2.2 基本不等式 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
基本不等式
第二章
复习引入
重要不等式：
有
当且仅当时，等号成立.
思考：如果，我们用分别代替上式中的，，能得到什么结论？
基本不等式：
当且仅当时，等号成立.
几何平均数
算术平均数
新知探索
证明：要证 ，①
只要证 ②
要证②，只要证 ③
要证③，只要证 ④
要证④，只要证 ⑤
显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.
把上述过程倒过来，直接推出基本不等式的方法叫作综合法.
分析法：结论→条件
综合法：条件→结论
新知探索
几何法
在图中，是圆的直径，点是上一点，
过点作垂直于的弦，连接
如何用？
如何用？
与的大小关系如何？
典例分析
例1.已知求的最小值.
证明：
当且仅当即时，等号成立，
因此所求的最小值为2.
一正
二定
三相等
想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？
一般地，设函数的定义域为,如果存在实数满足：
都有
都有
那么我们称式的最小值.
典例分析
不等式模型
基本不等式：
变形1：当时，,当且仅当时取等号.
思考：若的取值范围吗？
变形2：当时，,当且仅当时取等号.
典例分析
例2.已知都是正数，求证：
(1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
当ab为定值时，便可求a+b的最小值.（积定和最小）
典例分析
例2.已知都是正数，求证：
(2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值
当a+b为定值时，便可求ab的最大值.（和定积最大）
练习巩固
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
练习巩固
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
例3.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
典例分析
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的
长度为
(1)由已知得
由，可得
∴
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
典例分析
例3.(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：(2)由已知得矩形菜园的面积为
由
可得
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.
典例分析
例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.
根据题意，有
由容积为,可得
∴
当时，上式等号成立，此时
所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
利用基本不等式求最值
题型一. 配凑积为定值
题型二. 配凑和为定值
利用基本不等式求最值
题型三. 分离法
题型四：两正实数和与它们倒数和之间关系
利用基本不等式比较大小
例题.若，，且，则，，，中最大的是（ ）.
A. B. C. D.
变式.已知,,则之间的大小关系是( ).
A. B. C. D.不确定
利用基本不等式证明不等式
例题.已知均为正数且求证：.
变式.已知求证：.