27.2.1 点与圆的位置关系 教案 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
一、教学目标
1.理解点与圆的三种位置关系，并能判断点与圆的位置关系；
2.探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的结论；
3.会过不在同一条直线上的三个点作圆；
4.了解三角形外接圆的概念及外心的性质.
二、教学重难点
重点：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系；
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
难点：1.理解点与圆的位置关系所对应的圆的半径与点到圆心的距离之间的数量关系；
2.利用三角形外接圆解决有关问题.
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
【新知探究】
（一）点和圆的位置关系
[提出问题]
问题1 观察图中点和圆的位置关系有哪几种？
[归纳总结]点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2 设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
点P在⊙O内d＜r
点P在⊙O上d=r
点P在⊙O外d＞r
【例1】⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是点A在 圆内 ，点B在 圆上 ，点C在 圆外 .
【例2】圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（ ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
[归纳总结]
点和圆的位置关系：
点P在⊙O内d＜r
点P在⊙O上d=r
点P在⊙O外d＞r
点P在圆环内r≤d≤R
数形结合：位置关系数量关系
【例3】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.
(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A内；
∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上；
∵AC＝＝5cm＞4cm，∴点C在⊙A外．
（2）观察图片，则点B一定在圆内，点C一定在圆外．∴3cm＜r＜5cm.
（二）过不在同一直线上的三点作圆
[提出问题]
问题1 经过已知点A作圆，这样的圆你能作出多少个？
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
问题2 经过已知点A，B作圆，这样的圆你能作出多少个？圆心分布有什么特点？
经过平面内两个点可以作无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上．
问题3 经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如何确定这个圆的圆心？
[分组讨论]小组之间交流讨论.得出结论:点A，B，C不在同一条直线上，因为所求作的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上．
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
[归纳总结]
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
【例4】如图是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
解：(1)在圆轮所在的圆弧上任取三点A，B，C，并连结AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线DE，FG，DE，FG相交于点O；
(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O就是圆轮所在的圆.
（三）三角形的外接圆及外心
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
1.三角形的外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.
注意：任意一个三角形都有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形.
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
【例5】下列说法是否正确.
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( × )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ )
【例6】如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是 5 cm，求△ABC的外接圆的半径．
【解析】由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB，过点 O 作 OD⊥BC，易得 BD＝12 cm.由此可求它的外接圆的半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC.
则OD＝5 cm，
在Rt△OBD 中，
即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm.
【课堂小结】
一、点和圆的位置关系
点P在⊙O上OP=r;
点P在⊙O内OP＜r;
点P在⊙O外OP＞r.
二、过不在同一直线上的三点作圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
三、三角形的外接圆及外心
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.
【课堂训练】
1.若⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，2)，则点P与⊙O的位置关系是(　B　)
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或在⊙O外
2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图)，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( A )
A．① B．② C．③ D．④
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为(1，3)，(5，3)，(1，－1)，则△ABC外接圆的圆心坐标是( B )
A．(1，3) B．(3，1) C．(2，3) D．(3，2)
4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= 5 .
5.若点O为△ABC的外心，∠BOC=50°，则∠BAC等于 25°或155° ．
6如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°.
(2)∵点D的坐标是(0，3)，
∴OD＝3.在Rt△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝，
AD＝2OD＝6，
∴点A的坐标是(，0)．
∵∠AOD＝90°，
∴AD是圆的直径，
∴△AOB外接圆的面积是9π.
【布置作业】
【板书设计】
27.2 与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
2.过不在同一直线上的三点作圆
3.三角形的外接圆及外心
【教学反思】
教学过程中，从实际问题导入新课，通过观察得到点和圆的位置关系，从而能够总结出规律，通过探究得到三个点不在同一条直线上时，只能作一个圆，使学生亲身经历知识的探究过程．
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.