重庆市某中学2024-2025学年高一（上）期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

重庆市某中学 2024-2025 学年高一（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 ≤ < 4}， = {3,4,5,6}，则 ∩ =( )
A. {1,3} B. {3} C. {3,4} D. {3,5}

2.将函数 ( ) = 2 的图象向左平移 个单位后与 = ( )的图象重合，则( )
3

A. ( ) = sin(2 + ) B. ( ) = sin(2 )
3 3
2
C. ( ) = sin(2 + ) D. ( ) = sin(2 + )
3 6
3.已知半径为5的圆上有一段弧的长为12，则该弧所对的圆心角的弧度数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2.4
4.已知函数 ( 1) = 2 3，则 (2)的值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 6
5.在下列区间中，函数 ( ) = + 4 3的零点所在的区间为( )
1 1
A. ( 2, 1) B. ( 1,0) C. (0, ) D. ( , 1)
2 2
6.若 = 2， = 30.2， = log0.32，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1 1
7.若2 = 5 = 10，则 + =( )

A. 1 B. 7 C. 1 D. log710
(3 ) 4 ( < 1)
8.已知 ( ) = { 2 是 上的增函数，那么 的取值范围是( ) ( ≥ 1)
2 2 5
A. ( ∞, 3) B. ( , 3) C. [ , 3) D. ( , 3)
5 5 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个三角关系式中正确的是( )

A. cos( 1) = 1 B. sin(2 + ) = 2
2
20°+ 25° √ 2
C. = 1 D. 73° 28° + 73° 28° = 1 20 25 2
10.如果 > > 0，那么下列不等式成立的是( )
1 1
A. √ > √ B. 2 22 < 2 C. > D. >
11.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，则下列结论正确的是( )
第 1 页，共 6 页
A. (0) = 0
B. 若 ( )在[0, +∞)上有最小值 1，则 ( )在( ∞, 0]上有最大值1
C. 若 > 0时， ( ) = 2 2 ，则 < 0时， ( ) = 2 2
D. 若 ( )在[1, +∞)上为增函数，则 ( )在( ∞, 1]上为减函数

12.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示，
2
则下列说法正确的是( )

A. 该图象对应的函数解析式为 ( ) = 2 (2 + )
3
5
B. 函数 = ( )的图象关于直线 = 对称
12
5
C. 函数 = ( )的图象关于点( , 0)对称
12
2
D. 函数 = ( )在区间[ , ]上单调递减
3 6
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.命题“ ≥ 0， 3 + ≥ 0”的否定是______．
1
14.若 > 1，则 + 的最小值是 ．
1
15.定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = 3 1(0 ≤ < 3)， ( ) = ( + 3)，则 (2023) = ______．
16.已知函数 ( ) = 2 | | + 1有四个零点，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集为 ，集合 = { |5 < < }， = { |2 < ≤ 10}．
(1)若 = 6，求 ∪ ， ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + + 3．
(1)当 = 7时，解不等式 ( ) > 0；
(2)当 ∈ 时， ( ) ≥ 0恒成立，求 的取值范围．
第 2 页，共 6 页
19.(本小题12分)
1 11
已知 ， 为锐角，cos = ，cos( + ) = ．
7 14

(Ⅰ)求 和sin( + )的值；
6
(Ⅱ)求sin( + )和 的值．
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2√ 3 + cos2 sin2 ．
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间；

