浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题
1．（2024高一上·杭州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·杭州期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·杭州期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·杭州期中）下列函数在定义域上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·杭州期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024高一上·杭州期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024高一上·杭州期中）已知是定义在上的偶函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024高一上·杭州期中）的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，则也是偶函数
B．若是奇函数，则也是奇函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
9．（2024高一上·杭州期中）若集合，，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
10．（2024高一上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若，则的最小值为1
C．若，，且，则的最小值为
D．若，，且，则的最大值为
11．（2024高一上·杭州期中）设，定义：，，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一上·杭州期中）已知集合，，则的值为 .
13．（2024高一上·杭州期中）已知幂函数的图象过点（2，），则
14．（2024高一上·杭州期中）对于函数，若对于任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围 .
15．（2024高一上·杭州期中）已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（2024高一上·杭州期中）已知定义域是的奇函数，当时，.
（1）若，求的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
17．（2024高一上·杭州期中）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.
（1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
（2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
18．（2024高一上·杭州期中）已知，，函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求不等式的解集（用表示）．
19．（2024高一上·杭州期中）已知实数集，定义
（1）若，求；
（2）若，求集合；
（3）若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：B
【分析】由题意可得，利用交集的定义把元素一一找出来即可求解.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意特称命题否定的规则为：改量词，否结论，可得命题“”的否定为.
故答案为：D.
【分析】利用含有量词命题否定的规则：改量词，否结论，特称命题的否定为全称命题即可求解.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可得有意义可得：，
解得且，
所以的定义域为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数定义域求法，保证函数有意义即可得解.
4．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、因为，所以函数在定义域R上单调递增，故A选项错误；
B、因为函数的定义域为，由单调函数的定义可得在定义域上不单调，故B选项错误；
C、因为函数函数在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故C选项正确；
D、函数的定义域为，函数为对勾函数，
所以在定义域上不单调，故D选项错误.
故答案为：C
【分析】先利用幂函数的性质判断B、C，再利用一次函数的性质判断A，利用对勾函数即可判断D.
5．【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解；A、与，对应关系不同，不表示同一函数，故A选项错误；
B、的定义域是，的定义域也是，
则两函数的定义域相同，对应关系也相同，表示同一函数，故B选项正确；
C、函数的定义域是，的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不表示同一函数，故C选项错误；
D、由且，解得，则定义域为，
由，解得或，则定义域为或，
所以两函数的定义域不同，不表示同一函数，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】先求函数定义域，再看函数对应关系，两者均相同则函数相同，逐项判断即可得求解.
6．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意，可转化为，解得，
所以的解集为.
故答案为：A.
【分析】先把二次项系数化成正数，再利用二次不等式的解法即可求解.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，显然成立，即充分性成立；
当时，因为函数是上的偶函数，
所以解得或
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先利用偶函数的性定义可得，再利用充分必要条件的判定方法即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、因为是偶函数，定义域为，
则，的定义域也为，
故，则为偶函数，故A正确；
B、因为是奇函数，定义域为，
则，的定义域也为，
故，则为奇函数，故B正确；
C、取，则为单调递减函数，满足条件，
但此时，为单调递增函数，结论不成立，故C错误；
D、因为是单调递增函数，任取，且，
则，所以，
则也是单调递增函数，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用函数奇偶性的定义和性质结合函数单调性的定义，逐项判断即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以或，解得或或，
当时，，，满足题意；
当时，，，满足题意；
当时，，，满足题意；
当时，，，不满足集合的互异性，故舍去；
综上，或.
故答案为：ABD.
【分析】先利用集合的包含关系得到或，解出x的值，再利用集合的互异性逐个判断即可求解.
10．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，取，则，
显然的最小值不可能为2，故A错误；
B、因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故B正确；
C、因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
D、因为，，
所以
当且仅当，即时取等号，
显然等号无法取得，D错误.
故答案为：BC.
【分析】举特殊值即可判断A，利用基本不等式即可判断B，利用基本不等式“1”的代换即可判断C，利用基本不等式“一正二定三相等”即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，，
则表示中较大的数，表示中较小的数，
A、，所以，故A选项正确；
B、当时，，
所以，而，
此时不成立，故B错误；
C、当时，，得，
当时，；
当时，；
则；
当时，，得，
当时，；
当时，；
则；
综上，，故C正确；
D、当时，，
则；
当时，，
则；
综上，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据函数新定义即可直接判断A，找特殊值即可判断B，分类讨论的大小关系，利用绝对值的相关知识可判断C，分类讨论的大小关系可判断D即可求解.
