上海市民立中学2024-2025学年高一上学期期中学习质量检测数学试题
1．（2024高一上·静安期中）已知全集，则 .
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集，
所以.
故答案为：
【分析】由题意结合补集的定义把A中的元素一一列举出来即可.
2．（2024高一上·静安期中）若，则 .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，由对数的定义可得，
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合指数式与对数式的转化定义即可求解.
3．（2024高一上·静安期中）设，若关于的等式对于任意实数恒成立，则 .
【答案】6
【知识点】恒等式
【解析】【解答】解：由题意原等式化简为恒成立，
所以，所以.
故答案为：6
【分析】先对等式进行化简，各项系数都为零即可得.
4．（2024高一上·静安期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为，是一元二次方程的两根，
由根与系数关系可得，，
因此，.
故答案为：10.
【分析】由题意结合根与系数关系列出等式，再对进行化简代数即可求解.
5．（2024高一上·静安期中）已知为正实数，且满足，则的最大值是 ．
【答案】100
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且为正实数
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最大值为.
故答案为：
【分析】先利用基本不等式的变形，得到，再利用等号成立的条件即可求解.
6．（2024高一上·静安期中）已知，化简： .
【答案】
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用根的运算性质对原式进行化简，结合去绝对值进行运算即可求解.
7．（2024高一上·静安期中）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
【答案】2
【知识点】方程组的解集
【解析】【解答】解：由题意得，即，
因为关于，的二元一次方程组的解集为，
所以关于的方程的无解，
即，解得，
故答案为：2．
【分析】先将二元一次方程组转化为一元一次方程，一元一次方程无解只需要一次项系数为0即可得出答案．
8．（2024高一上·静安期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，，解得，此时解集为空集，
当时，，即，符合要求，此时解集为，
当时，，解得，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
【分析】零点分段法求解绝对值不等式.
9．（2024高一上·静安期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，
=或，
又，则，
如图1，图2，有或，解得或.
综上，所求的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】先解二次不等式求出集合，再解绝对值不等式化简集合Q，最后由集合交集的定义结合已知可得列出关于的不等式，即可求解.
10．（2024高一上·静安期中）已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为或，
则关于x的方程的两根分别为1、3，且，
由根与系数关系可得，解得，，故，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为3，
因为恒成立，则，即，解得．
因此，实数k的取值范围是．
故答案为：
【分析】先根据不等式的解集结合根与系数关系可得，再利用基本不等式“1”的代换可得的最小值为3，把已知转化成，从而可得的取值范围.
11．（2024高一上·静安期中）已知，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：方程的解为或，
因为
所以不等式的解集是.
故答案为：D.
【分析】先求出方程的跟，再根据一元二次不等式的解法解不等式即可.
12．（2024高一上·静安期中）利用反证法证明“若，则至少有一个小于0”时，假设应为（ ）
A．都小于0 B．都不小于0
C．至少有一个不小于0 D．至多有一个小于0
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设都不小于0，则与已知矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
故答案为：B
【分析】由反证法的定义假设结论不成立，得出矛盾，即可选出答案.
13．（2024高一上·静安期中）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得或，
因为“或”“”，且 “” “或”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C.
【分析】先解分式不等式求出的范围，再找到两个条件的关系结合充分条件，必要条件的定义即可求解.
14．（2024高一上·静安期中）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升．
第一种方案的均价：，当且仅当时取等号；
第二种方案的均价：，因，则，故，当且仅当时取等号.
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
故选：B．
【分析】先设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，分别计算出两种方案下的燃油的均价，再利用基本不等式比较即得.
15．（2024高一上·静安期中）用适当的方法表示下列集合
（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C
【答案】解：（1）大于0且不超过6的全体偶数有，故集合；
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合；
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合.
【知识点】集合的表示方法
【解析】【分析】（1）大于0且不超过6的偶数个数有限利用列举法表示集合即可；
（2）被3除余2的自然数元素个数无限利用描述法表示集合即可；
（3）直角坐标平面上第二象限的点利用描述法表示集合即可；
16．（2024高一上·静安期中）（1）已知集合，，求；
（2）已知，求下列各式的值：
①
②
【答案】解：（1）由集合，，
可得，，.
（2）①因为，可得，所以
②由.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）由题意，结合集合的交集和并集的概念与运算，求解即可；
（2）①利用，结合题意即可求解；
②利用立方和公式，结合①代入即可求解.
17．（2024高一上·静安期中）厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.
（1）若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围；
（2）若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？
【答案】（1）解：依题意可得，即，解得，
又∵，
∴，
故的取值范围为.
