广东省潮州市部分学校2024—2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·广东期中）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·广东期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·广东期中）“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·广东期中）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是假命题 B．和都是假命题
C．和都是假命题 D．和都是假命题
5．（2024高一上·广东期中）函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·广东期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·广东期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·广东期中）若函数是奇函数，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·广东期中）设，为非空实数集，定义，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·广东期中）若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一上·广东期中）设函数的定义域为，，，若，，则可以（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
12．（2024高一上·广东期中）已知集合，，若，则的取值集合为 .
13．（2024高一上·广东期中）若函数是幂函数，则 .
14．（2024高一上·广东期中）是定义在上的奇函数，在上时，，且值域为，则的取值范围是 .
15．（2024高一上·广东期中）已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
16．（2024高一上·广东期中）已知正数，满足.
（1）当时，求的取值范围；
（2）求的最小值.
17．（2024高一上·广东期中）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，.
（1）求实数的值；
（2）预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元 （总收入总成本十利润）
18．（2024高一上·广东期中）我们有如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）判断：的图象是否关于点成中心对称图形
（2）已知是定义域为的初等函数，若，证明：的图象关于点成中心对称图形.
19．（2024高一上·广东期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
（1）证明：对任意实数，，；
（2）求证：是上的增函数；
（3）若命题，为假命题，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据集合的交集的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则且，
则函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据偶次根式和分式有意义，列不等式组求解即可得函数的的定义域.
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”，故充分性不满足；
必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”，故必要性不满足.
故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】对充分性和必要性分别取特殊值进行否定即可.
4．【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由，可得，则命题是真命题，是假命题；
由，可得，无解，则是假命题，是真命题，
综上，和都是假命题.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件先判断命题、的真假，可得、的真假即可判断.
5．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知，排除AC；
令，可得，1，3，符合题意，又由图象得，
在B中，符合题意，在D中，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图可知，排除AC；再根据排除D，即可得正确答案.
6．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：令，，，但不成立，故A错误；
由，可得，即，故B正确；
令，，满足：，且，但，，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】举反例的方法或取特殊值法即可判断ACD；利用不等式性质即可判断B.
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数在上单调递减，
则，解得，即实数的范围是.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数在上单调递减，每段递减列式，注意分界点处函数的大小关系，据此求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数定义域为，因为为奇函数，
所以，，解得，则，且，
任意取，，且，
因为在上单调递增，
所以，
又因为，所以，所以，
因为，，，所以，所以，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先根据奇函数的定义求得，再根据函数在上单调递增，利用单调性的定义可得对任意的，恒成立求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【解答】解：A、根据的定义，可得显然成立，故A正确；
B、根据实数乘法的结合律得，成立，故B正确；
C、设，由的定义得，，故C错误；
D、设，，，，，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据新定义，结合集合的关系和运算逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式；等式的性质
【解析】【解答】解：，，即，
解得，故A正确，B错误；
因为，，所以，
所以，则，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据常见不等式，结合等量关系，整理不等式，逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：.
A、若，，则是奇函数，故A正确；
B、若，，则是偶函数，故B正确；
C、若，，既是奇函数又是偶函数，此时，，，，这与，矛盾，故C错误；
D、设，满足，但既不是奇函数又不是偶函数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用函数奇偶性的定义即可判断ABC；利用举例子方法即可判断D.
12．【答案】{1}
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以，所以或，即或，
当时，，，满足；
当时，，，不满足；
综上可知，1.
故答案为：.
【分析】由题意，利用集合间的基本关系分类讨论求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，所以，解得，
则函数，故.
故答案为：.
【分析】先根据函数为幂函数求出的值，从而可得函数的解析式，代入求值即可.
14．【答案】
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
当时，，
因为函数是定义在上的奇函数，且值域为，
所以当时，，所以，所以.
故答案为：.
【分析】先求分段函数的值域，再由题意得到区间函数的值域，结合在区间上的值域得到不等式组，求解范围即可.
15．【答案】（1）解：易知集合，因为，所以，，则；
（2）解：因为，显然，所以或，
解得或，故的取值范围是.
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）先求集合，再根据集合相等列式求解即可；
（2）交集为空集表示没有公共部分，得不等式，求解即可.
（1），因为，所以，，所以.
（2）因为，显然，
所以或，
解得，或，所以的取值范围是
16．【答案】（1）解：因为，，所以，
又因为在单调递减，所以；
（2）解：因为，都是正数，所以，当且仅当时等号成立，
又因为，所以，所以，
所以，当且仅当，时等号成立，则的最小值为4.
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式
【解析】【分析】（1）将已知条件变形，分离常数可得，再利用函数的单调性求出范围即可；
（2）由题意，利用基本不等式和不等式的解法求解即可.
（1）因为，，
所以.
