27.1.2 第2课时 垂径定理 课件(共28张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共28张PPT)
第27章　圆
27.1 圆的认识
2.圆的对称性
第2课时 垂径定理
华师大版-数学-九年级下册
学习目标
掌握垂径定理及其推论，理解垂径定理的推导过程，并能运用垂径定理解决相关问题.
【重点】理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题.
【难点】利用垂径定理及其推论解决实际问题.
新课导入
你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
·
O
A
B
D
P
C
新知探究
对折后，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合，即它们都是相等的.
做一做：剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦，垂足为点P，再将纸片沿着直径CD对折，分别比较AP与BP、弧AC与弧BC，你能发现什么结论？
知识点 垂径定理及其推论
1
新知探究
试一试：能不能用所学过的知识证明你的结论？
⌒
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， AC =BC,AD =BD.
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证明：连结OA、OB、CA、CB，则OA=OB，
即△AOB是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AP=BP.
又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC.
·
O
A
B
D
C
P
由此易得AD=BD.
⌒
∴AC=BC.
∴AC=BC（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）.
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新知探究
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP，AC =BC,AD =BD.(结论)
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O
A
B
D
C
P
新知探究
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
新知探究
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
新知探究
猜想：如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
新知探究
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
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证明猜想：
新知探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AM=BM.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
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解：（1）连结AO,BO,则AO=BO,
（2）由垂径定理可得AC =BC，AD =BD.
又AM=BM，∴△AOM≌△BOM（SSS），
∴∠AMO=∠BMO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒
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⌒
O
C
D
M
A
B
证明举例：
新知探究
垂径定理的推论
1.平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
用几何语言表述为：
1.(条件)∵CD是直径，AE=BE，
(结论)∴ AB⊥CD，AC =BC，AD =BD.
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2.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
(结论)∴ AB⊥CD，AE=BE.
2.(条件)∵CD是直径，AC=BC（或AD=BD)，
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新知探究
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
·
O
A
B
C
D
新知探究
垂径定理的本质是:
知二推三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
新知探究
【例1】如图，⊙O的半径长为10，OC⊥AB，垂足为E.若OE=6，则弦AB的长为 .
【解析】连结OA,在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE= =8.由垂径定理，得AB=2AE=16.
16
知识点 垂径定理及其推论的计算
2
【例2】如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
新知探究
新知探究
【例3】你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
实际应用
新知探究
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
新知探究
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
∵
A
B
O
C
D
新知探究
【例4】如图1、2,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 .
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图1
图2
2cm或12cm
新知探究
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
O
A
B
C
·
弓形中重要数量关系：
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
A
B
C
D
O
h
r
d
课堂小结
一、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
二、垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
课堂训练
1．下列说法正确的是(　　)
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
D
课堂训练
A．CM＝DM B. CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是(　　)
D
⌒
⌒
课堂训练
3.（2022泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4 ，DE=4，则BC的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
C
新知探究
4.（2023永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm,水的最深处到水面AB的距离为4cm,则水面AB的宽度为 cm.
16
课堂训练
5.如图所示，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC=BD.
求证：△OCD为等腰三角形.
证明：过点O作OM⊥AB，垂足为M，
∵OM⊥AB，∴AM=BM.
∵AC=BD，∴CM=DM.
又∵OM⊥CD，∴OC=OD
∴△OCD为等腰三角形.
M
课堂训练
6.⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD，AB=12cm,CD=16cm,则AB与CD的距离为 ．
14cm或2cm
【提示】由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．