（2）解：记宣传单的面积为，设，则，∴，
当且仅当，即，等号成立，
∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为.
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到不等式，利用一元二次不等式的解法求出的取值范围即可；
（2）设宣传单的面积为，，列出，再利用基本不等式求出面积最小值（当且仅当，“=”成立）及的大小即可.
（1）依题意可得，
即，
解得，
又∵，
∴，
故的取值范围为.
（2）记宣传单的面积为，设，则，
∴，
当且仅当，即，等号成立，
∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为.
18．（2024高一上·静安期中）（1）解关于的不等式
（2）已知不等式对一切都成立.求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由不等式，可得，
当时，恒成立，则；
当时，原不等式可得；
当时，原不等式可得.
综上，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为；
（2）当时，原不等式为，对任意的恒成立；
当时，由二次不等式对一切都成立，
需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）先化简不等式为，再对参数讨论，利用不等式性质解不等式即可；
（2）分、讨论求解即可.
19．（2024高一上·静安期中）若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
（1）判断是否为“集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“集合”．
【答案】（1）解：不是，理由如下：
因为，所以不是“一集合”．
（2）解：设．
若，则或．
由，解得（舍去），此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
若，则或，
由，解得，此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
综上，所有满足条件的集合为．
（3）解：若“集合”为双元素集，不妨设，则或，
由，则，而，故，此时；
由，则，而，显然不存在正整数解；
所以，“集合”为，其中．
若“集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为，
则是“集合”中的元素，
若，解得，
若，则，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
故所有满足条件的“集合”为，其中．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）根据“集合”集合定义把“1”代入直接判断即可；
（2）设，根据“集合”集合定义进得到或，结合一元二次方程解的情况研究这两个等式是否存在正整数解即可；
（3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解.
（1）因为，所以不是“一集合”．
（2）设．
若，则或．
由，解得（舍去），此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
若，则或，
由，解得，此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
综上，所有满足条件的集合为．
（3）若“集合”为双元素集，
不妨设，则或，
由，则，而，故，此时；
由，则，而，显然不存在正整数解；
所以，“集合”为，其中．
若“集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为，
则是“集合”中的元素，
若，解得，
若，则，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
故所有满足条件的“集合”为，其中．
1 / 1上海市民立中学2024-2025学年高一上学期期中学习质量检测数学试题
1．（2024高一上·静安期中）已知全集，则 .
2．（2024高一上·静安期中）若，则 .
3．（2024高一上·静安期中）设，若关于的等式对于任意实数恒成立，则 .
4．（2024高一上·静安期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ．
5．（2024高一上·静安期中）已知为正实数，且满足，则的最大值是 ．
6．（2024高一上·静安期中）已知，化简： .
7．（2024高一上·静安期中）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
8．（2024高一上·静安期中）不等式的解集是 ．
9．（2024高一上·静安期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 .
10．（2024高一上·静安期中）已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是 ．
11．（2024高一上·静安期中）已知，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
12．（2024高一上·静安期中）利用反证法证明“若，则至少有一个小于0”时，假设应为（ ）
A．都小于0 B．都不小于0
C．至少有一个不小于0 D．至多有一个小于0
13．（2024高一上·静安期中）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
14．（2024高一上·静安期中）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定
15．（2024高一上·静安期中）用适当的方法表示下列集合
（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C
16．（2024高一上·静安期中）（1）已知集合，，求；
（2）已知，求下列各式的值：
①
②
17．（2024高一上·静安期中）厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.
（1）若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围；
（2）若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？
18．（2024高一上·静安期中）（1）解关于的不等式
（2）已知不等式对一切都成立.求实数的取值范围.
19．（2024高一上·静安期中）若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
（1）判断是否为“集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“集合”．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集，
所以.
故答案为：
【分析】由题意结合补集的定义把A中的元素一一列举出来即可.
2．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，由对数的定义可得，
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合指数式与对数式的转化定义即可求解.
3．【答案】6
【知识点】恒等式
【解析】【解答】解：由题意原等式化简为恒成立，
所以，所以.
故答案为：6
【分析】先对等式进行化简，各项系数都为零即可得.
4．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为，是一元二次方程的两根，
由根与系数关系可得，，
因此，.
故答案为：10.
【分析】由题意结合根与系数关系列出等式，再对进行化简代数即可求解.
5．【答案】100
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且为正实数
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最大值为.
故答案为：
【分析】先利用基本不等式的变形，得到，再利用等号成立的条件即可求解.
6．【答案】
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用根的运算性质对原式进行化简，结合去绝对值进行运算即可求解.
