26.1二次函数 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 26.1二次函数 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 393.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-11 16:56:58 | ||
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文档简介
第26章 二次函数
26.1 二次函数
一、教学目标
1.探索并归纳二次函数的定义
2.会列二次函数表达式解决实际问题
二、教学重难点
重点：理解并掌握二次函数的概念和一般形式
难点：会列二次函数表达式解决实际问题
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]课件展示图片
[提出问题] 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
学生回顾旧知：我们前面学习过一次函数：y=kx＋b (k，b是常数，k≠0)，反比例函数y=k/x，一次函数的图象为直线，反比例函数的图象为双曲线，那像图片中这样的一条曲线是什么函数呢？
教师活动：学了这节内容,问题便会迎刃而解.板书课题：第26章 二次函数 26.1二次函数
【新知探究】
（一）二次函数的定义
[提出问题]问题1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
将计算结果写在下表的空格中：
从所填的表格中,你能发现什么 能作出怎样的猜想
[交流讨论]小组之间交流讨论.动手作答：
解：如图，设围成的矩形花圃为 ABCD，靠墙的一边为 AD，垂直于墙面的两边分别为AB 和 CD.设 AB 长为 x m (0＜x＜10)，先取 x 的一些值，进而可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y m2.填表格如下：
我们发现，当 AB 的长 x 确定后，矩形的面积 y也就随之确定，即 y 是 x 的函数，写出这个函数的关系式为y=x(20-2x)(0＜x＜10)，即y=-2x2+2x(0＜x＜10).
[提出问题]问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低多少时,其每天的销售利润最大
[教师引导]分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.
[交流讨论]小组之间交流讨论，列出函数关系式：
根据题意，求出这个函数关系式为y=(10-x-8)(100+100x)(0≤x≤2)，
即y=100x2+100x+200(0≤x≤2).
[课件展示]观察两个函数表达式的共同点:
（1）y=-2x2+2x；
（2）y=100x2+100x+200.
引导： (1) 函数表达式中的各项都是整式；
(2) 函数自变量的最高次为2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.
[归纳总结]二次函数的定义：形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
注意：
（1）a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.
（2）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
（3）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（4）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
[过渡]二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)；
二次函数的特殊形式：若b=0可以写成y=ax +c，若c=0，可以写成y=ax +bx，
若b=0且c=0，可以写成y=ax .
[课件展示]典型例题：例 y=（m+3）xm -7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是二次函数？
[交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论，回答问题：（1）由题可知解得.（2）由题可知得.
[课件展示]随堂练习：
1.下列函数中,哪些是二次函数
2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3)；
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2；
(3)y=-2(x+3)2.
[师生互动]教师提问，学生积极回答问题.
PPT展示答案：1.(1)是(2)不是(3)是(4)不是
2.(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6；
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6；
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
（二）列简单的二次函数关系式
[提出问题]问题3：两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的关系式吗
[学生回答]解：y=x(20-x)=-x2+20x.
[提出问题]问题4：已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
[学生回答]解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
[提出问题]问题1、问题2中两个函数的自变量的取值范围不同，问题3、问题4中的两个函数的表达式相同，由此我们可以得出什么结论？
[学生交流]小组之间交流讨论.
[归纳总结]1.同一个函数可以表达不同的实际意义；
2.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体；
3.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义.
【课堂小结】
一、二次函数的定义
二次函数的一般形式：y=ax +bx+c.
二次函数的特殊形式：y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c.
(a≠0，a,b,c是常数）
等号左边是变量y，右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a≠0.
二、列简单的二次函数关系式
同一个函数可以表达不同的实际意义.
三、二次函数的自变量取值范围
1.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体；
2.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义.
【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.
【布置作业】
【板书设计】
第26章 二次函数
26.1二次函数
1.二次函数的定义
（1）二次函数的一般形式：y=ax +bx+c.
（2）二次函数的特殊形式：y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c.
