四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

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蜀光中学高2023级高二上期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 圆，圆，则圆与圆的位置关系为（　　）
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
2. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
3. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）
A. B. C. D.
4. 椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（　　）
A. B. 2 C. D. 4
5已知直线，双曲线，则（）
A. 直线与双曲线有且只有一个公共点
B. 直线与双曲线的左支有两个公共点
C. 直线与双曲线的右支有两个公共点
D. 直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
6. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为（　　）
A. B. C. D.
8. 已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，已知点，是以OD为直径的圆上的一段圆弧，是以BC为直径的圆上的一段圆弧，是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段圆弧构成曲线，则（　　）
A. 曲线与轴围成的面积等于
B. 与公切线的方程为
C. 所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为
D. 所在圆截直线所得弦的弦长为
11. 已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（）
A. 离心率的取值范围为
B. 不存点，使得
C. 当时，的最大值为
D. 的最小值为1
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则_______.
13. 在平面直角坐标系中，已知点点轨迹为.则的方程为________.
14. 已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
（1）求圆方程；
（2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
16. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．
①求应从和学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件A的概率．
17. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积.
18. 如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.
（1）求证:CD平面PAD;
（2）求二面角的余弦值;
（3）设点G在线段PB上，且直线AG在平面AEF内，求的值.
19. 已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为，过点且平行于的直线与椭圆交于，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.
①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
②求四边形面积的取值范围.
蜀光中学高2023级高二上期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D
2. A
3. A
4. D
5. C
6. A
7. A
8. B
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABD
10. BC
11. ABC
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13.
14.##0.5
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【1】
由题意，设圆心，半径，
∵圆M经过点，∴，
∵圆M与直线相切，
∴圆心到直线距离，
∴，化简，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的方程为．
【2】
由题意，圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离由，解得，
则直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
16.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1列方程，可得实数的值，进而求平均数；
（2）①根据频率分布直方图得和的面积之比，进而根据比例抽样即可；
②列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间有11种，即可得解.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得，解得；
所以估算这40名学生测试成绩的平均数为
；
【小问2详解】
①由图可得和这两组的频率之比为，
故应从学生中抽取的学生人数为（人），
应从学生中抽取的学生人数为（人）；
②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，
则这个试验的样本空间
，则；
又，则，
故.
17.
【解析】
【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出，结合渐近线方程即可求出双曲线方程；
（2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长和点到直线的距离，即可求出的面积.
【小问1详解】
由双曲线的一条渐近线方程为，所以，
故到渐近线的距离，
所以，又，所以，
故的方程为.
【小问2详解】
设点，因为是弦的中点，则
由于，所以两式相减得，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
联立消去并整理，得，
所以，且，
所以.
点到直线的距离为，
所以的面积为.
18.
【解析】
【分析】（1）证明PACD，ADCD，证明CD平面PAD；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，写出平面AEF的法向量，计算二面角的余弦；
（3）设，用表示，由与垂直，建立方程，解出.
【小问1详解】
因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，
所以PACD，又因为ADCD，PAAD=A，PA，AD平面PAD，
所以CD平面PAD；
【小问2详解】
过点A作AD的垂线交BC于点M，
因为PA平面ABCD，AM，AD平面ABCD，
所以PAAM，PAAD，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为E为PD中点，所以，
所以，，，
所以，，
设平面AEF的法向量为，则
，即，取，
又因为平面PAD的一个法向量为，
所以，
由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
因为点G在PB上，设，，，，
由得，
即，所以，
由（2）知，平面AEF法向量为，
因为直线AG在平面AEF内，，得，
综上，的值为.
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到椭圆方程；
（2）①联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，先表示出直线的斜率，然后表示出直线的方程，即可得到定点坐标；②由椭圆的弦长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到四边形面积的取值范围.
【小问1详解】
由已知得：，
在方程中，令，则，故
所以，故椭圆的方程为：.
【小问2详解】
设，当直线斜率存在时，设
由得：，故，
①由已知，所以直线的斜率为
则直线的方程为：，即：
注意到：由韦达定理有：
，
所以:
故直线的方程为：，所以直线过定点，
②当斜率存在且斜率，
则
同理以替代得:
，
因为：，当且仅当时，即时，等号成立，
，当轴时，，故.
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