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32第28章《锐角三角函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面结论中正确的是
A． B． C． D．
2．（3分）如图，在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
3．（3分）如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为
A．6米 B．米 C．12米 D．米
4．（3分）如图，在中，，，则
A． B． C． D．
5．（3分）如图，、分别是一个湖的南、北两端和正东方向的两个村庄，，且位于的北偏东方向上，则的长为
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在离铁塔150米的处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1米，则铁塔的高为 米
A． B． C． D．
7．（3分）如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点，，在格点上，以为直径的圆过，两点，则的值为
A． B． C． D．
9．（3分）直线与水平线所夹锐角的余弦是
A． B． C． D．
10．（3分）如图，中，，，双曲线经过点，双曲线经过点，则的值为
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知，则锐角的度数是 ．
12．（3分）如果方程的两根分别是中两条边的长，中最小角为，那么 ．
13．（3分）在中，，，，那么 度．
14．（3分）如图，小丽同学为了测量某古塔的高度，她站在处仰望楼顶，仰角为，走到点处仰望楼顶，仰角为，眼睛，离同一水平地面的高度为1.6米，米，则楼顶离地面的高度约是 米（参考数据：，，按四舍五入法将结果精确到．
15．（3分）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，则的值是 ．
16．（3分）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与轴正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为米．求新传送带的长度．
19．（8分）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若，，求．
20．（8分）四边形中，，，，，求的长．
21．（8分）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
22．（10分）阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角中，，，的对边分别是，，，过点作于点，则，，即，．于是，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏东的方向上，随后货轮以80海里时的速度向正东方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，求此时货轮距灯塔的距离．
（2）在（1）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号）
23．（12分）【问题情境】
如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为 ．
【问题解决】如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形是一个边长为的书展区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动治安点，到、的张角为，即，点、为另两个固定治安点．现需在展览区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个治安点的距离和最小，试求 最小值．（结果精确到，参考数据，
24．（10分）如图，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点，，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平面上有两点，，求的面积的最小值；
（3）若，求点的横坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
32第28章《锐角三角函数》单元检测卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C B B C A C B
一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（3分）下面结论中正确的是
A． B． C． D．
【思路点拔】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：、，故错误；
、，故正确；
、，故错误；
、，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．（3分）如图，在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
【思路点拔】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：中，，，，得
，
故选：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（3分）如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为
A．6米 B．米 C．12米 D．米
【思路点拔】根据坡比的定义可知，设，则，由勾股定理求出，得出即可．
【解答】解：商用手扶梯的坡比，
设米，则米，
，
解得：，
米，
故选：．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理．理解坡度的定义是解此题的关键．
4．（3分）如图，在中，，，则
A． B． C． D．
【思路点拔】根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，正确利用勾股定理求出边长是解题关键．
5．（3分）如图，、分别是一个湖的南、北两端和正东方向的两个村庄，，且位于的北偏东方向上，则的长为
A． B． C． D．
【思路点拔】过作于，根据题意及三角函数可求得的长，从而得到的长．
【解答】解：过作于，则．
直角中，，，
则．
所以．
故选：．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解．
6．（3分）如图，在离铁塔150米的处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1米，则铁塔的高为 米
