27.4 正多边形和圆 课件(共26张PPT)2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

(共26张PPT)
第27章　圆
27.4　正多边形和圆
华师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系；
2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；
3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；
4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
【重点】掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
【难点】掌握圆内接正多边形的画法.
新课导入
新知探究
知识点 正多边形与圆的关系
1
正多边形：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
正六边形
正方形
正五边形
新知探究
思考：分别画出下图各正多边形的对称轴,看看能发现什么结果？
三条
四条
六条
八条
归纳总结：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
新知探究
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
圆内接
正三角形
的外接圆
圆内接
正方形
的外接圆
圆内接
正五边形
的外接圆
正三角形
正方形
正五边形
A
B
C
D
E
O
F
J
I
H
G
正五边形
的内切圆
问题：正五边形的对称轴都交于一点O.这些对称轴是正五边形各边的 ,故点O到正五边形各个 的距离相等,记为R.这些对称轴也是正五边形各内角的 , 故点O到正五边形各 的距离都相等,记为r.
垂直平分线
以点O为圆心、R为半径的圆就过正五边形的各个顶点.
正五边形
的外接圆
边
以点O为圆心、r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切.
正五边形有几个外接圆和几个内切圆呢？以正五边形为例，观察正五边形与圆有何关系？
正五边形有且只有一个外接圆和一个内切圆,其他的正多边形是否一样呢？
新知探究
平分线
边
新知探究
如图，作出下列正多边形的外接圆和内切圆，从中你能发现什么？
O
O
归纳总结：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
新知探究
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.以圆的内接正五边形为例证明.
E
A
B
C
D
O
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE .
∴AB=BC=CD=DE=EA,
∴∠A=∠B.
∵∠B=∠C=∠D=∠E,
又五边形ABCDE的顶点都在上，
∵AB=BC=CD=DE=EA,
）
）
）
）
）
BCE=3AB=CDA.
）
）
）
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
新知探究
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
弧相等—
归纳总结：将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
新知探究
知识点 正多边形的有关概念及性质
2
正五边形
O
半径R
边心距r
中心角
定义：如图，正五边形是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.
新知探究
圆
正多边形
圆心
中心
半径R
半径R
圆心角
中心角
弦心距r
边心距r
类比学习
新知探究
做一做：已知 ⊙O 的半径为 r，利用尺规作图作 ⊙O 的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60°
相等
r
. O
新知探究
作法：(1) 作 ⊙O 的任意一条直径
FC；
(2) 分别以 F，C 为圆心，以
r 为半径作弧，与 ⊙O
交于点 E，A 和 D，B；
(3) 依次连接 AB、BC、CD、
DE、EF、FA，便得到正
六边形 ABCDEF 即为所求.
. O
F
C
A
B
D
E
新知探究
知识点 圆内接正多边形的有关计算
3
1、正n边形的每个中心角等于 .
2、 正n边形的内角和等于 .
每个内角等于 .
3、正n边形的每个外角等于 . 正多边形的中心角与外角的大小关系是 .
相等
R
r
新知探究
4、正n边形的边长a，半径R，边心距r之间满足 .
5、边长a，边心距r的正n边形的面积为 。
其中l为正n边形的周长.
R
r
新知探究
例：如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC = 4, OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
新知探究
解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠ COD = = 60°
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC= ×4=2,
∴ OG =
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为
课堂小结
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正n边形各顶点等分其外接圆.
课堂训练
1.下列说法正确的是（ ）
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.一个圆有且只有一个内接正多边形
C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为
D
课堂训练
2. 一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是(　　)
A．1∶ B．1∶2
C．2∶3 D．2∶π
B
3.如图所示，正五边形ABCDE内接于O，则∠ADE的度数是 （ ）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
·
A
B
C
D
E
O
C
课堂训练
4.正n边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n等于 .
5.若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为 .
6.有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，它们的边数 .
12
2∶1
10，5
课堂训练
7.有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (精确到 0.1 m2 ).
C
D
O
E
F
A
M
抽象成
B
课堂训练
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
4 m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点 O 作 OM⊥BC 于 M.
在 Rt△OMB 中，OB＝4，MB＝
亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)
课堂训练
8.如图，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
求证：五边形AEBCD是正五边形.
课堂训练
证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=36°
即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE
∴BC=AD=CD=AE=BE
∴A、E、B、C、D是⊙O的五等分点
∴五边形AEBCD是正五边形.