(a≠0，a,b,c是常数）
2.列简单的二次函数关系式
3.二次函数的自变量取值范围
【教学反思】
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的表达式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
26.1 二次函数
一、教学目标
1.探索并归纳二次函数的定义
2.会列二次函数表达式解决实际问题
二、教学重难点
重点：理解并掌握二次函数的概念和一般形式
难点：会列二次函数表达式解决实际问题
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]课件展示图片
[提出问题] 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
学生回顾旧知：我们前面学习过一次函数：y=kx＋b (k，b是常数，k≠0)，反比例函数y=k/x，一次函数的图象为直线，反比例函数的图象为双曲线，那像图片中这样的一条曲线是什么函数呢？
教师活动：学了这节内容,问题便会迎刃而解.板书课题：第26章 二次函数 26.1二次函数
【新知探究】
（一）二次函数的定义
[提出问题]问题1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
将计算结果写在下表的空格中：
从所填的表格中,你能发现什么 能作出怎样的猜想
[交流讨论]小组之间交流讨论.动手作答：
解：如图，设围成的矩形花圃为 ABCD，靠墙的一边为 AD，垂直于墙面的两边分别为AB 和 CD.设 AB 长为 x m (0＜x＜10)，先取 x 的一些值，进而可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y m2.填表格如下：
我们发现，当 AB 的长 x 确定后，矩形的面积 y也就随之确定，即 y 是 x 的函数，写出这个函数的关系式为y=x(20-2x)(0＜x＜10)，即y=-2x2+2x(0＜x＜10).
[提出问题]问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低多少时,其每天的销售利润最大
[教师引导]分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.
[交流讨论]小组之间交流讨论，列出函数关系式：
根据题意，求出这个函数关系式为y=(10-x-8)(100+100x)(0≤x≤2)，
即y=100x2+100x+200(0≤x≤2).
[课件展示]观察两个函数表达式的共同点:
（1）y=-2x2+2x；
（2）y=100x2+100x+200.
引导： (1) 函数表达式中的各项都是整式；
(2) 函数自变量的最高次为2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.
[归纳总结]二次函数的定义：形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
注意：
（1）a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.
（2）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
（3）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（4）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
[过渡]二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)；
二次函数的特殊形式：若b=0可以写成y=ax +c，若c=0，可以写成y=ax +bx，
若b=0且c=0，可以写成y=ax .
[课件展示]典型例题：例 y=（m+3）xm -7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是二次函数？
[交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论，回答问题：（1）由题可知解得.（2）由题可知得.
[课件展示]随堂练习：
1.下列函数中,哪些是二次函数
2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3)；
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2；
(3)y=-2(x+3)2.
[师生互动]教师提问，学生积极回答问题.
PPT展示答案：1.(1)是(2)不是(3)是(4)不是
2.(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6；
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6；
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
（二）列简单的二次函数关系式
[提出问题]问题3：两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的关系式吗
[学生回答]解：y=x(20-x)=-x2+20x.
[提出问题]问题4：已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
[学生回答]解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
[提出问题]问题1、问题2中两个函数的自变量的取值范围不同，问题3、问题4中的两个函数的表达式相同，由此我们可以得出什么结论？
[学生交流]小组之间交流讨论.
[归纳总结]1.同一个函数可以表达不同的实际意义；
2.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体；
3.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义.
【课堂小结】
一、二次函数的定义
二次函数的一般形式：y=ax +bx+c.
二次函数的特殊形式：y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c.
(a≠0，a,b,c是常数）
等号左边是变量y，右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a≠0.
二、列简单的二次函数关系式
同一个函数可以表达不同的实际意义.
三、二次函数的自变量取值范围
1.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体；
2.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义.
【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.
【布置作业】
【板书设计】
第26章 二次函数
26.1二次函数
1.二次函数的定义
（1）二次函数的一般形式：y=ax +bx+c.
（2）二次函数的特殊形式：y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c.
(a≠0，a,b,c是常数）
2.列简单的二次函数关系式
3.二次函数的自变量取值范围
【教学反思】
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的表达式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.