27.2.3 第1课时 切线的判定与性质 课件(共20张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.3 第1课时 切线的判定与性质 课件(共20张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 714.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-11 17:35:18 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
3.切线
华师大版-数学-九年级下册
第1课时 切线的判定与性质
学习目标
1.掌握并能够运用切线的判定定理；
2.掌握并能够运用切线的性质定理.
【重点】熟练运用直线与圆相切的方法进行计算与证明
【难点】能灵活选用切线的三种判定方法判定切线
新课导入
下雨天转动雨伞飞散出的水滴，打磨铁丝飞溅的火花，在铁轨上转动的车轮.下列图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？
画一个圆O及半径OA，经过☉O 的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
知识点 切线的判定定理
1
O
l
A
●
新知探究
新知探究
条件：
（1）经过圆上的一点；
（2）垂直于该点半径.
几何语言：
∵l⊥OA，且 l 经过☉O 上的 A 点，
∴直线 l 是☉O 的切线.
圆的切线的判定：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
O
l
A
新知探究
注意：经过圆上的一点和垂直于该点半径中这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线
判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过圆的半径的外端点 A.
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
新知探究
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切;
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
新知探究
类型一：有交点，连半径，证垂直
例1：如图，已知AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是☉O的切线．
新知探究
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，
∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC是☉O的切线．
新知探究
类型二：无交点，作垂直，证半径
例2：如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，☉O 与AB 相切于E.
求证：AC 是☉O 的切线．
B
O
C
E
A
新知探究
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵☉O 与AB 相切于E ，
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
∴OE ＝OF.
∵OE 是☉O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是☉O 的切线．
又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC.
F
B
O
C
E
A
∴OE ⊥ AB.
知识点 切线的性质定理
2
新知探究
如图，直线 CD与☉O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说说你的理由.
C
D
B
●O
A
直径 AB 垂直于直线 CD.
∵圆是轴对称图形，AB 是对称轴，
∴沿直线 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合，
因此∠BAC=∠BAD= 90°.
新知探究
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
几何语言：
∵CD 是 ☉O 的切线，A 是切点，OA 是 ☉O 的半径，
∴CD⊥OA.
提示：切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据；
作过切点的半径是常用辅助线之一.
C
D
B
●O
A
新知探究
例：如图，直线 AB经过 ☉O 上的点A，且 AB = OA，
∠OBA = 45°.求证：直线AB 是☉O 的切线.
证明：∵ AB = OA，∠OBA = 45°，
∴∠AOB =∠OBA = 45° ，
∴∠OAB= 90°.
又∵点A在圆上，
∴ 直线AB 是☉O 的切线.
A
O
B
课堂小结
切线的判定及三角形的内切圆
切线的判定
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径.
课堂训练
1. 如图,C为☉O外一点CA与☉O相切,切点为A,
AB为☉O的直径,连接CB.若☉O的半径为2,
∠ABC=60°,则BC= .
8
2. 如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= °.
44
课堂训练
3. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
4. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm.
60
图①
图②
课堂训练
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为☉O的切线.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交
边BC于P，PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.
O
A
B
C
E
P
课堂训练
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB是直径，BC与⊙O相交于点D，DE切⊙O于点D.
求证：DE⊥AC.
∴DE⊥AC.
证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴DO⊥DE.
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BDO=∠C，
∴OD∥AC，
课堂训练
7.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线.
∴CD为⊙O的切线.
证明 ∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
3.切线
华师大版-数学-九年级下册
第1课时 切线的判定与性质
学习目标
1.掌握并能够运用切线的判定定理；
2.掌握并能够运用切线的性质定理.
【重点】熟练运用直线与圆相切的方法进行计算与证明
【难点】能灵活选用切线的三种判定方法判定切线
新课导入
下雨天转动雨伞飞散出的水滴，打磨铁丝飞溅的火花，在铁轨上转动的车轮.下列图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？
画一个圆O及半径OA，经过☉O 的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
知识点 切线的判定定理
1
O
l
A
●
新知探究
新知探究
条件：
（1）经过圆上的一点；
（2）垂直于该点半径.
几何语言：
∵l⊥OA，且 l 经过☉O 上的 A 点，
∴直线 l 是☉O 的切线.
圆的切线的判定：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
O
l
A
新知探究
注意：经过圆上的一点和垂直于该点半径中这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线
判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过圆的半径的外端点 A.
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
新知探究
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切;
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
新知探究
类型一：有交点，连半径，证垂直
例1：如图，已知AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是☉O的切线．
新知探究
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，
∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC是☉O的切线．
新知探究
类型二：无交点，作垂直，证半径
例2：如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，☉O 与AB 相切于E.
求证：AC 是☉O 的切线．
B
O
C
E
A
新知探究
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵☉O 与AB 相切于E ，
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
∴OE ＝OF.
∵OE 是☉O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是☉O 的切线．
又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC.
F
B
O
C
E
A
∴OE ⊥ AB.
知识点 切线的性质定理
2
新知探究
如图，直线 CD与☉O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说说你的理由.
C
D
B
●O
A
直径 AB 垂直于直线 CD.
∵圆是轴对称图形，AB 是对称轴，
∴沿直线 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合，
因此∠BAC=∠BAD= 90°.
新知探究
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
几何语言：
∵CD 是 ☉O 的切线，A 是切点，OA 是 ☉O 的半径，
∴CD⊥OA.
提示：切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据；
作过切点的半径是常用辅助线之一.
C
D
B
●O
A
新知探究
例：如图，直线 AB经过 ☉O 上的点A，且 AB = OA，
∠OBA = 45°.求证：直线AB 是☉O 的切线.
证明：∵ AB = OA，∠OBA = 45°，
∴∠AOB =∠OBA = 45° ，
∴∠OAB= 90°.
又∵点A在圆上，
∴ 直线AB 是☉O 的切线.
A
O
B
课堂小结
切线的判定及三角形的内切圆
切线的判定
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径.
课堂训练
1. 如图,C为☉O外一点CA与☉O相切,切点为A,
AB为☉O的直径,连接CB.若☉O的半径为2,
∠ABC=60°,则BC= .
8
2. 如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= °.
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课堂训练
3. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
4. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm.
60
图①
图②
课堂训练
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为☉O的切线.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交
边BC于P，PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.
O
A
B
C
E
P
课堂训练
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB是直径，BC与⊙O相交于点D，DE切⊙O于点D.
求证：DE⊥AC.
∴DE⊥AC.
证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴DO⊥DE.
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BDO=∠C，
∴OD∥AC，
课堂训练
7.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线.
∴CD为⊙O的切线.
证明 ∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，