(2)当 ∈ [0, ]时，求 ( )的最值．
4
21.(本小题12分)
经观测，某公路段在某时段内的车流量 (千辆/小时)与汽车的平均速度 (千米/小时)之间有函数关系： =
900
2 ( > 0)． +5 +1000
(1)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车平均速度应控制在什么范围？
(2)在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量 最大？
22.(本小题12分)
设函数 ( ) = log ( > 0, ≠ 1)．
(1)解不等式 (2 + 6) (5 )；
3
(2)已知对任意的实数 , ( 2 + + 1) ≥ ( )恒成立，是否存在实数 ，使得对任意的 ∈ [ 1,0]，不等式
4
(4 + 2 +1) ( 4 ) > 0恒成立，若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由．
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 0 ≥ 0，
3
0 + 0 < 0
14.【答案】3
15.【答案】1
5
16.【答案】( 1 , )
4
17.【答案】解：(1)若 = 6，则 = { |5 < < } = { | 1 < < 6}，
∴ = { | ≤ 1或 ≥ 6}，
∵ = { |2 < ≤ 10}，
∴ ∪ = { | 1 < ≤ 10}；
(2) ∵ ∈ 是 ∈ 的充分条件，
∴ ，
5 ≤ 2
∴ { ，
> 10
∴ > 10．
∴实数 的取值范围为(10, +∞)．
18.【答案】解：(1)当 = 7时，不等式为 2 7 + 10 > 0，
即( 2)( 5) > 0，解得 > 5或 < 2，
所以该不等式的解集为( ∞, 2) ∪ (5, +∞)；
第 4 页，共 6 页
(2)由已知，若 ∈ 时， 2 + + 3 ≥ 0恒成立，
所以相应方程 2 + + 3 = 0的判别式 = 2 4( + 3) ≤ 0，
即( + 2)( 6) ≤ 0，解得 2 ≤ ≤ 6，
所以 的取值范围为[ 2,6]．
1
19.【答案】解：(Ⅰ)因为 为锐角，且 = ，
7
1 4√ 3
所以 = √ 1 cos2 = √ 1 = ，
49 7
4√ 3 √ 3 1 1 13
所以sin( + ) = + = × + × = ．
6 6 6 7 2 7 2 14
(Ⅱ)因为 ， 为锐角，所以 + ∈ (0, )．
11 5√ 3
所以sin( + ) = √ 1 cos2( + ) = √ 1 ( )2 = ，
14 14
所以 = cos[( + ) ] = cos( + ) + sin( + )
11 1 5√ 3 4√ 3 1
= × + × = ．
14 7 14 7 2
20.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2√ 3 + cos2 sin2
= √ 3 2 + 2

= 2 (2 + )，
6
2
∴ ( )的最小正周期为 = = ，


令2 ≤ 2 + ≤ 2 + ， ∈ ，解得 ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 6 2 3 6

∴ ( )单调递增区间为[ , + ]， ∈ ；
3 6
2
(2)当 ∈ [0, ]时，2 + ∈ [ , ]，
4 6 6 3
1
∴ sin(2 + ) ∈ [ , 1]，
6 2

∴ = 0时， ( )取得最小值为1， = 时， ( )取得最大值为2．
6
900
21.【答案】解：(1)令 2 ≥ 12，即( 20)( 50) ≤ 0，解得20 ≤ ≤ 50， +5 +1000
故为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围
内．
900 900 900 180
(2) = 2 = 1000 ≤ = ， +5 +1000 + +5 √ 1000 4√ 10+1 2 +5
第 5 页，共 6 页
1000
当且仅当 = ，即 = 10√ 10时等号成立，

故当汽车的平均速度 = 10√ 10千米/小时时，车流量最大．
22.【答案】解：(1)当0 < < 1时，
由 (2 + 6) (5 )，得2 + 6 5 > 0，
解得0 < ≤ 2，即 ∈ (0,1)；
当 > 1时，
由 (2 + 6) (5 )，得0 < 2 + 6 5 ，解得 2，即 ∈ [2, +∞)．
综上可知， ∈ (0,1) ∪ [2，+∞)．
2 1 3 3(2)由于 + + 1 = ( + )2 + ，
2 4 4
3
且 ( 2 + + 1) ( )恒成立，可知 ( )为增函数．
4
(4 + 2 +1) ( 4 ) > 0，
即 (4 + 2 +1) > ( 4 )，
则有4 + 2 +1 > 4 在 ∈ [ 1,0]上恒成立，
即 < 2 4 + 2 +1在 ∈ [ 1,0]上恒成立，
1
令 = 2 , ∈ [ , 1]，设 ( ) = 2 2 + 2 ，
2
1
( )在[ , 1]上单调递增，
2
1 3 3
则 ( ) = ( ) = ，即 < ． 2 2 2
又由于 ∈ [ 1,0]时， 4 > 0恒成立，
解得： > 1，
3 3
综上，1 < < ，即 的取值范围是(1, ).
2 2
第 6 页，共 6 页