又在单调递减，所以，
（2）因为，都是正数，所以，当且仅当时取等号，
因为，所以，
所以，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为4.
17．【答案】（1）解：因为当时，，
所以，解得；
（2）解：设公司所获得的利润为（单位：万元），
则
当时，，即，解得；
当时，，
综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元.
【知识点】二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，代值求值即可；
（2）由题意，列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围.
（1）因为当时，，
所以，解得.
（2）设公司所获得的利润为（单位：万元），所以
当时，，即，
解得，，
当时，，
综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元.
18．【答案】（1）解：，
因为为奇函数，即为奇函数，
由结论得，函数的图象关于点成中心对称图形；
（2）解：因为，所以，
令，
因为是定义域为的初等函数，所以也是定义域为的初等函数，
因为
，
即，
所以为奇函数，即为奇函数.
由结论得，的图象关于点成中心对称图形.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）整理可得，根据已知条件，结合奇偶性的定义判断即可；
（2）设，根据已知条件，结合奇偶性的定义证明即可.
（1），
因为为奇函数，即为奇函数，
由结论得，函数的图象关于点成中心对称图形.
（2）因为，所以，
令，
因为是定义域为的初等函数，所以也是定义域为的初等函数，
因为
，
即，
所以为奇函数，即为奇函数.
由结论得，的图象关于点成中心对称图形.
19．【答案】（1）证明：因为对任意实数，，，
所以，所以，在中，
令，可得，所以，
在中，用替换得，，
因为，所以，
所以对任意实数，，成立；
（2）证明：任意取，，且，则，因为当时，，所以，
所以，即，所以是上的增函数；
（3）解：命题，为假命题，
等价于，为真命题，
在中，令得，，
所以
由（2）的结论得，，
即，
令，
因为，成立，所以，所以，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）根据已知等式，利用特殊值研究新的等式证明即可；
（2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法证明即可；
（3）根据已知的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质求解即可.
（1）因为对任意实数，，，
所以，所以，在中，
令得，，
所以，
在中，用替换得，，
因为，所以，
所以，对任意实数，，成立.
（2）任意取，，且，则，因为当时，，所以，
所以，即，所以是上的增函数.
（3）命题，为假命题，
等价于，为真命题.
在中，令得，，
所以
由（2）的结论得，，
即，
令，
因为，成立，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
1 / 1广东省潮州市部分学校2024—2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·广东期中）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据集合的交集的定义求解即可.
2．（2024高一上·广东期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则且，
则函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据偶次根式和分式有意义，列不等式组求解即可得函数的的定义域.
3．（2024高一上·广东期中）“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”，故充分性不满足；
必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”，故必要性不满足.
故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】对充分性和必要性分别取特殊值进行否定即可.
4．（2024高一上·广东期中）已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是假命题 B．和都是假命题
C．和都是假命题 D．和都是假命题
【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由，可得，则命题是真命题，是假命题；
由，可得，无解，则是假命题，是真命题，
综上，和都是假命题.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件先判断命题、的真假，可得、的真假即可判断.
5．（2024高一上·广东期中）函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知，排除AC；
令，可得，1，3，符合题意，又由图象得，
在B中，符合题意，在D中，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图可知，排除AC；再根据排除D，即可得正确答案.
6．（2024高一上·广东期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：令，，，但不成立，故A错误；
由，可得，即，故B正确；
令，，满足：，且，但，，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】举反例的方法或取特殊值法即可判断ACD；利用不等式性质即可判断B.
7．（2024高一上·广东期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数在上单调递减，
则，解得，即实数的范围是.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数在上单调递减，每段递减列式，注意分界点处函数的大小关系，据此求解即可.
8．（2024高一上·广东期中）若函数是奇函数，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数定义域为，因为为奇函数，
所以，，解得，则，且，
任意取，，且，
因为在上单调递增，
所以，
又因为，所以，所以，
因为，，，所以，所以，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先根据奇函数的定义求得，再根据函数在上单调递增，利用单调性的定义可得对任意的，恒成立求解即可.
9．（2024高一上·广东期中）设，为非空实数集，定义，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【解答】解：A、根据的定义，可得显然成立，故A正确；
B、根据实数乘法的结合律得，成立，故B正确；
C、设，由的定义得，，故C错误；
D、设，，，，，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据新定义，结合集合的关系和运算逐项判断即可.
10．（2024高一上·广东期中）若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式；等式的性质
【解析】【解答】解：，，即，
解得，故A正确，B错误；
因为，，所以，
所以，则，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据常见不等式，结合等量关系，整理不等式，逐项判断即可.
11．（2024高一上·广东期中）设函数的定义域为，，，若，，则可以（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：.
