26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质 课件(共24张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共24张PPT)
第26章　二次函数　
26.2 二次函数的图象与性质 　
华师大版-数学-九年级下册
1 二次函数y=ax2的图象与性质 　
学习目标
【重点】理解抛物线的有关概念，掌握二次函数y=ax2的图象与性质.
【难点】会用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及
理解掌握它的性质.
1．正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点.
3.掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会应用.
新课导入
我们知道，一次函数的图象是 .
反比例函数的图象是 .
那么，二次函数的图象是什么？它有什么特点？反映了二次函数的哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数y=ax2的图象与性质.
你还记得描点法画函数图象的步骤吗？
1.列表 2.描点 3.连线
一条直线
两支曲线
新知探究
例1： 画出二次函数y=x2的图象.
知识点 二次函数y=ax2的图象与性质
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
新知探究
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
新知探究
对于二次函数 y = x2 的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
（2）图象与 x 轴有交点吗？如果有， 交点坐标是什么？
图象与x轴有交点，交点在原点(0，0).
新知探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
（3）当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？
当 x > 0 时呢？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
（4）当 x 取何值时，y 的值最小？
最小值是什么？你是如何知道的？
从图象中可以看出当x=0时, y有最小值0.
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
图象关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
新知探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
当x<0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而增大.
抛物线 与x轴有一个交点，是原点（0，0）
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
图象最低点.
归纳总结：
新知探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
表达式
开口
对称轴
顶点
最值
增减性 x>0
x<0
向上
y轴
(0,0)
当x=0时，
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
新知探究
画出二次函数y=-x2的图象，想一想，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？说说二次函数y=-x2的图象有哪些特征 与同伴交流.
做一做：
x
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
（1）列表：
新知探究
表达式
开口
对称轴
顶点
最值
增减性 x>0
x<0
向下
y轴
(0,0)
当x=0时，
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
y
（2）描点
（3）连线
新知探究
观察图象，说说抛物线 y = ax2 与 y = -ax2 (a＞0) 有什么关系.
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于 x 轴对称.
议一议：
新知探究
在同一直角坐标系中，画出二次函数 ，y =x2，y =2x2的图象.它们的图象有什么相同和不同？
想一想：
x ··· -2 0000 ······
··· ···
y =x2 ··· ···
y =2x2 ··· ···
2
4
0.5
1
0
0
0.5
1
2
4
（1）列表
-2
-1
0
1
2
8
2
0
2
8
新知探究
（2）描点
（3）连线
y =x2
y=2x2
1.开口都向上，对称轴都是y轴.
2.当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大.
3.顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
相同点：
不同点：
开口大小不同， 抛物线的开口最大，
y=2x2抛物线的开口最小．
新知探究
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = x2，y =-x2，y =-2x2的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,|a|越大，开口越小.
图象
开口 方向
对称性 顶点 最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
新知探究
归纳总结：
课堂小结
二次函数
y = ax2 的图象与性质
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
画法
描点法
描点
列表
连线
课堂训练
1. 两条抛物线 y=与 y=- 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值
C
2.下列图象中可能是二次函数y＝x2的图象的是( )
A
课堂训练
3. （2023 延安一模）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　)
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a
C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
B
课堂训练
4. 在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和y3＝ x2的图象，正确的是图中的(　　)
D
课堂训练
5.（2023秋 西华县月考）正方形OAMN的顶点M恰好在函数y=mx2（m＞0）的图象上，若正方形OAMN的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则m的值为（　　）
A． B． C． D．3
C
课堂训练
6.（2023 长春一模）如图，正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线y=- x2上，点B、C、E均在y轴上．若点O是BC边的中点，则正方形CEFG的边长为 ．
1+
课堂训练
7.已知点A(-4,m)在二次函数 y = x2上
(1)求m的值.
(2)点B(4,m)在此抛物线上吗？
解：∵点A(-4,m)在二次函数 y = x2上，
∴m = （-4）2 =16.
解：由（1）得m=16，∴点B(4,16).
把x=4 代入y = x2，得y =42 =16.
∴点B(4,m)在此抛物线上.
课堂训练
8. （2023 迁安市模拟）已知二次函数y=ax2，当x=3时，y=3．
（1）求当x=-2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
解：（1）把x=3，y=3代入y=ax2，得a×(32)=3.解得a=.
∴这个二次函数的表达式为y=x2.当x=-2时，y=×（-2）2=.
（2）∵y=x2，a=＞0，
∴图象开口向上；对称轴是直线x=0，顶点坐标是（0，0）．