7．【答案】2
【知识点】方程组的解集
【解析】【解答】解：由题意得，即，
因为关于，的二元一次方程组的解集为，
所以关于的方程的无解，
即，解得，
故答案为：2．
【分析】先将二元一次方程组转化为一元一次方程，一元一次方程无解只需要一次项系数为0即可得出答案．
8．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，，解得，此时解集为空集，
当时，，即，符合要求，此时解集为，
当时，，解得，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
【分析】零点分段法求解绝对值不等式.
9．【答案】或
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，
=或，
又，则，
如图1，图2，有或，解得或.
综上，所求的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】先解二次不等式求出集合，再解绝对值不等式化简集合Q，最后由集合交集的定义结合已知可得列出关于的不等式，即可求解.
10．【答案】
【知识点】基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为或，
则关于x的方程的两根分别为1、3，且，
由根与系数关系可得，解得，，故，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为3，
因为恒成立，则，即，解得．
因此，实数k的取值范围是．
故答案为：
【分析】先根据不等式的解集结合根与系数关系可得，再利用基本不等式“1”的代换可得的最小值为3，把已知转化成，从而可得的取值范围.
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：方程的解为或，
因为
所以不等式的解集是.
故答案为：D.
【分析】先求出方程的跟，再根据一元二次不等式的解法解不等式即可.
12．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设都不小于0，则与已知矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
故答案为：B
【分析】由反证法的定义假设结论不成立，得出矛盾，即可选出答案.
13．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得或，
因为“或”“”，且 “” “或”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C.
【分析】先解分式不等式求出的范围，再找到两个条件的关系结合充分条件，必要条件的定义即可求解.
14．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升．
第一种方案的均价：，当且仅当时取等号；
第二种方案的均价：，因，则，故，当且仅当时取等号.
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
故选：B．
【分析】先设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，分别计算出两种方案下的燃油的均价，再利用基本不等式比较即得.
15．【答案】解：（1）大于0且不超过6的全体偶数有，故集合；
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合；
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合.
【知识点】集合的表示方法
【解析】【分析】（1）大于0且不超过6的偶数个数有限利用列举法表示集合即可；
（2）被3除余2的自然数元素个数无限利用描述法表示集合即可；
（3）直角坐标平面上第二象限的点利用描述法表示集合即可；
16．【答案】解：（1）由集合，，
可得，，.
（2）①因为，可得，所以
②由.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）由题意，结合集合的交集和并集的概念与运算，求解即可；
（2）①利用，结合题意即可求解；
②利用立方和公式，结合①代入即可求解.
17．【答案】（1）解：依题意可得，即，解得，
又∵，
∴，
故的取值范围为.
（2）解：记宣传单的面积为，设，则，∴，
当且仅当，即，等号成立，
∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为.
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到不等式，利用一元二次不等式的解法求出的取值范围即可；
（2）设宣传单的面积为，，列出，再利用基本不等式求出面积最小值（当且仅当，“=”成立）及的大小即可.
（1）依题意可得，
即，
解得，
又∵，
∴，
故的取值范围为.
（2）记宣传单的面积为，设，则，
∴，
当且仅当，即，等号成立，
∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为.
18．【答案】解：（1）由不等式，可得，
当时，恒成立，则；
当时，原不等式可得；
当时，原不等式可得.
综上，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为；
（2）当时，原不等式为，对任意的恒成立；
当时，由二次不等式对一切都成立，
需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）先化简不等式为，再对参数讨论，利用不等式性质解不等式即可；
（2）分、讨论求解即可.
19．【答案】（1）解：不是，理由如下：
因为，所以不是“一集合”．
（2）解：设．
若，则或．
由，解得（舍去），此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
若，则或，
由，解得，此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
综上，所有满足条件的集合为．
（3）解：若“集合”为双元素集，不妨设，则或，
由，则，而，故，此时；
由，则，而，显然不存在正整数解；
所以，“集合”为，其中．
若“集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为，
则是“集合”中的元素，
若，解得，
若，则，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
故所有满足条件的“集合”为，其中．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】（1）根据“集合”集合定义把“1”代入直接判断即可；
（2）设，根据“集合”集合定义进得到或，结合一元二次方程解的情况研究这两个等式是否存在正整数解即可；
（3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解.
（1）因为，所以不是“一集合”．
（2）设．
若，则或．
由，解得（舍去），此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
若，则或，
由，解得，此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
综上，所有满足条件的集合为．
（3）若“集合”为双元素集，
不妨设，则或，
由，则，而，故，此时；
由，则，而，显然不存在正整数解；
所以，“集合”为，其中．
若“集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为，
则是“集合”中的元素，
若，解得，
若，则，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
故所有满足条件的“集合”为，其中．
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