2.2.1 直线的参数方程 教学设计

《直线的参数方程》教学设计
【课标要求】
1．掌握直线的参数方程．
2．能够利用直线的参数方程解决有关问题．
【学习目标】
1．会写出直线的参数方程的考查．
2．会利用直线的参数方程中参数t的几何意义求值．
【重难点】
会利用直线的参数方程中参数t的几何意义求值．
【评价任务】
通过例1完成目标1
通过例2完成目标2
教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫
教师提出问题：
1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．
2.直线的方向向量的概念．
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5.如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．
【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．
二、直线参数方程探究
1．回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为，那么：
①为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；②当与方向一致时（即的方向与数轴正方向一致时），；
当与方向相反时（即的方向与数轴正方向相反时），；
当M与O重合时，；
③．教师用几何画板软件演示上述过程．
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
2.类比分析，异曲同工
问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上(的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上确定进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴．于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
3. 选好参数，柳暗花明
问题（1）：当点M在直线上运动时，点M满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线当成数轴后，直线上点M运动就等价于向量变化，但无论向量怎样变化，都有．因此点M在数轴上的坐标决定了点M的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程．
【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线的单位方向向量？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出，从而明确直线的方向向量可以由倾斜角来确定．
当时，，所以直线的单位方向向量的方向总是向上．
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4. 等价转化，深入探究
问题：如果点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？
教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：
因为，（），，
，所以存在实数，使得，即
．
于是，，
即，．
因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为
（为参数）．
教师提出如下问题让学生加强认识：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
②参数的取值范围是什么？
③参数的几何意义是什么？
总结如下：①，是常量，是变量；
②；
③由于，且，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离．当的方向与数轴（直线）正方向相同时，；当的方向与数轴（直线）正方向相反时，；当时，点M与点重合．
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
三、运用知识，培养能力
例1.已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点到A,B两点的距离之积．
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：
解法一：由，得．
设，,由韦达定理得：．
．
由（*）解得，
．
所以．
则
．
解法二、因为直线过定点M，且的倾斜角为，所以它的参数方程是
（为参数）， 即 （为参数）．
把它代入抛物线的方程，得，
解得，．
由参数的几何意义得：，
．
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
探究：直线 （为参数）与曲线交于两点，对应的参数分别为．
（1）曲线的弦的长是多少？
（2）线段的中点M对应的参数的值是多少？
先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：
，
【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．
例2、经过点作直线，交椭圆于A,B两点．如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程．
分析：引导学生以M作为直线上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对应的参数分别为，则由求出直线的斜率．教师板书，过程如下：
解：设过点的直线的参数方程为（为参数），
代入椭圆方程，整理得
．
因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为，
则．
因为点M为线段AB的中点，所以，即．
于是直线的斜率．
因此，直线的方程是，即．
教师引导学生课下用其他方法解决．
思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？由学生课下解决．
【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．
四、自主解决，深入理解
已知过点，斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标．
本题由学生独立完成，教师补充完善．
解：设过点的直线AB的倾斜角为，由已知可得：，．
所以，直线的参数方程为（为参数）．
代入，整理得．
中点M的相应参数是，
所以点M的坐标是．
【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．
五、归纳总结，提升认识
先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在
学生总结的基础上再进行概括．
1．知识小结
本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．
2．思想方法小结
在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．
【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．
六、布置作业，巩固提高
1. 教材P39—1,3 ；
2. 思考题：若直线的参数方程为 （为常数，为参数），请思考参数的意义．
【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．
七、板书设计
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直线的参数方程
1.直线的参数方程 3.例题分析
2.弦长公式
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