12．【答案】
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：已知，且，
所以是的一个解，即，解得，
当时集合A={1，2}
经检验，满足题意.
故答案为：
【分析】先利用元素与集合的关系得到关于的方程，求出m后代到原集合进行检验即可得解.
13．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：已知可设幂函数若，则，解得，
所以，故.
故答案为：
【分析】先设出幂函数的解析式，把点代入求出n，把9代入即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意知对任意的，恒成立，
则，
因为，
当时，，显然满足；
当时，，，则，
所以，，
所以，即，
此时没有最小值，所以，解得，故；
综上，.
故答案为：.【分析】先利用可构成三角形的函数的定义，得到，再对分与两种情况进行讨论，分别求出的最值情况，列出关于的不等式即可求解.
15．【答案】（1）解：已知，解得，故，
当时，，
所以或，.
或，
（2）解：因为，所以，
由（1）可知，又，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，解得；
综上，或，即实数a的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，再把代入化简集合，最后利用集合的补集与交集运算即可求解；
（2）先由已知条件得到，再分类讨论与两种情况，列出关于的不等式（组），解不等式组即可求解.
（1）解，得，故，
当时，，
所以或，.
（2）因为，所以，
由（1）可知，又，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，解得；
综上，或，即实数a的取值范围为.
16．【答案】（1）解：当，，
则，
又定义域是的奇函数，所以.
（2）解：因为函数在区间上单调递增，
因为当时，，其图象开口向下，对称轴为，
所以，解得，即的取值范围为.
（3）解：因为不等式在区间上恒成立，
所以此时只需考虑在上的解析式即可，
当，时，，
当时，，则，
又定义域是的奇函数，所以，
因为不等式在区间上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，则，
而，
当且仅当时，等号成立，则，
所以，即.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）先把时的解析式求出来，再求得，最后利用奇函数的性质即可得解；
（2）根据题意，先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的单调性列出关于a不等式即可求解；
（3）先利用函数的奇偶性求出时的的解析式，再利用参变分离法构造转化成二次函数的最值性质即可求解.
（1）当，时，，
则，
又定义域是的奇函数，所以.
（2）因为函数在区间上单调递增，
所以此时只需考虑在上的单调性即可，
因为当时，，其图象开口向下，对称轴为，
所以，解得，即的取值范围为.
（3）因为不等式在区间上恒成立，
所以此时只需考虑在上的解析式即可，
当，时，，
当时，，则，
又定义域是的奇函数，所以，
因为不等式在区间上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，则，
而，
当且仅当时，等号成立，则，
所以，即.
17．【答案】（1）解：因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.
（2）解：设该工厂年获得总利润为万元，
则.
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为.
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.
【知识点】二次函数模型
【解析】【分析】（1）先由题意列出总成本的表达式，利用二次函数的性质结合对称轴求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量即可.
（2）由题意先求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量即可求解.
（1）因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.
（2）设该工厂年获得总利润为万元，
则.
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为.
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.
18．【答案】（1）解：由，得，即，而，
因此，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
（2）解：由，得，即，
不等式，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为R；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由得，再利用“1”的整体结合基本不等式“一正，二定，三相等”求出最小值即可求解.
（2）先由得到，即代入不等式，把转化成，再对a分，，三种情况讨论解不等式即可求解.
（1）由，得，即，而，
因此，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
（2）由，得，即，
不等式，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为R；
当时，原不等式的解集为.
19．【答案】（1）解：依题意，.
（2）解：依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，不妨设或者，
①当时，且，
相乘得，解得，
因此，；
②当时，同理得到，，
所以或.
（3）解：先证明中元素个数不小于13，
若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数，
①集合中没有负数，
不妨设，则
积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14，
②集合中至少有一个负数，
设是中的全部负元素，是中的全部非负元素，
不妨设，其中为正整数，，
于是有，
以上是中的个非正数元素，又，
它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13，
因此中元素个数不小于13，
取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13.
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据集合的新定义把4个元素代入计算结合集合元素的互异性求解即可.
（2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分，两种情况讨论列式计算即可求解.
（3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论即可求解.
（1）依题意，.
（2）依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，不妨设或者，
①当时，且，
相乘得，解得，
因此，；
②当时，同理得到，，
所以或.
（3）先证明中元素个数不小于13，
若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数，
①集合中没有负数，
不妨设，则
积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14，
②集合中至少有一个负数，
设是中的全部负元素，是中的全部非负元素，
不妨设，其中为正整数，，
于是有，
以上是中的个非正数元素，又，
它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13，
因此中元素个数不小于13，
取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13.