A、若，，则是奇函数，故A正确；
B、若，，则是偶函数，故B正确；
C、若，，既是奇函数又是偶函数，此时，，，，这与，矛盾，故C错误；
D、设，满足，但既不是奇函数又不是偶函数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用函数奇偶性的定义即可判断ABC；利用举例子方法即可判断D.
12．（2024高一上·广东期中）已知集合，，若，则的取值集合为 .
【答案】{1}
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以，所以或，即或，
当时，，，满足；
当时，，，不满足；
综上可知，1.
故答案为：.
【分析】由题意，利用集合间的基本关系分类讨论求解即可.
13．（2024高一上·广东期中）若函数是幂函数，则 .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，所以，解得，
则函数，故.
故答案为：.
【分析】先根据函数为幂函数求出的值，从而可得函数的解析式，代入求值即可.
14．（2024高一上·广东期中）是定义在上的奇函数，在上时，，且值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
当时，，
因为函数是定义在上的奇函数，且值域为，
所以当时，，所以，所以.
故答案为：.
【分析】先求分段函数的值域，再由题意得到区间函数的值域，结合在区间上的值域得到不等式组，求解范围即可.
15．（2024高一上·广东期中）已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：易知集合，因为，所以，，则；
（2）解：因为，显然，所以或，
解得或，故的取值范围是.
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）先求集合，再根据集合相等列式求解即可；
（2）交集为空集表示没有公共部分，得不等式，求解即可.
（1），因为，所以，，所以.
（2）因为，显然，
所以或，
解得，或，所以的取值范围是
16．（2024高一上·广东期中）已知正数，满足.
（1）当时，求的取值范围；
（2）求的最小值.
【答案】（1）解：因为，，所以，
又因为在单调递减，所以；
（2）解：因为，都是正数，所以，当且仅当时等号成立，
又因为，所以，所以，
所以，当且仅当，时等号成立，则的最小值为4.
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式
【解析】【分析】（1）将已知条件变形，分离常数可得，再利用函数的单调性求出范围即可；
（2）由题意，利用基本不等式和不等式的解法求解即可.
（1）因为，，
所以.
又在单调递减，所以，
（2）因为，都是正数，所以，当且仅当时取等号，
因为，所以，
所以，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为4.
17．（2024高一上·广东期中）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，.
（1）求实数的值；
（2）预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元 （总收入总成本十利润）
【答案】（1）解：因为当时，，
所以，解得；
（2）解：设公司所获得的利润为（单位：万元），
则
当时，，即，解得；
当时，，
综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元.
【知识点】二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，代值求值即可；
（2）由题意，列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围.
（1）因为当时，，
所以，解得.
（2）设公司所获得的利润为（单位：万元），所以
当时，，即，
解得，，
当时，，
综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元.
18．（2024高一上·广东期中）我们有如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）判断：的图象是否关于点成中心对称图形
（2）已知是定义域为的初等函数，若，证明：的图象关于点成中心对称图形.
【答案】（1）解：，
因为为奇函数，即为奇函数，
由结论得，函数的图象关于点成中心对称图形；
（2）解：因为，所以，
令，
因为是定义域为的初等函数，所以也是定义域为的初等函数，
因为
，
即，
所以为奇函数，即为奇函数.
由结论得，的图象关于点成中心对称图形.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）整理可得，根据已知条件，结合奇偶性的定义判断即可；
（2）设，根据已知条件，结合奇偶性的定义证明即可.
（1），
因为为奇函数，即为奇函数，
由结论得，函数的图象关于点成中心对称图形.
（2）因为，所以，
令，
因为是定义域为的初等函数，所以也是定义域为的初等函数，
因为
，
即，
所以为奇函数，即为奇函数.
由结论得，的图象关于点成中心对称图形.
19．（2024高一上·广东期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
（1）证明：对任意实数，，；
（2）求证：是上的增函数；
（3）若命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：因为对任意实数，，，
所以，所以，在中，
令，可得，所以，
在中，用替换得，，
因为，所以，
所以对任意实数，，成立；
（2）证明：任意取，，且，则，因为当时，，所以，
所以，即，所以是上的增函数；
（3）解：命题，为假命题，
等价于，为真命题，
在中，令得，，
所以
由（2）的结论得，，
即，
令，
因为，成立，所以，所以，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）根据已知等式，利用特殊值研究新的等式证明即可；
（2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法证明即可；
（3）根据已知的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质求解即可.
（1）因为对任意实数，，，
所以，所以，在中，
令得，，
所以，
在中，用替换得，，
因为，所以，
所以，对任意实数，，成立.
（2）任意取，，且，则，因为当时，，所以，
所以，即，所以是上的增函数.
（3）命题，为假命题，
等价于，为真命题.
在中，令得，，
所以
由（2）的结论得，，
即，
令，
因为，成立，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
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