南充高中高2023级第三学期第二次月考
数 学 试 题
（ 时间：120分钟 总分：150分 命、审题人）
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则的虚部是（ ）
A．1 B． C．i D．
已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的
周长为10，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知事件A，B互斥，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x
轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（ ）．
B．
C． D．
5．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ）
A．13 B．21 C．29 D．31
6．与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆
上的点到点的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，
其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，
点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分.
9．中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三
个桩，一个好汉三个帮”等等．都能体现团队协作、集体智慧的强大．假设某人能力较强，他
独自一人解决某个项目的概率为．同时，有由个水平相当的人组成的团队也在研究
该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是．如果这个人组成的团队解决该项目
的概率为，且，则的取值可能是（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
10．设双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率e可以为（ ）
A． B． C． D．
已知动点到定点的距离与它到直线距离的比是常数，点的轨迹称为曲
线，直线与曲线交于、两点．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程
B．
C．为曲线上不同于、的一点，且直线、斜率分别为，，则
D．为坐标原点，的最大值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 ．
13．设，是函数的零点，则的值为 .
14．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
(1)求比赛只需打三局的概率；
(2)已知甲在前两局比赛中已经获胜，求甲最终获胜的概率.
16．已知圆C：，点，点．
(1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程；
(2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．
17．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面夹角的正弦值；
18．已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围；
(3)若对于，，使得成立，求实数m的取值范围.
19．已知椭圆：（）的焦距为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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数学参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D D C B A D BCD AC ABD
二．填空题
3
12. 24π 13. 14.
4 4 7
8．（解法 1）设 P ccos ,bsin ,cos 1,0 ，
因为 A1 c,0 , A2 a,0 ，所以 A1P ccos c,bsin ,A2P ccos a,bsin .
A1P A2P ccos c ccos a b2sin2 c2cos2 accos c2cos ac b2 b2cos2
2
c2 b2 cos2 c2 ca cos b2 ac c2 b2 cos b2 ac cos 1 0，所以 cos
b ac
.
b2 c2
b2 ac
因为 cos 1,0 ，所以 1 2 2 0.b c
c2 ac a2 0 e2 e 1 0
2 2 2 5 1 2 因为b a c ，所以 2 ，即 ，解得 e , .
3c ac 2a
2 0 2 3e e 2 0 2 3
（解法 2）设 P x0 , y0 , x0 c,0 ，因为 A1 c,0 , A2 a,0 ，所以 PA1 c x0 , y0 ,PA2 a x0 , y0 ，
2 2 2
PA PA x2 c a x ac y2. y2 b2 b x0 PA PA c b
2
所以 1 2 0 0 0 因为 0 2 ，所以 1 2 x
2
2 0 c a x b 20 ac .c c
2 2 2
因为存在 PA1 .PA2 0，所以 c b x0 c2 c a x b20 ac c2 0在 x0 c,0 上有解.
2 2 2 2
因为 c b x0 c c a x0 b2 ac c2 c2 b2 x0 b 2 ac c x 0 c ，且 x0 c,0 ，
2
c2 b2所以 x0 b2 ac c 0 b ac c在 x0 c,0 上有解，即 x 在 x0 c,0 上有解.0 b2 c2
a2 ac c2 0 1 e e2 0
因为b2
5 1 2
a2 c2 ，所以 2 2 ，即 2 解得 e , .