1 / 1浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题
1．（2024高一上·杭州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：B
【分析】由题意可得，利用交集的定义把元素一一找出来即可求解.
2．（2024高一上·杭州期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意特称命题否定的规则为：改量词，否结论，可得命题“”的否定为.
故答案为：D.
【分析】利用含有量词命题否定的规则：改量词，否结论，特称命题的否定为全称命题即可求解.
3．（2024高一上·杭州期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可得有意义可得：，
解得且，
所以的定义域为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数定义域求法，保证函数有意义即可得解.
4．（2024高一上·杭州期中）下列函数在定义域上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、因为，所以函数在定义域R上单调递增，故A选项错误；
B、因为函数的定义域为，由单调函数的定义可得在定义域上不单调，故B选项错误；
C、因为函数函数在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故C选项正确；
D、函数的定义域为，函数为对勾函数，
所以在定义域上不单调，故D选项错误.
故答案为：C
【分析】先利用幂函数的性质判断B、C，再利用一次函数的性质判断A，利用对勾函数即可判断D.
5．（2024高一上·杭州期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解；A、与，对应关系不同，不表示同一函数，故A选项错误；
B、的定义域是，的定义域也是，
则两函数的定义域相同，对应关系也相同，表示同一函数，故B选项正确；
C、函数的定义域是，的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不表示同一函数，故C选项错误；
D、由且，解得，则定义域为，
由，解得或，则定义域为或，
所以两函数的定义域不同，不表示同一函数，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】先求函数定义域，再看函数对应关系，两者均相同则函数相同，逐项判断即可得求解.
6．（2024高一上·杭州期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意，可转化为，解得，
所以的解集为.
故答案为：A.
【分析】先把二次项系数化成正数，再利用二次不等式的解法即可求解.
7．（2024高一上·杭州期中）已知是定义在上的偶函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，显然成立，即充分性成立；
当时，因为函数是上的偶函数，
所以解得或
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先利用偶函数的性定义可得，再利用充分必要条件的判定方法即可求解.
8．（2024高一上·杭州期中）的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，则也是偶函数
B．若是奇函数，则也是奇函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、因为是偶函数，定义域为，
则，的定义域也为，
故，则为偶函数，故A正确；
B、因为是奇函数，定义域为，
则，的定义域也为，
故，则为奇函数，故B正确；
C、取，则为单调递减函数，满足条件，
但此时，为单调递增函数，结论不成立，故C错误；
D、因为是单调递增函数，任取，且，
则，所以，
则也是单调递增函数，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用函数奇偶性的定义和性质结合函数单调性的定义，逐项判断即可求解.
9．（2024高一上·杭州期中）若集合，，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A,B,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以或，解得或或，
当时，，，满足题意；
当时，，，满足题意；
当时，，，满足题意；
当时，，，不满足集合的互异性，故舍去；
综上，或.
故答案为：ABD.
【分析】先利用集合的包含关系得到或，解出x的值，再利用集合的互异性逐个判断即可求解.
10．（2024高一上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若，则的最小值为1
C．若，，且，则的最小值为
D．若，，且，则的最大值为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，取，则，
显然的最小值不可能为2，故A错误；
B、因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故B正确；
C、因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
D、因为，，
所以
当且仅当，即时取等号，
显然等号无法取得，D错误.
故答案为：BC.
【分析】举特殊值即可判断A，利用基本不等式即可判断B，利用基本不等式“1”的代换即可判断C，利用基本不等式“一正二定三相等”即可判断D.
11．（2024高一上·杭州期中）设，定义：，，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，，
则表示中较大的数，表示中较小的数，
A、，所以，故A选项正确；
B、当时，，
所以，而，
此时不成立，故B错误；
C、当时，，得，
当时，；
当时，；
则；
当时，，得，
当时，；
当时，；
则；
综上，，故C正确；
D、当时，，
则；
当时，，
则；
综上，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据函数新定义即可直接判断A，找特殊值即可判断B，分类讨论的大小关系，利用绝对值的相关知识可判断C，分类讨论的大小关系可判断D即可求解.
12．（2024高一上·杭州期中）已知集合，，则的值为 .
【答案】
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：已知，且，
所以是的一个解，即，解得，
当时集合A={1，2}
经检验，满足题意.
故答案为：
【分析】先利用元素与集合的关系得到关于的方程，求出m后代到原集合进行检验即可得解.
13．（2024高一上·杭州期中）已知幂函数的图象过点（2，），则
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：已知可设幂函数若，则，解得，
所以，故.
故答案为：
【分析】先设出幂函数的解析式，把点代入求出n，把9代入即可求解.
