观察比较，发现规律
04
任务二
学习任务：
小组合作，先在钉子板上围出内部有2枚钉子的不同多边形，再完成教材第109页的表格，并与小组的同伴说说你的发现。
04
任务二
1 cm
1 cm
04
任务二
图形编号 多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
①
②
③
④
10
6
9
5.5
4
3
8
5
04
任务二
你们小组有什么发现？
÷2+1
我发现多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2+1。
04
任务二
当多边形内有2枚钉子时，你能用含有字母的式子把把表示多边形面积与它边上钉子数关系的式子填写完整吗？
当多边形内有2枚钉子时，S=________________________
n÷2+1
04
任务二
联系上面推想出的规律，如果多边形内有3枚、4枚……钉子，它的面积与它边上钉子数的关系会怎样变化？如果多边形内没有钉子呢？
学习任务：
先在小组里说说自己的想法，如果你能推想出规律，那就直接写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚、4枚……钉子的多边形，再数一数、算一算，看看有什么规律。
04
任务二
你们得出结论了吗？
汇报结论的格式：
我画出的多边形内的钉子数是（ ），这个图形的面积是（ ），这个图形边上的钉子数是（ ）。
确认：当多边形内钉子数是（ ）时，面积S就等于（ ）。
04
任务二
图形编号 多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
①
②
③
10
7
7
5.5
9
6.5
÷2+2
当多边形内有3枚钉子时，S=________________________
n÷2+2
04
任务二
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
②
图形编号 多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
①
②
8
7
12
9
÷2+3
当多边形内有4枚钉子时，S=________________________
n÷2+3
04
任务二
当多边形内只有1枚钉子时，S=n÷2
当多边形内有2枚钉子时，S=n÷2+1
当多边形内有3枚钉子时，S=n÷2+2
……
当多边形内有a枚钉子时，S=________________________
n÷2+（a－1）
04
任务二
当多边形内有a枚钉子时，S=n÷2+（a－1），这一公式对于多边形内有5枚、6枚、7枚……甚至更多钉子时是否成立，我们还需举例验证。
学习任务三
反思总结
05
任务三
回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？
要善于从不同的多边形中找到它们的相同点。
用含有字母的式子表示规律，简明易记。
探索规律时，要认真观察、反复比较，发现规律后要验证。
06
课堂练习
基础题：
1.下面是用橡皮筋在钉子板上围成的图形, 每个图形的内部都只有1枚钉子。
用式子表示图形的边经过的钉子数n和图形的面积S之间的关系。
S=n÷2
06
课堂练习
基础题：
2. 下面每个图形的内部都只有2枚钉子。
用式子表示图形的边经过的钉子数n和图形的面积S之间的关系。
S=n÷2+1
06
课堂练习
提高题：
3.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。已知钉子板上的六边形边上共有6枚钉子，且内部只有2枚钉子，则该六边形的面积是多少平方厘米？
S=n÷2+1
=6÷2+1
=3+1
=4
答：该六边形的面积是4平方厘米。
06
课堂练习
拓展题：
4.下图钉子板中多边形的面积是多少平方厘米？代入公式算算。
S=n÷2+（a－1）
=7÷2+（4－1）
=3.5+3
=6.5
答：钉子板中多边形的面积是6.5平方厘米。
【知识技能类作业】
必做题：
1.如果多边形内有4枚钉子，它的面积S与边上的钉子数的关系是（ )。
07
作业设计
A.S=n÷2
B.S=n÷2+1
C.S=n÷2+2
D.S=n÷2+3
D
07
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
2.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。已知钉子板上的多边形边上共有10枚钉子，且内部只有3枚钉子，则该多边形的面积是多少平方厘米？
S=n÷2+（a－1）
=10÷2+（3－1）
=5+2
=7
答：该多边形的面积是7平方厘米。
07
作业设计
【知识技能类作业】
选做题：
1.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。已知钉子板上的多边形边上共有13枚钉子，且内部只有6枚钉子，则该多边形的面积是多少平方厘米？
S=n÷2+（a－1）
=13÷2+（6－1）
=6.5+5
=11.5
答：该多边形的面积是11.5平方厘米。
【知识技能类作业】
选做题：
2.每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米，钉子板上的十二边形内部有4枚钉子，其面积为12平方厘米。该十二边形边上有多少枚钉子
07
作业设计
解：设该十二边形边上有x枚钉子。
12=x÷2+（4－1）
x÷2=9
x=18
答：该十二边形边上有18枚钉子。
08
课堂小结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了多边形的面积与边上钉子数和多边形内部钉子数之间的规律。
我还知道了当多边形内有a枚钉子时，S=n÷2+（a－1）。
09
作业布置
【综合实践类作业】
动手围一围，如果用4枚钉子，在钉子板上围一个多边形，你能围出几种不同的图形，面积是多少？
10
板书设计
钉子板上的多边形
当多边形内只有1枚钉子时，S=n÷2
当多边形内有2枚钉子时，S=n÷2+1
当多边形内有3枚钉子时，S=n÷2+2
……
当多边形内有a枚钉子时，S=n÷2+（a－1）
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