A． B． C． D．
【思路点拔】过点作，为垂足，再由锐角三角函数的定义求出的长，由即可得出结论．
【解答】解：过点作，为垂足，如图所示：
，
，
四边形为矩形，
米，米，
在中，米，
，
，
（米，
故选：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．（3分）如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为
A． B． C． D．
【思路点拔】根据于，于，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解答】解：、于，于，
，故不合题意；
、，，
，
，故不合题意；
、无法得出，符合题意；
、，
，
，故不合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义的有关知识，正确掌握边角关系是解题关键．
8．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点，，在格点上，以为直径的圆过，两点，则的值为
A． B． C． D．
【思路点拔】由圆周角定理得到，求出即可解决问题．
【解答】解：是圆的直径，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，锐角的正弦值，掌握圆周角定理，三角函数定义是解题的关键．
9．（3分）直线与水平线所夹锐角的余弦是
A． B． C． D．
【思路点拔】直接利用锐角三角三角函数的定义结合一次函数图象与坐标轴交点求法进而得出答案．
【解答】解：，
如图所示：
可得：，，则，
直线与水平线所夹锐角的余弦是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确画出图形是解题关键．
10．（3分）如图，中，，，双曲线经过点，双曲线经过点，则的值为
A． B． C． D．
【思路点拔】作轴于，轴于，则，得出，由相似三角形的性质即可得出结果，求出，由相似三角形的性质求出的面积，即可得出的值．
【解答】解：如图所示，作轴于，轴于，
则，
，
．
双曲线经过点，双曲线经过点，
，，
中，，，
，
，
的面积，
．
故选：．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知，则锐角的度数是 ．
【思路点拔】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由，得
，
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12．（3分）如果方程的两根分别是中两条边的长，中最小角为，那么 或 ．
【思路点拔】首先解出方程的解为1或3，再分情况讨论①3为直角边；②3为斜边．然后根据正弦函数的定义求解．
【解答】解：，
，
，．
最小的角为，
所对的边为1．
①当3为直角边时，斜边为，．
②当3为斜边时，．
故答案为或．
【点评】此题考查了解一元二次方程，锐角三角函数，勾股定理，关键是进行分类讨论．
13．（3分）在中，，，，那么 60 度．
【思路点拔】在直角三角形中，利用角所对的直角边是斜边的一半的逆定理推知；然后根据直角三角形的两个锐角互为余角求得．
【解答】解：在中，
，，，
，
，
（直角三角形的两个锐角互为余角）．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，要熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
14．（3分）如图，小丽同学为了测量某古塔的高度，她站在处仰望楼顶，仰角为，走到点处仰望楼顶，仰角为，眼睛，离同一水平地面的高度为1.6米，米，则楼顶离地面的高度约是 48.9 米（参考数据：，，按四舍五入法将结果精确到．
【思路点拔】根据锐角三角函数列式计算即可求出楼顶离地面的高度．
【解答】解：在直角中，，设，
，
在直角中，，则，
，
解得：，
，
则（米．
答：楼顶离地面的高度约是48.9米．
故答案为：48.9．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，通过作辅助线证明三角形相似是解决问题的关键．
15．（3分）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，则的值是
【思路点拔】连接、，设，由得，再证明是的切线，而与相切于点，则，由切线长定理得，，由，得，则，所以，，由勾股定理得，即可求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接、，设，
，
，
是的半径，，
是的切线，
与相切于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点评】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．（3分）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与轴正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为 ．
【思路点拔】当的值最大时，则值最大，即当最大时，的值最大，设，由，得到，进而求解．
【解答】解：过点作轴于点，作交于点，
直线与轴平行，
，
当的值最大时，则值最大，
故最小，即最大时，最大，
即当最大时，的值最大，
设，
则，，，
，，
，
，
，即，
，
，
当时，取得最大值，
故，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定的值最大时，即最大，题目综合性强，难度适中．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【思路点拔】先去绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的运算，掌握实数的混合运算是解题的关键．
18．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为米．求新传送带的长度．
【思路点拔】根据正弦的定义求出，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：在中，（米．
在中，，
（米．
答：新传送带的长度约为8米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（8分）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若，，求．
【思路点拔】（1）①由四边形是菱形，，可得，，故是的切线；
②连接，由为直径，有，可得，又，从而；
（2）连接交于．由菱形，，得，，，，故，用面积法可得，即得．
【解答】（1）证明：①四边形是菱形，
，
，
，
，
为的半径的外端点，
是的切线；
②连接，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接交于．
菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
由知：，
．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
20．（8分）四边形中，，，，，求的长．
【思路点拔】延长交的延长线于点，根据，得到，，由，求得，推出，设，则，根据勾股定理得到，，然后再根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：延长交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
即，
解得：（负值舍去），
的长是．
【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．（8分）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【思路点拔】（1）在中，根据正弦的定义得到，可计算出，则根据勾股定理计算出，然后在中，利用得到，于是；
（2）先根据三角形中线定义得到，则，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：（1）是边上的高，
，
在中，，
而，
，
，
在中，，
，
；
（2）是边上的中线，
，
，
在中，．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
22．（10分）阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角中，，，的对边分别是，，，过点作于点，则，，即，．于是，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏东的方向上，随后货轮以80海里时的速度向正东方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，求此时货轮距灯塔的距离．
（2）在（1）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号）
【思路点拔】（1）此题可先由速度和时间求出的距离，再由方向角求出的度数，过作于，得出，求出，由勾股定理求出，从而求出，即可得到结论；
（2）根据正弦定理即可得到结论．
【解答】解：（1）由示意图可知：，
由平行线的性质可知，
则，（海里），
过作于点，
则，，
（海里），
由勾股定理得：（海里），
，，
，
海里，
（海里），
答：此时货轮距灯塔的距离为海里；
（2）如图，由（1）知，海里，海里，海里，
海里，
，
，
．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键．
23．（12分）【问题情境】
如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为 5 ．
【问题解决】如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形是一个边长为的书展区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动治安点，到、的张角为，即，点、为另两个固定治安点．现需在展览区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个治安点的距离和最小，试求 最小值．（结果精确到，参考数据，
【思路点拔】（1）作出三角形的外接圆，证明是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；
（2）点在以为直径的圆上，根据圆心，，三点共线时最小，计算即可；
（3）如图3，设所在圆的圆心为点，根据（1）可得所在圆的半径，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，当，，，，共线时，最小，构造直角三角形求解即可．
【解答】解：（1）如图1，作的外接圆，作直径，连接，
，
，，
，
是等边三角形，
，
设与交于点，，
在直角三角形中，
，
，
，
，
故答案为：5；
（2）如图2，
，
点在以为直径的圆上，设圆心为点，
则，
，，三点线时最小，
在直角三角形中，
，
，
的最小值为：；
（3）如图3，设所在圆的圆心为点，根据（1）可得所在圆的半径为，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，当，，，，共线时，最小，过点作交的延长线于点，连接，则是等边三角形，过点作于交于点，连接，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三形，且，，
，
，，
，，
，
最小值为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、圆中半径相等，点与圆位置关系中的最值问题，费马点最值问题，旋转的思想，锐角三角函数，解题的关键是正确构造辅助圆，旋转处理费马点问题．
24．（10分）如图，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点，，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平面上有两点，，求的面积的最小值；
（3）若，求点的横坐标．
【思路点拔】（1）根据题意可得，，，再由，建立方程求解即可；
（2）过点作直线于点，作轴交直线于点，设，则，可得，进而可得，运用二次函数最值可得有最小值，即可求得答案；
（3）设，运用待定系数法求出，的解析式，再由，可求得直线解析式，再求出点的坐标，过点作轴于点，过点作轴交于点，证明，应用相似三角形性质即可求出点的横坐标．
【解答】解：（1）抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点，
令，得，
，
令，得，
解得：，，
，，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2），，
，在直线上，
，
如图1，过点作直线于点，作轴交直线于点，
设，则，
，
直线与轴交点为，与轴交点为，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，此时的面积最小，
；
（3）点在抛物线上，设，如图2，
作轴，轴，
设直线的解析式为，
直线的解析式为，
将，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
将代入，得：，
直线的解析式为，
联立直线，直线的解析式，得，
解得：，
，，
过点作轴于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
点的横坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，一次函数图象和性质，待定系数法，两点间距离公式，三角函数定义，相似三角形的判定和性质等是解题的关键．
