山西省2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

山西省 2023-2024 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = {3,4}， = { |2√ 1 < 4, ∈ }，则 ∩ =( )
A. (2,3) B. {2,3} C. (3,4) D. {3,4}
2.已知复数 满足( 1)2 = 4，则复数 的模为( )
A. 2 B. √ 5 C. √ 7 D. 2√ 2
3.下列说法中，正确的是( )
A. 数列2，4，6，8可表示为集合{2,4,6,8}
B. 数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列
C. 数列{ 2 + }的第 项为 2 +
D. 数列0，1，2，3，4， 可记为{ }
1
4.若函数 ( ) = 2 + 1，则 ′( ) =( )
2
1 3 5
A. 0 B. C. D.
2 2 2
1
5.若 ∈ (0, )，且2 = 1，则 =( )
2 cos cos2
25 5 5 25
A. B. C. D.
39 3 3 39
6.已知半径为1的圆经过点(1,1)，其圆心到直线3 + 4 + 3 = 0的距离的最大值为( )
5 7
A. B. C. 2 D. 3
2 2
4 1
7.已知公差不为0的等差数列{ }满足 + = 2 5，则 + 的最小值为( ) +2
5 3
A. 1 B. C. D. 2
4 4
8.已知函数 ( ) = 2 + ，若 ∈ (0,1)，则下列式子大小关系正确的是( )
A. √ ( ) < ( ) < (√ ) B. (√ ) < ( ) < √ ( )
C. √ ( ) < (√ ) < ( ) D. ( ) < √ ( ) < (√ )
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是( )
A. = + 2 , ∈
B. = 3 , ∈

1 + 1, ≤ 2
C. = , ∈ D. = { , ∈

3 2 1, > 2
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10.2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数( )如图所示：
则下列说法正确的是( )
A. 从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数( )的极差为5.8%
B. 2023年7月份，制造业采购经理指数( )为49.3%，比上月上升0.3个百分点
C. 从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数( )的第71百分位数为50.1%
D. 从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数( )的平均数约为48.78%
11.已知正四棱锥 的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球 的球面上，则下列说法正确的是( )
√ 3
A. 直线 与平面 所成角的余弦值为
3
B. 平面 截球 所得的截面面积为√ 2
9
C. 球 的体积为
2
3√ 5
D. 球心 到平面 的距离为
10
2 2
12.已知 1， 2为双曲线 ： 2 = 1( > 0)的左、右焦点， 为平面上一点，若 1 2 = 0，则( ) 4
A. 当 为双曲线 上一点时，△ 1 2的面积为4
B. 当点 坐标为(0,2√ 2)时， = 2
C. 当 在双曲线 上，且点 的横坐标为±√ 15时， 的离心率为√ 3
D. 当点 在第一象限且在双曲线 上时，若△ 1 2的周长为2 + 4 ，则直线 的斜率为√ 3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
13.设单位向量 , 的夹角的余弦值为 ，则(2 ) ( + ) = ______．
2
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14.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，点 (3, 1)，若点 为抛物线上任意一点，当| | + | |取最小值时，
点 的坐标为______．
15.某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，则甲没
有拿到白色鲜花的概率是______．
16.若存在实数 ， 使得 + ≤ + + 3，则 + 的值为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
1
已知函数 ( ) = 3 + 2 + ，且 = 1， = 3为极值点．
3
(1)求实数 ， 的值；
(2)判断 = 1， = 3是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值．
18.(本小题12分)
1 1
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ( + ) + ( + ) = ．
2 2
(1)求角 ；
(2)设 是边 上一点， 为角平分线且 = 2 ，求 的值．
19.(本小题12分)
2+
已知数列{ }，且 2 1 + 2 2 + + 2 = ． 2
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
20.(本小题12分)
如图，在直四棱柱 1 1 1 1中， // ， 与 相交于点 ，∠ = 90°， = 1 = 2 =
1
4 = 4， 为线段 1 上一点，且 1 = 5 1 ．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求平面 1 1与平面 1的夹角的余弦值．
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21.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = 1．
(1)证明： ( ) ≤ ( )；
( ) ( ) 1
(2)设 ( ) = ( ) ( )，求证：对任意的0 < < ，都有 > 1成立．
+
22.(本小题12分)
2 2 √ 6
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为2√ 3，点( 1, )在椭圆 上． 3
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 1， 2是经过椭圆 下顶点的两条直线， 1与椭圆 相交于另一点 ， 与圆
2 + 22 = 1相交于另一点 ，
若 1的斜率不等于0， 2的斜率等于 1斜率的3倍，证明：直线 经过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
1
13.【答案】
2
1
14.【答案】( , 1)
4
2
15.【答案】
3
16.【答案】1
17.【答案】解：(1) ′( ) = 2 + 2 + ，
因为 = 1， = 3为函数的极值点，
1 + 2 + = 0 = 2
所以{ ，解得{ ，
9 + 6 + = 0 = 3
经检验符合题意，所以 = 2， = 3；
1
(2)由(1)得 ( ) = 3 2 2 + 3 ， ′( ) = 2 4 + 3，
3
当 < 1或 > 3时， ′( ) > 0，当1 < < 3时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在( ∞, 1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，
4
所以 = 1为极大值点，极大值为 (1) = ，
3
= 3为极小值点，极小值为 (3) = 0．
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1 1
18.【答案】解：(1)由正弦定理得 ( + ) + ( + ) = 2，
2 2
即 2 + 2 + = 2，
2
2+ 2 1
利用余弦定理可知 = = ，
2 2
2
因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3
2
(2)在△ 中，∠ = , = 2 ，
3
所以 △ = 2 △ ，
1 1
即 ∠ = 2 ∠ ，
2 2
因为 为角平分线，所以sin∠ = sin∠ ，所以 = 2 ，
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 7 2，
则 = √ 7 ，
2
+ 2 2 5√ 7
因此 = = ．
2 14
2+
19.【答案】解：(1)因为 2 1 + 2 2 + + 2 = ， 2
2
( 1) +( 1)
当 ≥ 2时， 2 1 + 2 2 + + 2 1 = ， 2
2
2+ ( 1) +( 1)
两式相减，得 2 = = ，则 = 2
，
2 2
当 = 1时，log2 1 = 1，则 1 = 2，满足上式，
所以 = 2 ．
(2)由(1)得 = 2
，
所以 = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 2
3 + + 2 ，
则2 = 1 × 2
2 + 2 × 23 + 3 × 24 + + 2 +1，
2(1 2 )
两式相减，得 = 2 + 2
2 + 23 + + 2 2 +1 = 2 +1 = (1 ) 2 +1 2，
1 2
所以 = ( 1) 2 +1 + 2．
1
20.【答案】(1)证明：因为 // ，所以△ ∽△ ，所以 = = ，
4
1
又 为线段 1 上一点，且 1 = 5 1
，
1
所以 1 = ，在△ 1 中 // 1 ， 4
又 平面 1 1， 1 平面 1 1，
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所以 //平面 1 1．
(2)解：在直四棱柱 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，又∠ = 90°，
如图建立空间直角坐标系，
则 (2,0,0)， 1(0,0,4)， 1(2,1,4)， (2,1,0)， 1(0,4,4)，
所以 1 = ( 2,0,4)， 1 = (0,1,4)， = (2,1,0)， 1 = (0,4,4)，
设平面 1 1的一个法向量为 = ( , , )，

