27.2.3 第2课时 切线长定理和三角形的内切圆 课件(共26张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共26张PPT)
第27章　圆
27.2　与圆有关的位置关系
3.切线
华师大版-数学-九年级下册
第2课时 切线长定理及三角形的内切圆
学习目标
1.理解并掌握切线长定理；
2.了解三角形的内心、内切圆及外切三角形的概念.
【重点】掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
【难点】了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
新课导入
当同学们在抖空竹时，当同学们把篮球夹在胳膊中，当同学们在玩悠悠球时，如图所示的时刻的情景，你能从中抽象出什么样的数学图形？
知识点 切线长定理
1
新知探究
P
O
A
B
从圆外一点引圆的切线，最多能作出几条切线？
这一点和切点之间的线段的长叫做切线长.
新知探究
3.联系：都垂直于过切点的半径.
O
P
A
B
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量.
切线和切线长是一个意思吗？
新知探究
在纸上画出如图所示的图形，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合.
1.图形是 对称图形，
该图形关于 对称；
2.PA= ，
=∠BPO.
轴
直线OP
PB
∠APO
新知探究
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B
PA = PB
∠OPA = ∠OPB
几何语言：
要点归纳
B
O
新知探究
我们可以用演绎推理证明这一结论.
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，切点分别为A、B.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：连结OA和OB.
∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
O.
P
A
B
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
新知探究
切线长问题常见的辅助线添加方法：
① 分别连接圆心和切点；
② 连接两切点；
③ 连接圆心和圆外一点.
方法归纳
对于切线长定理的认识，我们经历了两个阶段：首先是根据实例，由特殊到一般，运用动态变换方法，通过合情推理发现图形性质；然后通过演绎推理证明这一性质.两种推理相辅相成，都是研究图形性质的有效工具.
新知探究
如图是一张三角形铁皮，如何在它上面截取一个面积最大的圆形铁皮？
知识点 三角形的内切圆
2
新知探究
问题：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
新知探究
问题2：如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
（1）圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r.
（2）因为角平分线上一点到角两边的距离相等，
所以圆心I应在三角形三条角平分线的交点上.
新知探究
已知：△ABC.
求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O.
作法：
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O 就是所求的圆.
M
N
D
A
B
C
O
新知探究
2. 三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
△ABC 的内切圆是☉I ，△ABC 的内心是点 I ，
☉I 的外切三角形是△ABC .
1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
新知探究
（1）如图，☉I 是△ABC 的内切圆，那么 AI、BI、CI 有什么特点？
B
A
C
I
（2）如图，分别过点作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F，G，那么线段 IE、IF、IG 之间有什么关系？
B
A
C
I
E
F
G
（1）AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA；
（2）IE = IF = IG.
新知探究
AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG.
B
A
C
I
E
F
G
三角形内心的性质:（1）三角形的内心在三角形的角平分线上;（2）三角形的内心到三角形的三边距离相等.
新知探究
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1. OA = OB = OC；
2. 外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1. 到三边的距离相等；
2. OA、OB、OC 分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3. 内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
C
归纳总结
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
1.分别连接圆心和切点；
2.连接两切点；
3.连接圆心和圆外一点
三角形内切圆
结合切线长定理，利用转化的思想解决相关问题
应用
重要结论
内心的概念及性质
图形的轴对称性
原理
课堂训练
20°
4
1. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A，B，如果 AP=4，∠APB= 40° ，则 ∠APO= ，PB= .
课堂训练
2. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点为 A、B，
∠P= 50°，点 C 是 ⊙O 上异于 A、B 的点，则∠ACB= .
65°或115°
B
P
O
A
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是
△ABC的（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交线
D.三条高的交点
B
课堂训练
课堂训练
4.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
B
课堂训练
5. 如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，连接OP，AB.
下列结论不一定正确的是(　　)
A．PA＝PB
B．OP垂直平分AB
C．∠OPA＝∠OPB
D．PA＝AB
D
课堂训练
6. 如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是(　　)
A．60°　
B．65°
C．70°　
D．75°
C
课堂训练
7．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，求∠P的度数．
解：∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠AOB＝110°.
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠P＝360°－(∠AOB＋∠PAO＋∠PBO)＝360°－
(110°＋90°＋90°)＝70°
课堂训练
8.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．