26.1二次函数 课件(共19张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共19张PPT)
第26章　二次函数　
26.1 二次函数 　
华师大版-数学-九年级下册
学习目标
【重点】理解并掌握二次函数的概念和一般形式.
【难点】会列二次函数表达式解决实际问题.
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．会列二次函数表达式解决实际问题.
新课导入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
新知探究
问题1： 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个
矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
解：如图，设围成的矩形花圃为 ABCD，靠墙的一边为 AD，垂直于墙面的两边分别为AB 和 CD.设 AB 长为 x m (0＜x＜10)，先取 x 的一些值，进而可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y m2.
知识点 二次函数的定义
1
A D
B C
新知探究
AB的长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC的长(m) 12
面积y(m2) 48
18
16
14
10
8
6
4
2
18
32
42
50
48
42
32
18
将计算结果写在下表的空格中：
从所填的表格中,你能发现什么 能作出怎样的猜想
我们发现，当 AB 的长 x 确定后，矩形的面积 y也就随之确定，即 y 是 x 的函数，写出这个函数的关系式为y=x(20-2x)(0＜x＜10)，即y=-2x2+2x(0＜x＜10).
新知探究
问题2： 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低多少时,其每天的销售利润最大
分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.
根据题意，求出这个函数关系式为
y=(10-x-8)(100+100x)(0≤x≤2)，
即y=100x2+100x+200(0≤x≤2).
想一想，为什么要限定0≤x≤2？
新知探究
观察两个函数关系式，它们有什么共同点？
（1）y=-2x2+2x;
（2）y=100x2+100x+200.
(1) 函数关系式中的各项都是整式；
(2) 函数自变量的最高次为2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.
新知探究
二次函数的定义：
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.
注意：
（1）a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.
（2）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
（3）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（4）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
归纳总结：
若 b=0， 可以写成__________________;
若 c=0， 可以写成__________________;
若b=0且c=0，可以写成__________________.
y=ax +c
y=ax +bx
y=ax
二次函数的一般形式：
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
新知探究
例
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知
解得
（2）由题可知
解得
m=3.
注意： 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
新知探究
典型例题：
新知探究
随堂练习：
1.下列函数中,哪些是二次函数
是
不是
是
不是
新知探究
2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
(3)y=-2(x+3)2.
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
新知探究
问题3：两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的关系式吗
问题4：已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
知识点 列简单的二次函数关系式
2
解：y=x(20-x)=-x2+20x.
解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
新知探究
归纳总结：
【意义】同一个函数可以表达不同的实际意义
【自变量】1.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体；
2.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义.
课堂小结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
课堂训练
1.（2023北京）下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A.y=ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝－3x2
2. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，
一次项系数b，常数项c分别是(　　)
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
D
课堂训练
3.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
4. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为(　　)
A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
C
A
课堂训练
5. 已知函数 y = 3x2m-1－5
① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数.
1
课堂训练
6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).