3c ac 2a 0 3e e 2 0 2 3
x 4 2 y2 4 2 4
11．对于 A选项，设 , ，则 ，即 x 4 y2 x 5 ，
x 25 5 5
4
16 2 2 2 2x2 y2 8x 16 x2即 8x 25 x y x y，化简得 1，故曲线C的方程为 1，A对；
25 25 9 25 9
对于 B选项，由题意可知，曲线C为椭圆，且 a 5，b 3，c a2 b2 4，
设椭圆另一个焦点为 F ，如图，由O为 F F 和 AB中点可知四边形 AFBF 为平行四边形，
所以 AF BF ，所以 AF BF AF AF 2a 10，B对；
答案第 1页，共 4页
对于 C选项，设点M x0 , y0 、 1, 1 ，则 B x1, y1 ，
x2 y2 2 x2
因为点M 在曲线C上，则 0 0 1，可得 y 9 1 0 ，
25 9 0 25
x2 x2
2 x2 9 1 11 9 1
0
同理 y1 9
1 ，所以 2 225 k k
y
1
y0 y1 y 0 y 1 y0
25 25 9 ，C错；
1 2 x 21 x0 x1 x0 x1 x
2 x 2 x 20 1 0 25
PF 4
对 D，由定义知动点到定点 F 与它到定直线 l距离 d满足 ，
d 5
PO 5 25所以 PF PO d，其中d为点 P到直线 l : x 的距离，即求椭圆上一
4 4
点 P到O与到直线 l : x
25
距离和的最大值，如图所示：显然当 P在椭圆左顶点时，
4
PO 和d同时取得最大值，所以， PO d 5 5 25 65 ，D对.max 4 4
14．如图，设 = 3 ，由题知动点 P的轨迹是过OD的终点D且垂直OD的平面 ，
动点Q的轨迹是以线段 AB为直径的球M ，
PQ 的最小值就是球心M 到平面 的距离d减去球M 的半径 R .
1
DM OC OA OB 3OC OC. 2d 4，
OC OC
1 1 2 R AB OB OA 7， PQmin 4 7 .故答案为： 4 7 .2 2
三．解答题
2 2 2 8
15．解：（1）设事件A =“甲前三局都获胜”，事件 B =“乙前三局都获胜”，则 P(A) ，
3 3 3 27
P B 1 1 1 1 8 1 1 ，比赛只需打三局的概率为： P P(A B) P(A) P(B) . ……5分
3 3 3 27 27 27 3
2 1 2 2
（2）甲需要打三局的概率为： P1 ，甲需要打四局的概率为： P2 ，甲需要打五局的概率为：3 3 3 9
P 1 1 2 2 2 2 2 263 ，则甲最终获胜的概率为： P P P P3 3 3 27 1 2 3
. ……13分
3 9 27 27
16 1 C x 2 2．解：（ ）由 ： 3 y 4 4，则圆心C 3,4 ，半径 r 2，
当切线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x 5，符合题意； ……2分
3k 4 5k 1
当切线 l的斜率存在时,则设切线 l的方程为 y 1 k x 5 ，即 kx y 5k 1 0，所以 2，解得
k 2 1
5 5
k 5 ，此时切线 l的方程为 x y 5 1 0，即5x 12y 37 0 . ……5分
12 12 12
综上所述，切线 l的方程为 x 5或5x 12y 37 0 . ……7分
答案第 2页，共 4页
（2）设G x, y ， A a,b ，
因为 P 5,1 ，Q 1, 2 ，G为三角形 APQ的重心，
a 5 1
x 3 a 3x 4
所以 ，即 ， ……11分
b 1 2
y b 3y 1
3
由 A为圆 C 2上的动点，得 a 3 b 4 2 4，则 3x 4 3 2 3y 2 1 4 4 ……13分
7 2 4 7 2
整理得 x y 1
2 2 4
，即动点 G的轨迹方程为
3 9
x y 1 ． ……15分
3 9
17．（1）证明：在△PAD中，PA PD ,O为 AD中点，所以 PO AD．因为侧面 PAD 底面 ABCD，平面PAD
平面 ABCD AD,PO 平面 PAD，所以 PO 平面 ABCD． ……6分