14．（2024高一上·杭州期中）对于函数，若对于任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意知对任意的，恒成立，
则，
因为，
当时，，显然满足；
当时，，，则，
所以，，
所以，即，
此时没有最小值，所以，解得，故；
综上，.
故答案为：.【分析】先利用可构成三角形的函数的定义，得到，再对分与两种情况进行讨论，分别求出的最值情况，列出关于的不等式即可求解.
15．（2024高一上·杭州期中）已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：已知，解得，故，
当时，，
所以或，.
或，
（2）解：因为，所以，
由（1）可知，又，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，解得；
综上，或，即实数a的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，再把代入化简集合，最后利用集合的补集与交集运算即可求解；
（2）先由已知条件得到，再分类讨论与两种情况，列出关于的不等式（组），解不等式组即可求解.
（1）解，得，故，
当时，，
所以或，.
（2）因为，所以，
由（1）可知，又，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，解得；
综上，或，即实数a的取值范围为.
16．（2024高一上·杭州期中）已知定义域是的奇函数，当时，.
（1）若，求的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当，，
则，
又定义域是的奇函数，所以.
（2）解：因为函数在区间上单调递增，
因为当时，，其图象开口向下，对称轴为，
所以，解得，即的取值范围为.
（3）解：因为不等式在区间上恒成立，
所以此时只需考虑在上的解析式即可，
当，时，，
当时，，则，
又定义域是的奇函数，所以，
因为不等式在区间上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，则，
而，
当且仅当时，等号成立，则，
所以，即.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）先把时的解析式求出来，再求得，最后利用奇函数的性质即可得解；
（2）根据题意，先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的单调性列出关于a不等式即可求解；
（3）先利用函数的奇偶性求出时的的解析式，再利用参变分离法构造转化成二次函数的最值性质即可求解.
（1）当，时，，
则，
又定义域是的奇函数，所以.
（2）因为函数在区间上单调递增，
所以此时只需考虑在上的单调性即可，
因为当时，，其图象开口向下，对称轴为，
所以，解得，即的取值范围为.
（3）因为不等式在区间上恒成立，
所以此时只需考虑在上的解析式即可，
当，时，，
当时，，则，
又定义域是的奇函数，所以，
因为不等式在区间上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，则，
而，
当且仅当时，等号成立，则，
所以，即.
17．（2024高一上·杭州期中）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.
（1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
（2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
【答案】（1）解：因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.
（2）解：设该工厂年获得总利润为万元，
则.
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为.
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.
【知识点】二次函数模型
【解析】【分析】（1）先由题意列出总成本的表达式，利用二次函数的性质结合对称轴求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量即可.
（2）由题意先求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量即可求解.
（1）因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.
（2）设该工厂年获得总利润为万元，
则.
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为.
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.
18．（2024高一上·杭州期中）已知，，函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求不等式的解集（用表示）．
【答案】（1）解：由，得，即，而，
因此，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
（2）解：由，得，即，
不等式，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为R；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由得，再利用“1”的整体结合基本不等式“一正，二定，三相等”求出最小值即可求解.
（2）先由得到，即代入不等式，把转化成，再对a分，，三种情况讨论解不等式即可求解.
（1）由，得，即，而，
因此，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
（2）由，得，即，
不等式，
当时，解得或；当时，；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为R；
当时，原不等式的解集为.
19．（2024高一上·杭州期中）已知实数集，定义
（1）若，求；
（2）若，求集合；
（3）若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．
【答案】（1）解：依题意，.
（2）解：依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，不妨设或者，
①当时，且，
相乘得，解得，
因此，；
②当时，同理得到，，
所以或.
（3）解：先证明中元素个数不小于13，
若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数，
①集合中没有负数，
不妨设，则
积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14，
②集合中至少有一个负数，
设是中的全部负元素，是中的全部非负元素，
不妨设，其中为正整数，，
于是有，
以上是中的个非正数元素，又，
它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13，
因此中元素个数不小于13，
取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13.
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据集合的新定义把4个元素代入计算结合集合元素的互异性求解即可.
（2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分，两种情况讨论列式计算即可求解.
（3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论即可求解.
（1）依题意，.
（2）依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，不妨设或者，
①当时，且，
相乘得，解得，
因此，；
②当时，同理得到，，
所以或.
（3）先证明中元素个数不小于13，
若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数，
①集合中没有负数，
不妨设，则
积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14，
②集合中至少有一个负数，
设是中的全部负元素，是中的全部非负元素，
不妨设，其中为正整数，，
于是有，
以上是中的个非正数元素，又，
它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13，
因此中元素个数不小于13，
取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13.
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