则{ 1
= 2 + 4 = 0
，令 = 1，可得 = (2, 4,1)，
1 = + 4 = 0
设平面 1的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + = 0
则{ ，令 = 1，可得 = (1, 2,2)，
1 = 4 + 4 = 0
设平面 1 1与平面 1的夹角的大小为 ，
| | |2+8+2| 4√ 21
所以 = |cos < , > | = = = ，
| | | | √ 9×√ 21 21
即平面 1 1与平面 1的夹角的余弦值为
4√ 21．
21
1 1
21.【答案】证明：(1)设 ( ) = ( ) ( ) = 1 ( > 0) ′( ) = 1 = ，

当 > 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减，所以 ( ) = (1) = 0，
于是有 ( ) = ( ) ( ) = 1 ≥ 0 ( ) ≥ ( )，即 ( ) ≤ ( )．
( ) ( ) 1
(2)要证明 > 1成立，
+
( 1) ( 1) 1
即证明 > 1成立，
+

ln ( )
即证明
1
> 1成立，
+
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ln
也就是证明
1
> 成立，
+

1
因为0 < < ，所以原问题就是证明ln > = 成立，
+ +1


由0 < < > 1，设 = > 1，

1
即证明 > ，也就是证明( + 1) > 1( > 1)成立，
+1
1
设 ( ) = ( + 1) + 1( > 1) ′( ) = + > 0，

所以当 > 1时，函数 ( )单调递增，即有 ( ) > (1) = 0 ( + 1) > 1，
( ) ( ) 1
从而 > 1成立．
+
22.【答案】解：(1)因为点 √ 6( 1, )在椭圆 上且长轴长为2√ 3，
3
2 = 2√ 3
所以{ 1 2 ，
2 + 2 = 13
解得{ = √ 3，
= 1
则椭圆 的方程为
2
+ 2 = 1．
3
(2)证明：设 1、 2的斜率分别为 、3 ，( ≠ 0)，
由(1)知下顶点为(0, 1)，
所以直线 1的方程为 = 1，直线 2的方程为 = 3 1，
= 1
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(1 + 3
2) 2 6 = 0，
+ = 1
3
6
解得 = 2或 1 = 0，
1+3
2 2
6 3 1
所以 = 1 = 1 = ， 2 2
1+3 1+3
2
6 3 1
即 ( 2 , 2)，
1+3 1+3
6
同理得 = 2 或 2 = 0，
9 +1
2
9 1
所以 = 3 1 = ， 2
9 +1
2
6 9 1
即 ( 2 , 2 )，
9 +1 9 +1
9 2 1 3 2 1

所以直线 的斜率为 2 26 +1 3 +1 6 1 ，
2 2 =
9 +1 3 +1 3
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2
3 1 1 6 则直线 方程为 2 = ( 2)，
3 +1 3 1+3
1
整理得 = + 1．
3
故直线 经过定点(0,1)．
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