（2）解：连接OC，由（1）知 PO 平面 ABCD，且OC 平面 ABCD，
所以 PO OC．因为BC∥AD,BC
1
AD OA，所以四边形 ABCO为平行四边
2
形．又因为 AB AD ，所以OC AD．以O为坐标原点，以OC ,OD,OP 为 x轴、y
轴、 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
O 0,0,0 ,P 0,0,1 , A 0, 1,0 ,B 1, 1,0 ， 0,1,0 ，
所以 BD 1, 2,0 ， PA 0, 1, 1 ， PB 1, 1, 1 ．设平面 PAB的一个法向量为n x1, y1, z1 ,
n PA 0 y z 0
则
1 1
，即 ，令 z1 1 x 0, yx y z 0 ，得 1 1
1，平面 PAB的一个法向量 n 0, 1,1 ……12分
n PB 0 1 1 1
BD n
设直线 BD与平面 PAB的夹角为 ，则 sin cos BD,n
2 10
． ……15分BD n 5 2 5
18．解：（1）由题意，函数 f x 在 1, 2 2上单调递减，在区间 2,2 上单调递增，且 f 1 1 3，1
f 2 2 2 2 2 f 2 2 2， 3，所以函数 f x 的最小值为 2 2 ，最大值为 3. ……4分2 2
2 2
（2）由题意，关于 x的不等式mx m 1 x 1 3的解集为R ，即不等式mx m 1 x 2 0对于 x R恒成
m 0
立，当m 0
时，不等式为 x 2 0，即 x 2不恒成立，不符合题意；当m 0时，有 ，解
Δ m 1
2
8m 0
得 3 2 2 m 3 2 2 . 综上所述，实数 m的取值范围为 3 2 2, 3 2 2 . ……8分
2
（3）解：对于函数 f x x ， x 1,2 ，由（1）知， f x
x max
3 .
由题意，对于 x1 4,6 ，都有 g 1 ≤ 3 + 1 = 4成立
答案第 3页，共 4页
即 2 ( 1) + 1 ≤ 4 对 ∈ 4,6 恒成立. ……10分
又当 ∈ 4,6 2 > 0 ≤ 3 时 ，故 2 对 ∈ 4,6 恒成立.
3 1
令 = 3 ∈ 3, 1 , = = 2 2 5 +6 +6 5
= 1令 6 ， ∈ 3, 1 + 5 ，则 ≤ min ……12分
∈ 3, 1 6 6当 时， + = + ≤ 2 6，当且仅当 = 6时取等号
= 6 = 1所以 min 2 6 5 = 2 6 5 ……15分
综上所述，实数 m的取值范围为 , 2 6 5 . ……17分
（注：用二次函数对称轴讨论最值的方式酌情给分）
19．解：（1）因为 F2MN的周长为 MF2 NF2 MN MF2 NF2 MF1 NF1
MF2 MF1 NF2 NF1 4a 8，所以 a 2，又因为 2c 2 3，所以 c 3，所以b2 a2 c2 1，
x2
所以椭圆C的标准方程为 y2 1. ……5分
4
（2）设 P(x1, y1),Q(x2 , y2 )，设 PQ中点为A，
x2
y2 1
联立 4 ，消去 y整理得， (4k 2 1)x2 16kx 12 0， ……7分
y kx 2
所以 256k 2 48(4k 2 1) 0，即 4k 2 3 0，所以 k 3 3 或 k ，
2 2
16k 12
又由韦达定理可得， x1 x2 2 , x1x2 2 ， ……9分4k 1 4k 1
x x 8k 2 8k 2
所以 xA 1 2 2 , yA kxA 2
2 ，所以 A , ，2 4k 1 4k 1 4k 2 1 4k 2 1
因为 DP DQ ，所以DA PQ， ……12分
由 k 3 k 3 或 ，可知，直线DA,PQ的斜率均存在，且都不等于零，
2 2
2
4k 2 1 3 5 3 5
所以 kDA k 2PQ 1，即 8k k 1，整理得 4k 6k 1 0，解得 k1 , k4 2
，
2 1 44k 1
k 3又因为 或 k 3 3 5 ，所以 k2 满足题意，2 2 4
3 5
所以存在 k . ……17分
4
答案第 4页，共 4页
